2022年广西柳州市城中区中考数学二模试卷

这是一份2022年广西柳州市城中区中考数学二模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，三象限D．第二，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．5x+1＝0B．x2﹣1＝0C．＝1D．y2+x＝1
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）反比例函数y＝﹣的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
4．（3分）在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）抛物线y＝﹣3（x+2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣2，﹣5）
6．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高为8cm，则此圆的侧面积是（ ）cm2
A．60πB．50πC．40πD．30π
7．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x＝0
C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
8．（3分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm，那么直线l与⊙O的位置关系（ ）
A．相交B．相离C．相切D．不确定
9．（3分）将，，0，﹣2，π这5个数分别写在5张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，取到无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，其中OE＝4，则OB的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（3分）如图，⊙O的直径AB长为10，弦CD的长为8，CD⊥AB于点E，则tan∠OCE＝（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值是（ ）
A．m＝3B．C．D．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为 ．
14．（3分）平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点A（﹣1，2），则k的值为 ．
15．（3分）已知x1x2是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的两根，则x1x2的值为 ．
16．（3分）把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝31°，则∠D＝ ．
18．（3分）为满足春节市场需求，某商场在节前购进大批某品牌童装，该品牌童装若每件盈利40元，平均每天可售出20件，经调查发现，若每件童装降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场希望该品牌童装日盈利为1200元，同时为了尽量减少库存，请问该童装应降价 元．
三、解答题。（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：x2+x﹣12＝0．
21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB2C2；
（3）求（2）中点B所经过的路径长．
22．（8分）“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”，为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：
A类——接种了只需要注射一针的疫苗；
B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；
C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；
D类——还没有接种．
图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）
请根据统计图回答下列问题．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）请估计该小区所居住的1800名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种？
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有2男2女共4名居民报名，要从这4人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
23．（8分）如图，海中有一小岛A，在该岛周围50海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45°的B处往东航行20海里后达到该岛南偏西30°的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？请说明理由．（参考数据：，）
24．（10分）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△OAC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为2，PD＝OD，求EC的长．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题。（共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．5x+1＝0B．x2﹣1＝0C．＝1D．y2+x＝1
【解答】解：A．5x+1＝0未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．x2﹣1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．y2+x＝1含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．
故选：A．
3．（3分）反比例函数y＝﹣的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
【解答】解：依题意可知k＝﹣2＜0，图象位于第二、四象限．
故选：D．
4．（3分）在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）抛物线y＝﹣3（x+2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣2，﹣5）
【解答】解：抛物线y＝﹣3（x+2）2+5的顶点坐标是（﹣2，5），
故选：B．
6．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高为8cm，则此圆的侧面积是（ ）cm2
A．60πB．50πC．40πD．30π
【解答】解：∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：A．
7．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x＝0
C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
【解答】解：分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝0．
故选：D．
8．（3分）已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm，那么直线l与⊙O的位置关系（ ）
A．相交B．相离C．相切D．不确定
【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm，
∴4＜5，
即d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离．
故选：B．
9．（3分）将，，0，﹣2，π这5个数分别写在5张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，取到无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵、、0、﹣2、π这5个数中、0、﹣2是有理数，、π是无理数，
∴任取一张，取到无理数的概率是，
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，其中OE＝4，则OB的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∵位似比是1：2，
∴＝，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，
∵OE＝4，
∴OB＝2，
故选：B．
11．（3分）如图，⊙O的直径AB长为10，弦CD的长为8，CD⊥AB于点E，则tan∠OCE＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10，CD＝8，CD⊥AB，
