[数学]上海市长宁区2022-2023学年高一下学期期末试题(解析版)

这是一份[数学]上海市长宁区2022-2023学年高一下学期期末试题(解析版)，共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将弧度化为角度：弧度=__________．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
2. 已知角的终边经过点，则角的正弦值是__________．
【答案】
【解析】根据三角函数的定义可得.
故答案为：.
3. 已知，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以.
故答案为：.
4. 在复数范围内分解因式：__________．
【答案】
【解析】因为方程在复数范围内的解为
，所以.
故答案为：.
5. 函数的零点是__________．
【答案】
【解析】令，所以，
又，所以，所以，
所以函数的零点是.
故答案为：.
6 已知，，若与垂直，则__________．
【答案】
【解析】因为，，且与垂直，
所以，所以.
故答案为：.
7. 已知平面上、两点的坐标分别是、，是直线上一点，且，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】设点的坐标是，又、，所以，
因为，所以，所以，
解得，所以点的坐标是.
故答案为：.
8. 已知，，，，则__________．
【答案】
【解析】因为，，所以，
因为，，所以，
.
故答案为：.
9. 已知复数的模为，则实数__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，即，解得.
故答案为：.
10. 已知和，且，，则在方向上的投影向量是__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
11. 已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由得，
设，因，所以，
则在上恒成立，
设，则二次函数的对称轴为，
因其开口向下，所以时函数单调递增，
所以的最大值，故.
故答案为：.
12. 已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，若，则点的坐标是__________．
【答案】或
【解析】由题意可知，点的坐标为，
，即，
解得，所以，又，
解得或，
所以点的坐标为或.
故答案为：或.
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
13. 与终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，或，
所以在和之间与终边相同的角有和.
故选：A.
14. 下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，
所以A错误；
对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，
所以B正确；
对于C，最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误；
对于D，的最小正周期为，所以D错误.
故选：B.
15. 已知复数，，且复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】因为复数，，
所以，
所以复数，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
16. 已知、和均为非零向量，
①若，则；
②若，则；
③若，则．
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】对于①，当时，
，
满足，故①错误；
对于②，若，则，
则或与垂直，故②错误；
对于③，若，
则，即，
所以，又，所以或，
所以，故③正确，
所以真命题的个数是1个.
故选：B.
三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知锐角、满足，，求的值．
解：因为，，所以，
又锐角、，所以，所以.
18. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知的内角，，的对边分别为，，，其中，，__________，求和的外接圆半径．
解：若选择①：
，，
又，
，所以，由，，，
又，，，
，，则，
，；
若选择②：，则由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以；
由正弦定理，得，
，；
若选择③：，则，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
由正弦定理，得，
，．
19. 已知、．
（1）求；
（2）若与平行，求实数值．
解：（1）因为、，
则，
所以，
所以.
（2）若与平行，
则，
又不共线，所以.
20. 在复平面上有点和点，所对的复数是．已知小明在点处休憩，有只小狗沿着所在直线来回跑动．
（1）求的面积；
（2）问：小狗在什么位置时，离小明最近？
解：（1）设，
因为所对的复数是，所以，
所以，解得，
所以，则，
所以，
则，
所以.
（2）设小狗所在位置为，，
则，故，则，
当时，点到点的距离最短，
则，解得，即，
所以小狗时，离小明最近.
21. 已知函数（其中常数）的最小正周期为．
（1）求函数的表达式；
（2）作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间；
（3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值．
解：（1）
，
因为的最小正周期为，且，
所以有，即.
（2）列表如下：
函数，的大致图象如下图所示：
单调递减区间为.
（3）由题意可知：，
因为，
所以中有一个为，另一个为，
因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
且的最小值是，
所以，或，
因此的值为，或.