第22章《二次函数》单元训练试卷（解析版）

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第22章《二次函数》单元训练试卷（解析版）一、选择题1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ 　　）A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+cC．y＝3x2﹣1 D．y＝3x﹣1【答案】C【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义和概念 一般地，把形如（）（是常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项．【详解】A. y＝（x+1）2﹣x2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；B. y＝ax2+bx+c（），故该选项不正确，不符合题意；C. y＝3x2﹣1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；    D. y＝3x﹣1，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C平行于x轴的直线与抛物线的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点坐标为（ 　　）A．（1，2） B．（1，-2） C．（5，2） D．（-1，4）【答案】C【分析】先把点（-1，2）代入抛物线求出a的值，再令y=2求出x的值即可．【详解】解：把点(−1，2)代入抛物线，解得a=，∴抛物线解析式为，令y＝2，则，解得，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5，2)．故选C．已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（ 　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系．【详解】二次函数，对称轴为，，时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小，，，在二次函数的图象上，且，，．故选D．将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（ 　　）A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据二次函数的图象平移的规律，即可求解．【详解】解：将二次函数的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：；再将二次函数的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为：．故选：D．5 .如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ 　　） A．20米 B．18米 C．10米 D．8米【答案】A【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解．【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，设抛物线解析式为，将点代入，得解得∴抛物线解析式为令，解得（负值舍去）即，故选：A6 .长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ 　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．【详解】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故选：C．7．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．且【答案】A【分析】分和两种情况分类讨论，时，利用进行求解即可．【详解】当，与轴有一个交点；当，由题意得：，解得：，综上：时，函数的图象与轴有交点．故选A．8．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；B、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，符合题意；C、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；D、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；故选B． 如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动， 同时点从点沿向点以的速度运动（点运动到点停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（    ） A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，利用勾股定理可得AC=6cm，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．【详解】解：在中，，，，，设运动时间为，则，，当时，四边形的面积取最小值，最小值为cm2．故答案为：D10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论：①abc＞0；②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤2c＜3b．其中正确的结论有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点（-1，0）可得a-b+c=0，由对称轴可知a=- ，可判断⑤，从而可得答案．【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则a0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧可得b>0，故abc0，故③符合题意；由图象知抛物线的对称轴为x=- =1，∴b=-2a，∴2a+b=0，故④符合题意；由图象过点（-1，0）可得a-b+c=0，由对称轴可知a=- ，即--b+c=0，∴2c=3b，故⑤不符合题意，故正确的有3个，故C正确．故选：C．二、填空题11．若是关于的二次函数，则的值为 ．【答案】2【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】解：由题意可知 m2-2=2，m+2≠0，解得：m=2．故答案为：2．12．已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．【答案】a≤2【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上，∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大，故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大，所以a的取值范围为a≤2．故答案为a≤2．二次函数y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+3=0的解为 【答案】【分析】二次函数的图象与x轴的交点坐标的横坐标则为的两个解，由交点（-1，0）可知方程的一个解为，将代入原方程可得，即原方程为，再求解即可．【详解】根据题意可知的一个解为，将代入，得：，解得： ∴原方程为，，∴故答案为：．二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大值为 ． 【答案】7【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-7得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=-m有交点，由图象得，-m≥-7，解得m≤7，∴m的最大值为7，故答案为：7．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是 ．  【答案】或．【分析】由可变形为，即比较抛物线与直线之间关系，而直线PQ：与直线AB：关于与y轴对称，由此可知抛物线与直线交于，两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，∴，，∴抛物线与直线交于，两点，观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，  ∴不等式的解集为或．故答案为或．16 .如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为 ．【答案】【分析】由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．【详解】解：连接PB，对于抛物线y=-x2+k，对称轴是y轴，∴PC=PB，∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，所以点B的坐标为（-2，0），所以BD=，故答案为：．三、解答题17．写出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．(1)；(2)．【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为x=5，顶点坐标为（5，-1）；(2)抛物线开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，1）．【分析】由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标．【详解】（1）解：∵在中，a=＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x=5，顶点坐标为（5，-1）；（2）解：∵在y=-4（x+2）2+1中，a=-4＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，1）．18 .已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．【答案】（1）见解析；（2）(2，－1)【分析】（1）令y＝0得到关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋1－2m＝0，然后用根的判别式即可解答．（2）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点.【详解】（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0．因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m，所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0．所以方程有两个不相等的实数根．所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．（2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1．因为该函数的图像都会经过一个定点，所以x－2＝0，解得x＝2．当x＝2时，y＝－1．所以该函数图像始终过定点（2，－1）．19．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围． 【答案】（1）y2=x2﹣2x﹣3；（2）当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．【分析】(1)两点带入直线解析式中直接求出m的值，再根据交点坐标求出二次函数的解析式（2）根据函数图象，直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围.【详解】（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得：﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有：，解得∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3；（2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，实心球行进至最高点处．  (1)求y关于x的函数表达式；(2)根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【答案】(1)(2)该男生在此项考试中不能得满分，理由见解析【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．（1）由顶点坐标设二次函数表达式为，由图（2）可得抛物线过点，由此即可求解；（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，把代入解析式得：，解得：，关于的函数表达式为；（2）解：该男生在此项考试中不能得满分，理由：令，则，解得：，（舍去），，该男生在此项考试中不能得满分．21．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？【答案】（1）；（2）；（3）最多获利4480元【分析】（1）销售量y为200件加增加的件数（80﹣x）×20；（2）利润w等于单件利润×销售量y件，即W=（x﹣60）（﹣20x+1800），整理即可；（3）先利用二次函数的性质得到w=﹣20x2+3000x﹣108000的对称轴为x=75，而﹣20x+1800≥240，x≤78，得76≤x≤78，根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．【详解】（1）根据题意得，y=200+（80﹣x）×20=﹣20x+1800，所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=﹣20x+1800（60≤x≤80）；（2）W=（x﹣60）y=（x﹣60）（﹣20x+1800）=﹣20x2+3000x﹣108000，所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：W=﹣20x2+3000x﹣108000；（3）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，w=﹣20x2+3000x﹣108000，对称轴为x=﹣=75，∵a=﹣20＜0，∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，∴x=76时，W有最大值，最大值=（76﹣60）（﹣20×76+1800）=4480（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．