∴OA＝5，CE＝CD＝4，
∴OE＝＝＝3，
∴tan∠OCE＝＝．
故选：A．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值是（ ）
A．m＝3B．C．D．
【解答】解：过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，
∴tan30°＝＝，
由△BON∽△OAM得，
＝＝＝，
设ON＝a，BN＝b，则MA＝a，OM＝b，
∴B（﹣a，b），A（b，a），
∵点B在反比例函数y2＝﹣的图象上，
∴ab＝1，
∵点A在反比例函数y1＝的图象上，
∴m＝a•b＝3ab＝3，
故选：A．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为 9 ．
【解答】解：∵正六边形的中心角为＝60°，
∴正六边形被正六边形的外接圆半径分成六个的正三角形，
∵正六边形的边长为9，
∴外接圆半径是9．
故答案为：9．
14．（3分）平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点A（﹣1，2），则k的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵反比例函的图象经过点A（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（3分）已知x1x2是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的两根，则x1x2的值为 ﹣ ．
【解答】解：由根与系数的关系可知：x1x2＝﹣．
故答案为：﹣．
16．（3分）把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝（x+1）2﹣3 ．
【解答】解：把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣3．
故答案为：y＝（x+1）2﹣3．
17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝31°，则∠D＝ 28° ．
【解答】解：连接OC，
∵CD切圆于C，
∴半径OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠A＝∠COD，∠A＝31°，
∴∠COD＝62°，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝28°．
故答案为：28°．
18．（3分）为满足春节市场需求，某商场在节前购进大批某品牌童装，该品牌童装若每件盈利40元，平均每天可售出20件，经调查发现，若每件童装降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场希望该品牌童装日盈利为1200元，同时为了尽量减少库存，请问该童装应降价 20 元．
【解答】解：设该童装每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵要尽量减少库存，
∴x＝20．
答：该童装应每件降价20元最合适．
故答案为：20．
三、解答题。（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
【解答】解：
＝1+2﹣5+×
＝1+2﹣5+1
＝﹣1．
20．（6分）解方程：x2+x﹣12＝0．
【解答】解：（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3．
21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB2C2；
（3）求（2）中点B所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△AB2C2即为所求．
（3）由勾股定理得，AB＝＝，
∴点B所经过的路径长为＝．
22．（8分）“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”，为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：
A类——接种了只需要注射一针的疫苗；
B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；
C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；
D类——还没有接种．
图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）
请根据统计图回答下列问题．
（1）m＝ 40 ，n＝ 30 ；
（2）请估计该小区所居住的1800名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种？
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有2男2女共4名居民报名，要从这4人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
【解答】解：（1）由题意可知，小区居民抽样调查的人数为：20÷10%＝200（人），
∴m%＝80÷200×100%＝40%，n＝200×15%＝30，
∴m＝40，
故答案为：40，30；
（2）1800×（1﹣35%）＝1170（人），
答：估计该小区所居住的1800名居民中有1170人进行了新冠疫苗接种；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一男和一女的结果有8种，
∴恰好抽到一男和一女的概率是＝．
23．（8分）如图，海中有一小岛A，在该岛周围50海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45°的B处往东航行20海里后达到该岛南偏西30°的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？请说明理由．（参考数据：，）
【解答】解：货船继续向东航行会有触礁的危险，
理由如下：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
则BD＝AD，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
则CD＝AD•tan30°＝AD，
由题意得：AD﹣AD＝20，
解得：AD＝10（3+）≈47.31，
∵47.31＜50，
∴货船继续向东航行会有触礁的危险．
24．（10分）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△OAC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4，
∴|k|＝4，
解得，k＝﹣8或k＝8（正值不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝﹣＝4，b＝﹣＝8；
∴a＝4，b＝8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＜的解集为﹣2＜x＜0或x＞8．
（3）点A（﹣2，4），B（8，﹣1）在直线y＝mx+n的图象上，
∴，解得，
直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
直线AB与y轴的交点坐标为（0，3），
S△AOB＝＝15．
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为2，PD＝OD，求EC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，则OB＝OD，
∴∠BDC＝∠DBO，
∵∠BAC＝∠BDC，∠BDC＝∠GBC，
∴∠GBC＝∠BDC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBO+∠OBC＝90°，
∴∠GBC+∠OBC＝90°，
∴∠GBO＝90°，
∴PG与⊙O相切；
（2）解：如图，过点O作OM⊥AC于点M，
又∵OC＝OA，
则∠AOM＝∠COM＝∠AOC，
∵＝，
∴∠ABC＝∠AOC，
又∵∠EFB＝∠OMA＝90°，
∴△BEF∽△OAM，
∴＝，
∵AM＝AC，OA＝OC，
∴，
又∵
∴＝2×＝；
（3）解：∵PD＝OD，∠PBO＝90°，
∴BD＝OD＝2，
在Rt△DBC中，BC＝＝＝2，
又∵OD＝OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∵∠DOB＝∠OBC+∠OCB，OB＝OC，
∴，
∴EC＝2EF，
，
∴设EF＝x，则EC＝2x、FC＝x，
∴BF＝2﹣，
∵＝，OC＝2，
∴BE＝3，
∴9＝
解得x＝，
，
∴x＝，
∴EC＝3﹣．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）过点P作x轴的垂线l，在l上存在点D，使△BCD是直角三角形若存在；理由如下：
∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．