2024年广东省深圳市蛇口育才教育集团育才三中中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：赫玉玲 审题人：朱晓娟 王君
说明：
1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共3页．考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 2024的倒数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义．根据互为倒数的两个数乘积为1，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴2024的倒数是，
故选：D．
2. 2024年3月21日是第12个“世界森林日”，今年的主题是“森林与创新”．据统计，截止2023年12月底，我省森林面积超过万亩，森林蓄积量达亿立方米，碳汇能力明显提升．数据亿立方米用科学记数法表示为（ ）
A. 立方米B. 立方米
C. 立方米D. 立方米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿，
故选：A．
3. 《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶为最．”如图是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．
【详解】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
4. 如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值（ ）
A. 缩小为原来的B. 扩大为原来的10倍C. 缩小为原来的D. 不变
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，注意：分式的基本性质是分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的数或式子，分式的值不变．先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【详解】解：根据题意得：，
所以如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的．
故选：A．
5. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ）
A. 众数是5B. 平均数是7C. 中位数是5D. 方差是1
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，即可一一判定．
【详解】解：5吨出现的次数最多，故这组数据的众数是5，故A正确；
这组数据的平均数为：(吨)，故B不正确；
这组数据共有20个，故把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数为这组数据的中位数，第10个数据为4，第11个数据为5，故这组数据的中位数为：，故C不正确；
这组数据的方差为：，故D不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，熟练掌握和运用众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，是解决本题的关键．
6. 下列命题中，真命题有（ ）个
①两个含角的等腰三角形必相似；
②已知线段，点C是AB的黄金分割点，则；
③顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定垂直；
④方程没有实数解．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查命题与定理．角可以是等腰三角形的顶角或底角，可判断①是假命题；由黄金分割相关概念可判断②是真命题；根据三角形中位线定理及菱形的性质可判断③是假命题；求出，可判断④是真命题；从而可得答案．
【详解】解：角可以是等腰三角形的顶角或底角，
两个含角的等腰三角形不一定相似，故①是假命题；
线段，点是的黄金分割点，
，故②是真命题；
顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定相等；故③是假命题；
方程的判别式，
方程没有实数解，故④是真命题；
正确的有2个；
故选：C．
7. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
中，，，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
8. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．
【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，

得，
∴点M，N，O三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9. 对于“过直线l外一点A作这条直线的垂线”的几何作图，甲、乙均设计了自己的尺规作图的过程：
对于以上作图过程（ ）
A. 甲对B. 乙对C. 甲、乙均不对D. 甲、乙均对
【答案】D
【解析】
【分析】甲：根据垂直平分线定义及在圆中直径所对的圆周角是直角判断甲作图正确；乙：根据作图可知，，进而得到为的垂直平分线，进而判断乙图正确．
【详解】解：对于甲，由作图可知：为的中点，
∴为的直径，
∵为上一点，
∴，
∴，即：；故甲作法正确；
对于乙，连接，由作图可知，，

∴在的中垂线上，
∴，即：，故乙作法正确；
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理，中垂线点判定和性质．解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活应用．
10. 在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上的三个点，若且，抛物线对称轴为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键．
当时，，由，可知图象开口向上，经过原点，由且，可知，，可作二次函数的图象，根据离对称轴距离越远，函数值越大，列不等式和，求解作答即可．
【详解】解：当时，，
∵，
∴图象开口向上，经过原点，
∵且，
∴，，
如图，
∴，
解得，，
∴，
解得，，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握同一时刻物体与影长成正比例是解题的关键．
【详解】解：设树高是x米，则，
解得：．
故答案为：．
13. 对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可．
【详解】解：方程解为、，
，，
∴．
故答案为：6．
14. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，则点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，可得出点的坐标，运用待定系数法即可求出的解析式；再通过比例关系解出点的坐标，可得反比例函数表达式；过点作轴，垂足为，则，联立方程组解出点的坐标．
【详解】在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点在函数上，
将、代入得

解得，，
∴
设，过点作轴，垂足为，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
联立，
得，
∴，，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键．
15. 如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，正方形的性质．过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，利用相似三角形的性质求得，求最大值，即求的最大值，点在上，当的延长线经过点时，有最大值，据此计算即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为，过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，

