2024年甘肃省陇南市武都区城关中学九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年甘肃省陇南市武都区城关中学九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二等内容，欢迎下载使用。

1. 3的绝对值是（ ）
A B. C. D. 3
2. 2020年，安徽省生产总值3.87万亿元，增长3.9%、居全国第4位；粮食产量803.8亿斤、居全国第4位．将803.8亿用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为( )
A. 16:9B. 4：3C. 9：16D. 3：4
5. 方程x2+x﹣1＝0的一个根是（ ）
A 1﹣B. C. ﹣1+D.
6. 如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝100°，∠2＝80°，∠3＝125°，则∠4的度数是（ ）
A. 55°B. 75°C. 100°D. 125°
7. 如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝160°，则∠BAD的度数是（ ）
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
9. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（ ）
A B. 2C. D. 4
10. 如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：;；四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a=____．
12. 因式分解：2x3y﹣8xy3＝_____．
13. 若tan（α–15°）=，则锐角α的度数是__________．
14. 如图，若反比例函数的图像经过点A，轴于B，且的面积为3，则k的值为______．
15. 如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…，则四边形A2019B2019C2019D2019的面积是_____．
16. 二次函数图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论：
①；
②方程必有一个根大于2且小于3；
③若，是抛物线上的两点，那么；
④；
⑤对于任意实数m，都有，
其中正确结论的序号是________．
三、解答题一（共46分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，．
19. 解方程：
20. 解不等式组，并写出它的所有负整数解
21. 有三张完全相同的卡片，它们的正面分别写有数字，，．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，再从剩下的二张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，两次结果记为．
（1）用树状图或列表法表示所有机会均等的结果；
（2）若用表示平面直角坐标系内点的坐标，求点在直线上的概率．
22. 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.
（参考数据：，）
四、解答题二（共50分）
23. 某校为了解七年级学生体育测试情况，在七年级各班随机抽取了部分学生的体育测试成绩，按四个等级进行统计(说明：级：90分～100分；级：75分～89分；级：60分～74分；级：60分以下)，并将统计结果绘制成两个不完整的统计图，请你结合统计图中所给信息解答下列问题：
（1）学校在七年级各班共随机调查了________名学生；
（2）在扇形统计图中，级所在的扇形圆心角的度数是_________；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级有500名学生，请根据统计结果估计全校七年级体育测试中级学生约有多少名？
24. 如图，一次函数与反比例函数图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 如图，在等腰中，，以为直径作交于，过点作．过点作于．
（1）求证：是的切线且；
（2）若，，求的直径．
26. 已知：如图，是的角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，试求四边形的面积．
27. 如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为的中点，过点P作轴于点F，G为抛物线上一动点，轴于点M，N为直线上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
2024年甘肃省陇南市武都区城关中学中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 3的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的性质即可得出答案．
【详解】解：根据一个正数的绝对值是它本身，得|3|=3．
故选：D．
本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．掌握绝对值的性质是解题关键．
2. 2020年，安徽省生产总值3.87万亿元，增长3.9%、居全国第4位；粮食产量803.8亿斤、居全国第4位．将803.8亿用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：803.8亿=80380000000=8.038×1010，
故选：C．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项、同底数幂乘法等运算法则分别计算即可．
【详解】解：A、，错误，不符合题意；
B 、，错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故选：D．
本题考查了幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项、同底数幂乘法，熟练运用相关运算法则是解本题的关键．
4. 两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为( )
A. 16:9B. 4：3C. 9：16D. 3：4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方．
【详解】根据题意得：＝．即这两个相似多边形的相似比为4：3．
故选：B．
本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
5. 方程x2+x﹣1＝0的一个根是（ ）
A. 1﹣B. C. ﹣1+D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．
【详解】∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5，
则x＝ ，
所以x1＝ ，x2＝ ．
故选D．
本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．
6. 如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝100°，∠2＝80°，∠3＝125°，则∠4的度数是（ ）
A. 55°B. 75°C. 100°D. 125°
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，证出a∥b，由平行线的性质即可得出答案．
详解】解：如图
∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°，
∴∠5+∠2＝180°，
∴a∥b，
∴∠4＝∠3＝125°，
故选：D．
本题主要考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键．
7. 如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可以假设，则，，证明，，再利用平行线分线段成比例即可解决问题．
【详解】由，可以假设，则，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
故选：C
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝160°，则∠BAD的度数是（ ）
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：∵∠BOD＝160°，
∴∠BAD＝∠BOD＝80°，
故选：B．
本题考查了圆周角定理，理解熟记圆周角定理是解题关键．
．
9. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．
【详解】设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：，，
，
在Rt△中，，
即，
整理得，，
解得：x=2或x=-12(舍去)，
，
即正方形ADOF的边长是2，
故选B．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：;；四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定（ASA）即可得到正确；根据相似三角形的判定可得正确；根据全等三角形的性质可得正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故正确；
，
点四点共圆，
∴，
∴，
故正确；
，
，
，
故正确；
，
，又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又中，，
，
，
故错误，
故选．
本题考查全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a=____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得．
故答案是：．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．
12. 因式分解：2x3y﹣8xy3＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式：分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
本题考查了利用提取公因式和平方差公式相结合进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键．
13. 若tan（α–15°）=，则锐角α的度数是__________．
【答案】75°
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，可得（α–15°）度数，根据有理数的减法，可得答案．
【详解】由tan(α−15°)=，得
α−15°=60°，
解得α=75°，
故答案为75°
考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角是三角函数值是解题的关键.
