数学七年级下册7.2 实验同步训练题

这是一份数学七年级下册7.2 实验同步训练题，共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
2. 有理数在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比小的是（ ）
A B. C. D.
3. 不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D. 无
4. 如图，一条街道有两个拐角和，测得，则，就可以知道//，其依据的定理是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行D. 平行于同一条直线的两直线平行
5. 如图，内接于，并且为直径，，点P是上任意一点（点不与点，点重合），连接，则的度数不可能为（ ）
A. B. C. D.
6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. _______．
8. 因式分解：__________．
9. 若关于x的方程有两个实数根，则k的值可能是 _____．（写出一个即可）
10. 长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据______．

11. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则_______°．
12. 如图，在中，，任取一点，使点和点在直线的两侧，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若的长为，则的长为___________．
13. 如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，如图②所示，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高CD为________m．
14. 如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为________．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15 先化简．再求值：，其中．
16. 某次化学实验课上，姚老师带来了（铁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与稀盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小远从四种金属中随机选一种，则选到的概率是__________．
（2）小松从四种金属中随机选一种金属，小惠也从四种金属中随机选一种金属，分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
17. 健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和单位铁质，如果一个运动员每餐需要32单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？
18. 如图，，，，求证：．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A，B在格点上，请仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角，画出符合要求的格点图形．
（1）在图甲中画出以线段为对线的；
（2）在图乙中画出以线段为边的，且使其面积最大．
20. 近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．如图是我国年公共充电桩数量情况统计图和2023年全国部分省公共充电桩数量统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的__________（精确到）；
（2）2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比约为__________；
A． B． C． D．
（3）小明说：2023年全国公共充电桩数量超过前4年总和，所以2023年全国公共充电桩数量的增长率比2022年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
21. 图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离、身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（精确到，参考数据：，）
22. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．
若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）
（1）写出游轮从甲地到乙地所用的时长_____________；游轮在乙地停留的时长_____________；
（2）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（3）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
24. 【特例感知】
（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边在直线l的两侧，过A作于点D，过B作于点E，求证：．
【应用拓展】
（2）当等腰直角的边落在直线l上，，为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转的得到线段，连接与射线交于点F．
①如图2，求证：；
②当时，请直接写出的值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在等边三角形中，于点．动点从点出发，沿线段向点以每秒个单位长度的速度运动，过点作，垂足为点．点出发后，以为边向上作等边三角形，设点的运动时间为秒，和的重合部分面积为．

（1）_______（含的代数式表示）；
（2）求点落在线段上时的值；
（3）当时，求与之间的函数关系式．
26. 如图，二次函数图象经过点，点．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求抛物线的对称轴，并直接写出当随的增大而减小的的取值范围；
（3）点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为．
①当时，求点N的纵坐标为_____；当点N的纵坐标为，m的值为____；
②当点不在轴上时，过点作轴于点．当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出点H的坐标．
吉林省2024年初中学业水平考试数学模拟试题（四）
数学试卷共8页．包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从组合体正上方看到的平面图形即可得到答案．
【详解】解：由题意得组合体的俯视图是：
，
故选：D．
此题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
2. 有理数在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比小的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数大小比较以及数轴、绝对值，正确判断各数的大小是解题关键．直接利用数轴结合绝对值的性质分别判断得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：B．
3. 不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D. 无
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组：先移项再合并同类项，系数化1，解出每个不等式的解，再取公共部分的解集，即可作答．
【详解】解：∵
∴
即
故选：C
4. 如图，一条街道有两个拐角和，测得，则，就可以知道//，其依据的定理是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行D. 平行于同一条直线的两直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定．根据题意，拐角和是内错角，进而得出答案．
【详解】解：，
（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
5. 如图，内接于，并且为的直径，，点P是上任意一点（点不与点，点重合），连接，则的度数不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得到，由直角三角形两锐角互余可得到，根据点是上任意一点（点不与点，点重合）可确定的度数的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵为的直径，，
∴，
∴，
∵点是上任意一点（点不与点，点重合），
∴，
∵，
∴的度数不可能为．
故选：D．
本题考查直径所对的圆周角为直角，直角三角形两锐角互余．掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根，直接利用算术平方根的性质化简得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：
故答案为：
9. 若关于x的方程有两个实数根，则k的值可能是 _____．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据方程有两个实数根，得到，求出的取值范围，写出一个值即可．
【详解】解：∵有两个实数根，
∴，
∴，
∴k的值可能是（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
10. 长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据______．