∵，
∴，
在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为定值，
∴求最大值，即求的最大值，
∵，，
∴，
∴点在上，
当的延长线经过点时，有最大值，
∵，，
∴四边形为矩形，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦函数值计算即可．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中a从、1、、2中取一个你认为合适的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入代入计算．
【详解】解：原式
由题意：、、，
故a只能取1，当时，
原式．
18. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形的圆心角度数为_____度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
（4）计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．
【答案】（1）120，见解析
（2）
（3）300人 （4）见解析，
【解析】
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）用C的人数除以调查总数再乘以360°即可得到答案；
（3）用样本估计总体进行计算即可；
（4）列出表格或画出树状图，得到所有可能的结果数，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
因为参与活动的人数为36人，占总人数，
所以总人数人，
则参与活动的人数为：人；
补全统计图如下：
故答案为：120；
【小问2详解】
扇形的圆心角为：，
故答案为：90；
【小问3详解】
最喜爱“测量”项目的学生人数是：人；
答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是300人；
【小问4详解】
列表如下：
或者树状图如下：
所以，选中、这两项活动的概率为：.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
19. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务：种图书标价元，种图书标价元；任务：，两种图书进货方案一共有种；任务：购进种图书本、种图书本才能获得最大利润
【解析】
【分析】本题考查一次函数，一元一次不等式组和分式方程的应用；
任务：设种图书标价元，则种图书标价元，根据题意列方程并求解即可；
任务：设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列关于的一元一次不等式并求解即可，取值的个数就是，两种图书进货方案的种数；
任务：设获得的总利润为元，根据总利润种图书的售价种图书的进价种图书的数量种图书的售价种图书的进价种图书的数量写出关于的关系式，根据该函数的增减性和的取值范围，确定当取何值的值最大，再求出此时的值即可．
【详解】解：任务：设种图书标价元，则种图书标价元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
元，
种图书标价元，种图书标价元．
任务：设购进种图书本．
购进，两种图书共本，
购进种图书本．
根据进货总价种图书进价种图书数量种图书进价种图书数量，得进货总价为，
进货总价不超过元，
，
，
又，
且为整数，
可取个值，
，两种图书进货方案一共有种．
任务设获得的总利润为元，则，
，
随的减小而增大，
且为整数，
当时，取最大值，此时购进种图书本，
购进种图书本、种图书本才能获得最大利润．
20. 如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接．
（1）求证：为的切线
（2）求证：；
（3）若，，则直接写出_______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图：连接，可知进而证得，再根据圆周角定理可得，可推出，从而证得结论；
（2）如图连接，利用圆周角定理即可证明；
（3）由已知易证，于是；再结合已知条件可得，再根勾股定理列方程求得， ；由，然后根据相似三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
证明：如图：连接，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∵是直径，
∴，即，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
证明：如图：连接，
∵点E为的中点，
∴，
又∵，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴， ，
∵；
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，能够灵活运用相关知识是解题的关键．
21. 如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
（1）求杯体所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围；
（3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标__________；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度__________．
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）；
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可．
（3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标．
②设点是抛物线上的一点，且，；过点作轴，交于点，过点作轴于点，确定，计算得最大值，且最大值为，过点作于点，则．
【小问1详解】
解：，杯子的高度（即，之间的距离）为．
，，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：抛物线的解析式为，
平移后的解析式为．
抛物线的对称轴为直线，，
的对称点为，
，
平移后，
设直线的解析式为，

，
解得；
；
设直线的解析式为，
，
解得；
，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴；
小问3详解】
解：①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为，
，杯子的高度（即，之间的距离）为．
，，
水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
，，
∵，

，
，
，
．
故答案为：；
②抛物线的解析式为，
设点是抛物线上的一点，且，；
过点作轴，交于点，
水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
，，
∵，
，
过点作轴于点，
∵轴，
，，
，
，
，
，
，，
时，取得最大值，且最大值为，
过点作于点，
则，
故的最大值为，

故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．
22. （1）【问题发现】如图，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，连接．
①线段与的数量关系为__________；②直线与所夹锐角的度数为__________；
（2）【类比探究】如图，将矩形绕点逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说理．
（3）【知识迁移】如图，当矩形的边时，点为线段上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长__________．
（4）【拓展应用】如图，在矩形中，，，点时直线上一动点，连接、，直接写出的取值范围__________．（用含有、的代数式表示，可以不化简）
【答案】（1），；（2）成立，过程见详解；（3）；（4）的取值范围为：
【解析】
【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)延长交于H，连接，易得点，，三点共线，由，得到；即可得出结论；
(2) 连接AC，AF，证明，即可得出结论；
(3) 连接，，根据题意易得为正方形，证明，即可得出结论；
(4)根据题意，找临界点分别位于，两点，求的取值范围即可．
【详解】解：
（1）【问题发现】如图，延长交于；②直线与所夹锐角的度数为．矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，易证，，三点共线．
，
在中，
，
故答案为：，．
（2）【拓展探究】结论不变．连接AC，AF，
理由： 矩形与矩形相似，
，，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
（3）如图，连接，，
在矩形中，
为正方形，
，
为正方形，点为正方形中心，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
（4）如图所示，
当时直线BC上一动点,运动零界点为, 两点，
当点运动到时，达到最大值，此时，
则
当点运动到时，达到最小值，此时，
则
故的取值范围为：月用水量（吨）
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
甲：①在直线l上取一点B，连接，如图；
②作线段的垂直平分线，交于点O；
③以O为圆心，长为半径作圆，交直线l于点G；
④作直线．所以直线即为所求作的直线．
乙：①在直线l上取点B和点D，连接、，如图；
②以点B为圆心，线段的长为半径作圆；
③以点D为圆心，线段的长为半径作圆，两圆相交于点A和点M；
④作直线，直线就是所求的直线．
第一项
第二项
——
——
——
——
——
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材1
某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本元、每本元．
素材2
已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本．
素材3
书店准备用不超过元购进，两种图书共本，且种图书不少于本．经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的折销售，种图书按标价销售．
问题解决
任务1
探求图书的标价
请运用适当方法，求出，两种图书的标价．
任务2
探究进货方案
，两种图书进货方案一共有多少种？
任务3
确定如何获得最大利润
书店应怎样进货才能获得最大利润？