[数学]上海市黄浦区2022-2023学年高一下学期期末试题(解析版)

这是一份[数学]上海市黄浦区2022-2023学年高一下学期期末试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若集合，，则________.
【答案】
【解析】由题：集合，，则.
故答案为：.
2. 不等式的解是_____．
【答案】
【解析】由可得，解得，
所以不等式的解是.
故答案为：.
3. 若，则____．
【答案】
【解析】若，
则.
故答案：.
4. 已知，若，则______．
【答案】
【解析】因为，所以，即，
又，所以.
故答案为：.
5. 已知，，若用、表示，则______．
【答案】
【解析】因为，，所以，，
所以.
故答案：.
6. 若，则______．
【答案】
【解析】，
又，所以原式.
故答案：
7. 函数图像的对称中心的坐标为______．
【答案】
【解析】，
它的图像是由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，
因为函数的图像对称中心的坐标为，
所以函数图像的对称中心的坐标为．
故答案为：．
8. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为______．
【答案】
【解析】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，
所以，
因为是第一象限的角，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以函数，的值域为.
故答案为：.
9. 已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为______．
【答案】-2、-1、1
【解析】因为在上单调递增，
且幂函数恒过点，
当时在上单调递减，
当时在上单调递增，
且越大在上增长趋势越快，
所以要使对任意的成立，则，
故符合题意的有-2、-1、1.
故答案为：-2、-1、1.
10. 若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为______．
【答案】
【解析】设=，，
，
即，化简得，，
∴，
根据二次函数性质可知，当时，取得最小值，此时，
符合，，∴的最小值为.
故答案为：.
11. 在中，若，，且，则______．
【答案】或
【解析】由正弦定理可得：，故，
所以，由余弦定理可得：，
所以，可得，则，
又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根，
所以，解得：或，
故或.
故答案为：或.
12. 已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由，可得，，
又，当时，均满足题意；
当时，均满足题意；
当时，均满足题意；
当时，此时需，即；
当时，此时需，即；
由的最小正周期，所以之后会重复前面的取值，
综上可得，即的取值范围是.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分．）
13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意1i是关于实系数方程，
∴，即，
∴，解得.
故选：D．
14. 在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】D
【解析】是与关于轴对称的一个角，与的终边相同，
即（），，（）.
故选：D．
15. 已知向量、，“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】设与的夹角为，则在方向上的数量投影为，
在方向上的数量投影，
若，则成立，充分性成立；
若，不能推出成立，
例如，，时，成立，而不成立，
所以必要性不成立，
故“”是“在方向上的数量投影与在方向上的数量投影相等”的充分非必要条件.
故选：A.
16. 已知，若存在实数，使得方程有无穷多个非负实数解，则的表达式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
对于A：令，
则在，上单调递增，在，上单调递减，
则当时有四个实数根，
当或时有两个实数根，
当时有三个实数根，
当时无实数根，故A错误；
对于B：令，
所以当时的解集为，故B正确；
对于C：令，
则在，上单调递增，
在，上单调递减，
则当时有四个实数根，
当或时有两个实数根，
当时有三个实数根，
当时无实数根，故C错误；
对于D：令，
显然当时函数在上单调递增，
故方程不可能有无穷多个非负实数解，故D错误.
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分44分．）
17. 已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为实数，求；
（2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求．
解：（1）因为，所以，
所以，
因为为实数，所以，
解得，所以.
（2）因为，在复平面上所对应的点为、，
所以、，
则、，
因为，所以，
解得，所以.
18. 某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形中，，，以为圆心、为半径的四分之一圆及与圈成的区域为水池，线段和为两条小路，且所在直线与圆弧相切．已知米，设（），那么当为多少时，才能使两条小路长之和最小？最小长度是多少？
解：设与圆弧的切点为，连接，
由题设，得，于是，
从而，
由，得，从而，
当且仅当，即，最小，最小长度为米.
19. 设，．
（1）当时，求满足的的取值范围；
（2）求证：函数在区间上是严格增函数．
解：（1）即，
亦即，因为，
所以上述不等式即为，解得，
故满足的x的取值范围是.
（2）设是区间上任意给定的两个实数，且，
0，
由，可得，即，
又，，从而0，
故，
因此，函数在区间上是严格增函数增函数．
20. 如图，已知为平行四边形．
（1）若，，，求及的值；
（2）记平行四边形的面积为，设，，求证：.
解：（1）在平行四边形中，
所以
，
即，
解得，
所以
.
（2）因为，
将两边平方可得，
又，
所以，
整理得，
又，，，
所以，
所以.
21. 已知定义在上的函数，满足，当时，．
（1）若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数；
（2）设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．
解：（1）当时，，所以，
又因为函数的最小正周期为，所以，
所以，故，
对于任意给定的，，
因为，所以，
对于任意给定的，，
因为，所以，
当时，，
综上所述，函数，为奇函数.
（2），即，
当，，
于是，
当，，
于是，
据此可得，当（为正整数）时，，
当（为正整数）时，，
函数在区间（为正整数）上为严格的减函数，其值域为，
函数在区间上恰有一个零点，
等价于关于的方程在区间上仅有一解，
对于函数，在区间上，其函数值的取值范围是；
在区间上，其函数值的取值范围是，
由题意，关于的方程在区间上须无解，
而在区间上仅有一解，
所以的取值范围为.