【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】由垂线段的性质，垂线段最短，即可解得．
【详解】解：由题意可得：小致这样走的数学依据 垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
本题考查垂线段最短，正确理解垂线段最短的含义是关键．
11. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则_______°．
【答案】25
【解析】
【分析】由平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质即可求解．本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
∵
．
故答案为：．
12. 如图，在中，，任取一点，使点和点在直线的两侧，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若的长为，则的长为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了作垂线，解直角三角形，等腰三角形的性质，由作图可知，得到，进而由，可得，，再根据线段的和差关系即可求解，由作图得到是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，如图②所示，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高CD为________m．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．
根据折叠的性质可得，可得，，可得四边形是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点，
∵将扇形折叠，点落在弧的中点处，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为： ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 先化简．再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据平方差公式，完全平方公式化简，将代入，即可求解，
本题考查了，多项式乘多项式化简求值，二次根式的运算，解题的关键是：熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
【详解】解：
当时，，
故答案：，．
16. 某次化学实验课上，姚老师带来了（铁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与稀盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小远从四种金属中随机选一种，则选到的概率是__________．
（2）小松从四种金属中随机选一种金属，小惠也从四种金属中随机选一种金属，分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，小远从四种金属中随机选一种，有4种等可能情况，选到有1种，
∴选到的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，共9种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
17. 健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和单位铁质，如果一个运动员每餐需要32单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？
【答案】每餐含甲原料克，乙原料克时恰好能满足运动员的需要．
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．
设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，依题意，得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，
依题意，得，
解得．
答：每餐含甲原料克，乙原料克时恰好能满足运动员的需要．
18. 如图，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定即可得解，根据，得，利用全等三角形的判定即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A，B在格点上，请仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角，画出符合要求的格点图形．
（1）在图甲中画出以线段为对线的；
（2）在图乙中画出以线段为边的，且使其面积最大．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．
（1）在格点中水平向左数2格到，则水平向右数2格到，然后，首尾依次连接即可，答案不唯一，符合，，即可；
（2）根据面积最大即两平行线与之间的距离最大，且，作图即可．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求．
20. 近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．如图是我国年公共充电桩数量情况统计图和2023年全国部分省公共充电桩数量统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的__________（精确到）；
（2）2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比约为__________；
A． B． C． D．
（3）小明说：2023年全国公共充电桩数量超过前4年的总和，所以2023年全国公共充电桩数量的增长率比2022年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
【答案】（1）2 （2）C
（3）不同意，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图，条形统计图以及近似数等知识点，
（1）用2023年上海市公共充电桩数量除以全国公共充电桩数量可得答案；
（2）根据统计图数据可得2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比；
（3）分别求出2022和2023年全国公共充电桩数量的增长率，再比较可得答案；
正确读懂统计图是解题的关键．
【小问1详解】
由折线图知，2023年全图公共充电桩数量为859.6万台，2023年上海市公共充电桩数量为171364台，
∴，
故答案为：2；
【小问2详解】
∵截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆，2023年全图公共充电桩数量为859.6万台，
∴，
故选：C；
【小问3详解】
不同意
∵，，
∴2022年的增长率大于2023年的增长率，
∴小明的说法不对．
21. 图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离、身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（精确到，参考数据：，）
【答案】小杜最少需要下蹲才能被识别
【解析】
【分析】根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．
【详解】解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距离．
∴小杜最少需要下蹲才能被识别．
本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．
22. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积．
【答案】（1），；
（2），；
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数结合题，解题的关键得到解析式，求出函数图象与坐标轴的交点．
（1）将点代入两个解析式中求出待定系数即可得到答案；
（2）求出直线与坐标轴的交点，根据求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入反比例函数得，
∴反比例函数，
当时，，
∴，
将点、代入，得
，
解得：，
∴一次函数；
【小问2详解】
解：一次函数中，当时，，解得，
∴，
∵、，
∴；
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．
若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）
（1）写出游轮从甲地到乙地所用的时长_____________；游轮在乙地停留的时长_____________；
（2）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（3）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
【答案】（1）14h，2h
（2）当时，，当时，，当时，；
（3）8小时
【解析】
【分析】（1）用甲乙两地间的路程÷游轮的速度求出游轮从甲地到乙地所用的时长，再用23小时-从开始到A的时间-从B到C的时间求出轮在乙地停留的时长；
（2）分三种情况：当时，当时，当时，利用一次函数解析式的求法来求解；
（3）根据题意先求出点，，再求出游船段，货船的解析式，利用来求解．
【小问1详解】
解：根据题意得
游轮从甲地到乙地所用的时长为：，
游轮在乙地停留的时长为：．
故答案为：14h，2h；
【小问2详解】
解：当时，设s关于t的函数解析式为，
，
∴，
∴；
当时，；
当时，点B的时间为，
设s关于t的函数解析式为，
，
解得，
∴；
【小问3详解】
解：∵点，点，
且（h），，
∴点，
游船段：当时，，
货船：的解析式为，
由题意：，
解得，
（h），
∴小货轮出发后8小时追上游轮．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，读懂图象，从图象中获取信息，利用数形结合的思想解答．
24. 【特例感知】
（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边在直线l的两侧，过A作于点D，过B作于点E，求证：．
【应用拓展】
（2）当等腰直角的边落在直线l上，，为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转的得到线段，连接与射线交于点F．
①如图2，求证：；
②当时，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形性质，正确作出辅助线直角三角形是解答本题的关键
（1）根据垂线性质得到，进而得到，利用证明，即可得出结论；
（2）①过点E作交的延长线于点N，利用证明得到，进一步证明即可得出结论；②分两种情况利用，以及即可求出结果．
【详解】（1）证明：如图，
于点D，于点E，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）①如图，过点E作交的延长线于点N，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
②如图2所示，，
由①可知，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
；
如下图，作与点N，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
综上所述：．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在等边三角形中，于点．动点从点出发，沿线段向点以每秒个单位长度的速度运动，过点作，垂足为点．点出发后，以为边向上作等边三角形，设点的运动时间为秒，和的重合部分面积为．