14. 如图，若反比例函数的图像经过点A，轴于B，且的面积为3，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，结合图像的分布计算即可．
【详解】设，
则，，
∵的面积为3，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15. 如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…，则四边形A2019B2019C2019D2019的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接AC、BD，根据菱形的面积公式，得S菱形ABCD=，进而得矩形A1B1C1D1的面积，菱形A2B2C2D2的面积，以此类推，即可得到答案．
【详解】连接AC、BD，则AC⊥BD，
∵菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60°，
∴S菱形ABCD＝AC∙BD＝1×1×sin60°＝，
∵顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴矩形A1B1C1D1的面积＝AC∙BD＝AC∙BD＝S菱形ABCD＝＝，
菱形A2B2C2D2的面积＝×矩形A1B1C1D1的面积＝S菱形ABCD＝＝，
……，
∴四边形A2019B2019C2019D2019的面积＝，
故答案为：．
本题主要考查菱形得性质和矩形的性质，掌握菱形的面积公式，是解题的关键．
16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论：
①；
②方程必有一个根大于2且小于3；
③若，是抛物线上的两点，那么；
④；
⑤对于任意实数m，都有，
其中正确结论的序号是________．
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，运用待定系数法，二次函数图象与轴的交点，利用图象求出的范围即可判断①，根据图象和二次函数的对称轴可以判断②，根据开口方向和离对称轴的距离判断③，利用时的函数值和的取值范围判断④根据抛物线的最值可以判断⑤是解决问题关键．
【详解】①根据图象可知：，
∵对称轴是直线，
即，
，
，故①错误；
②方程，即为二次函数与轴的交点，
根据图象已知一个交点，关于对称，
∴另一个交点，故②正确；
③∵对称轴是直线，
∴点离对称轴更近，
∴，故③错误.
④，
∴，
，
根据图象，令
，
∴
，
，故④正确；
⑤∵对称轴是直线，
∴当时，y值最小，即为，
∴当时，，
即，
∴，故⑤正确；
综上②④⑤正确，
故答案为：②④⑤．
三、解答题一（共46分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根，负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，实数的运算法则，等计算即可．
【详解】解：原式＝．
本题考查了立方根，负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，实数的运算等知识点，熟练运用运算法则是解本题的关键．
18. 先化简，再求值：，．
【答案】，．
【解析】
【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再利用分式除法法则化简出最简结果，最后代入求值即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
19. 解方程：
【答案】.
【解析】
【分析】先将一元二次方程化为一般形式，然后利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程化为一般形式，得
，
∴方程有两个不等实根，
即
此题考查的是解一元二次方程，掌握用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
20. 解不等式组，并写出它的所有负整数解
【答案】-3≤x<2，负整数解为-3，-2，-1.
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定解集中的负整数即可得.
【详解】，
由①得，x≥-3，
由②得，x<2，
所以不等式组的解集为：-3≤x<2，
∴负整数解为-3，-2，-1.
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
21. 有三张完全相同的卡片，它们的正面分别写有数字，，．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，再从剩下的二张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，两次结果记为．
（1）用树状图或列表法表示所有机会均等结果；
（2）若用表示平面直角坐标系内点的坐标，求点在直线上的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）列表得出所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）列表如下：
所有等可能的情况有6种：（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣1，﹣2），（﹣1，0），（0，﹣2），（0，﹣1）；
（2）在直线y＝x﹣1上的点有（﹣1，﹣2），（0，﹣1），
所以点M（x，y）在直线y＝x﹣1上的概率为．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，注意此题是放回试验还是不放回试验是解题关键．
22. 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.
