2021年山东省济宁市鱼台县中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省济宁市鱼台县中考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣D．
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．斐波那契螺旋线
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a
4．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36°B．34°C．32°D．30°
5．（3分）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃D．极差是0.3℃
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
7．（3分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AD＝BDB．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB
8．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
A．B．C．3D．2
10．（3分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8B．﹣8C．4D．﹣4
二、填空题本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）因式分解：x﹣x3＝ ．
12．（3分）小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0），则点E的坐标是 ．
13．（3分）已知一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）
14．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是 ．
15．（3分）观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝，＝，…根据上面的规律计算：+++…+＝ ．
三、简答题本大题共7小题，共55分，
16．（6分）计算：（）﹣1+﹣|﹣2|﹣（π﹣2021）0．
17．（7分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 °；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
18．（7分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，求AD的长．
20．（8分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
21．（9分）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连接AF，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；
（2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．
22．（10分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（3分）下列各数中，﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣D．
【解答】解：﹣5的倒数是﹣．
故选：C．
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．斐波那契螺旋线
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36°B．34°C．32°D．30°
【解答】解：（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图1所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．
（方法二）设AE与CD交于点O，如图2所示．
∵AB∥CD，
∴∠DOE＝∠A＝54°．
又∵∠DOE＝∠C+∠E，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝54°﹣18°＝36°．
故选：A．
5．（3分）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃D．极差是0.3℃
【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，，36.6，
处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；
出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；
平均数为：＝（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃，
极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃，
故选：B．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
故选：C．
7．（3分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AD＝BDB．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB
【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
∴AD＝DB，
当DO＝CD，
则AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，
故四边形OACB为菱形．
故选：B．
8．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：＝．
故选：A．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
A．B．C．3D．2
【解答】解：如图，延长BF交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵E是边BC的中点，
∴EF是△BCH的中位线，
∴BF＝FH，
∵∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF，
∴CF是BH的中垂线，
∴BC＝CH＝8，
∴DH＝CH﹣CD＝3，
在△ABF和△GHF中，
，
∴△ABF≌△GFH（ASA），
∴AB＝GH＝5，
∴DG＝GH﹣DH＝2．
（注：由于三角形BFC是直角三角形，且E为斜边中点，所以EF＝BC＝4，又因为EF//AB//CG，且四边形ABCG是梯形，根据梯形中位线知识，可得EF＝（AB+CG），计算得到CG＝3，所以DG＝5﹣3＝2．）
故选：D．
10．（3分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8B．﹣8C．4D．﹣4
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah＝k1，bh＝k2．
∵S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，
∴k1﹣k2＝8．
故选：A．
二、填空题本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）因式分解：x﹣x3＝ x（1+x）（1﹣x） ．
【解答】解：x﹣x3，
＝x（1﹣x2），
＝x（1+x）（1﹣x）．
12．（3分）小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0），则点E的坐标是 （4，0） ．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC＝1.2m，
∴DE＝2m，
∴E（4，0）．
故答案为：（4，0）．
13．（3分）已知一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，
∴该函数y的值随着x的值增大而减小，
故答案为：减小．
14．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是 ．
【解答】解：连接OD，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴OD＝AD•tanA＝2，OA＝＝4，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴＝，即＝，
解得，CD＝，
故答案为：．
15．（3分）观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝，＝，…根据上面的规律计算：+++…+＝ ．
【解答】解：原式＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
故答案为：．
三、简答题本大题共7小题，共55分，
16．（6分）计算：（）﹣1+﹣|﹣2|﹣（π﹣2021）0．
【解答】解：原式＝3+2﹣（2﹣）﹣1
＝3+2﹣2+﹣1
＝3．
17．（7分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 60 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 108 °；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
【解答】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×＝108°，
故答案为：60、108；
（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×＝336（人）；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为＝．
18．（7分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH＝，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH＝，
∵BC＝CH﹣BH，
∴﹣＝6km，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD＝≈20km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，求AD的长．
【解答】解：（1）如图，Rt△ABC的外接圆⊙O即为所求；
（2）连接BD，
∵∠ACB＝90°．
∴AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DBA＝∠ACD＝45°，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝10×＝5．
答：AD的长为5．
20．（8分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ﹣11 ．
【解答】解：（1）．
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由（①+②）可得：x+y＝5．
故答案为：﹣1；5．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意，得：，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
21．（9分）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连接AF，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；
（2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAE＝90°，AB＝AD＝BC，
∵点E，F分别是AB、BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△CGD，
∴＝，即＝，
∴AG＝；
（3）当BF＝时，AG＝AE，理由如下：
如图所示，设AF交CD于点M，
若使AG＝AE＝1，则有∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴DM＝MG，
在Rt△ADM中，AM2﹣DM2＝AD2，即（DM+1）2﹣DM2＝22，
解得DM＝，
∴CM＝CD﹣DM＝2﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△MCF，
∴＝，即＝，
∴BF＝，
故当BF＝时，AG＝AE．
22．（10分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，
，
解得，；
（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1，
此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，
∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为直线x＝1，
令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0），
∵C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2）；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，
则PH＝5DG，E（m，m﹣3），
∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，
∴△PEH∽△DEG，
∴，
∴，
∵m＝3（舍），或m＝5，
∴点P的坐标为P（5，12）．
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
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