（1）_______（含的代数式表示）；
（2）求点落在线段上时的值；
（3）当时，求与之间的函数关系式．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质得出得出即可；
（2）由等边三角形的得出，由等边三角形的性质和三角函数得出，，证出，由三角函数求出，由得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：①当时，的面积的面积，即可得出结果；
②当时，由①的结果容易得出结论；
【小问1详解】
解：根据题意得：，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：点落在线段上时，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：分两种情况：①当时，分别过点、作，于、两点，如图所示：

由（）得，，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即；
当时，如图所示：

由①得，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
，
即，
综上可得．
本题主要考查了等边三角形的判定及性质、垂线定义，解直角三角形，平行线的判定以及等腰三角形的三线合一，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
26. 如图，二次函数的图象经过点，点．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求抛物线的对称轴，并直接写出当随的增大而减小的的取值范围；
（3）点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为．
①当时，求点N的纵坐标为_____；当点N的纵坐标为，m的值为____；
②当点不在轴上时，过点作轴于点．当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出点H的坐标．
【答案】（1）；
（2）对称轴为，；
（3）①，或；②点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得解；
（2）把抛物线化为顶点式即可得解；
（3）①将代入解析式，得出点的纵坐标，进而根据对称性即可得出的纵坐标；根据点的纵坐标为，则点的纵坐标为，代入抛物线解析式，即可求解；②分两种情况讨论，得出和，解方程，即可求解；
【小问1详解】
解：把点，点代入二次函数得
解得，
∴二次函数；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴当随的增大而减小的的取值范围为；
【小问3详解】
解∶①当时，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为；
若点的纵坐标为，则点的纵坐标为，
令，得
解得：，
故答案为：，或；
②设点的横坐标为，
情形一，如图所示，
∵点关于点的对称点恰好落在轴上，
∴的纵坐标为，
∵抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得舍去．
此时点的坐标为；
情形二：如图所示，则为最低点，为最高点，
∵点关于点的对称点恰好落在轴上，
∴的纵坐标为，
∵抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为，
∴点的纵坐标为，
∴，即，
解得，舍．
此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
本题考查了二次函数性质，待定系数法求二次函数，中心对称的性质以及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质以及解一元二次方程是解题的关键．