（参考数据：，）
【答案】该建筑物需要拆除
【解析】
【详解】分析：根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．
详解：由题意得，米，米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴ （米），
∵米米，
∴该建筑物需要拆除.
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
四、解答题二（共50分）
23. 某校为了解七年级学生体育测试情况，在七年级各班随机抽取了部分学生的体育测试成绩，按四个等级进行统计(说明：级：90分～100分；级：75分～89分；级：60分～74分；级：60分以下)，并将统计结果绘制成两个不完整的统计图，请你结合统计图中所给信息解答下列问题：
（1）学校在七年级各班共随机调查了________名学生；
（2）在扇形统计图中，级所在的扇形圆心角的度数是_________；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级有500名学生，请根据统计结果估计全校七年级体育测试中级学生约有多少名？
【答案】（1）50；（2）36°；（3）作图见解析；（4）100名．
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的对应关系,用条形统计图中某一类的频数除以扇形统计图中该类所占百分比即可解决.
（2）用单位1减掉A、B、C所占的百分比,得出D项所占的百分比,然后与360°相乘即可解决.
（3）用总数减去A、B、C的频数,得出D项的频数,然后画出条形统计图即可.
（4）用七年级所有学生乘A项所占的百分比,即可解决.
【详解】（1）10÷20%=50；
（2）；
（3）D项的人数：50-10-23-12=5.补全条形统计图如图所示．
（4）因为500×20％=100(名)．
所以估计全校七年级体育测试中A级学生人数约为100名．
本题考查了条形图和扇形统计图结合题型,解决本题的关键是正确理解题意,熟练掌握扇形统计图和条形图的各类量的对应关系.
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；（2）存在，或．
【解析】
【分析】(1)把和分别代入反比例函数解析式中求出和，再代入一次函数解析式中求出一次函数的解析式；
(2)先求出C点和D点的坐标，再分情况讨论当时和当时求解即可．
【详解】解：(1)把代入反比例函数，得
反比例函数的表达式为．
点在图象上，，即
把，两点代入，
解得，
所以一次函数的表达式为．
(2)由(1)得一次函数的表达式为
当时，，，即．
当时，，点坐标为，即，
．
，．
设点坐标为，由题可以，点在点左侧，则，
由可得：
①当时，，，
解得，故点坐标为；
②当时，，，
解得，即点的坐标为．
因此，点的坐标为或时，与相似．
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定等，属于综合题，熟练掌握各性质及解析式的求法是解决本题的关键．
25. 如图，在等腰中，，以为直径作交于，过点作．过点作于．
（1）求证：是的切线且；
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）见解析 （2）的直径为3．
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
（1）连接，根据直径所对圆周角是直角得，再根据等腰三角形的性质即可证明结论；
（2）结合（1）根据等腰三角形的性质证明，进而可得的值．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

为直径，
，
，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
为直径，
是的切线；
【小问2详解】
解：由（1）知：是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
．
的直径为3．
26. 已知：如图，是的角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，试求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）120
【解析】
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，，再证，即，即可得出结论；
（2）连接交于点O，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求得，从而可得，再利用菱形的面积公式计算即可．本题考查平行四边形的判定、勾股定理、菱形的判定与性质、菱形的面积公式及角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
小问2详解】
解：如图，连接交于点O，

由（1）可知，四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
27. 如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为的中点，过点P作轴于点F，G为抛物线上一动点，轴于点M，N为直线上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）或或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分、两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可；
（3）计算出，，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则，即可求解．
【小问1详解】
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得:
，解得，
故抛物线的表达式为；
【小问2详解】
由抛物线的表达式知，点，函数的对称轴为直线，
则设点Q的坐标为，
由点A、C、Q的坐标得：，
同理可得：，，
当时，则，解得；
当时，同理可或0（舍去），
故点Q的坐标为或或；
【小问3详解】
∵，故点D的坐标为，
由点B、D的坐标得，点，
则点，
设点M的坐标为，则点，
则，，
当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则，
即，
当时，解得，
当时，解得，
故点M的坐标为或或或．
﹣2
﹣1
0
﹣2
（﹣1，﹣2）
（0，﹣2）
﹣1
（﹣2，﹣1）
（0，﹣1）
0
（﹣2，0）
（﹣1，0）