上海市静安区2023-2024学年高二下学期期末教学质量调研数学试题

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本试卷满分100分，考试时间90分钟．
2024.06
一、填空题（每小题4分，满分28分）考生应在答题纸的相应编号后填写答案。
1．的二项展开式中的系数为______．
2．圆在点处的切线方程为______．
3．曲线在坐标原点处的切线方程为______．
4．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为______，离心率______．
5．圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画出______个圆内接三角形；请编写一个排列数的问题，其答案为，这个问题可以是______．
6．自由落体运动中，物体下落的距离（单位：米）与时间（单位：秒）近似满足函数关系，则______，其实际意义为______．
7．同时投掷2枚硬币，若事件的概率，则事件为______（写出一个事件即可）；若事件的概率，则事件为______（写出一个事件即可）．
二、选择题（每小题4分，满分8分）考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
8．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右图），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ）
A．30B．60C．70D．80
9．已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
三、解答题（本大题共5题，满分64分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
10．（满分12分）
记．求函数的导数，讨论函数的单调性和极值．
11．（满分12分）共2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如右：
（1）求甲、乙两名选手射击的平均环数；
（2）请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛．
12．（满分12分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
（1）请写出由拋物线的定义推导抛物线的标准方程的过程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且，求的值．
13．（满分12分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2．
（1）第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次．再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
（2）第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率．
14．（满分16分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来；
（2）某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？