数学九年级上册3.1 圆精品测试题

这是一份数学九年级上册3.1 圆精品测试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，点A，D，G，M在半圆上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是( )．
A. a>b>cB. a=b=cC. c>a>bD. b>c>a
2.如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是( )
A. 3 2B. 2 5C. 4D. 17
3.如图.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−1,0)，B(0,1)，P(−3,2)，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则△ABC的面积最大值为( )
A. 2+ 22
B. 2− 22
C. 2+ 2
D. 2
4.如图，直线y=−x+6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是 ( )
A. 3 2+1B. 3 2−1C. 2D. 3 2
5.如图，锐角三角形ABC的三边是a,b,c，它的外心到三边的距离分别为l,m,n，那么m:l:n等于( )
A. 1a:1b:1cB. a:b:c
C. csA:csB:csCD. sinA:sinB:sinC
6.下列说法正确的是( )
A. 直径是圆中最长的弦，有4条
B. 长度相等的弧是等弧
C. 如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D. 已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在⊙O上
7.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是( )．
A. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
B. O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心
C. O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心
D. O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心
8.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P为⊙O上一动点，M为AP的中点，连接CM。若⊙O的半径为2，则CM的最大值为( )
A. 2 5+1B. 5+1C. 4D. 52+1
9.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P为⊙O上一动点，M为AP的中点，连接CM.若⊙O的半径为2，则CM的最大值为
A. 2 5+1B. 5+1C. 4D. 52+1
10.如图，在直角坐标系中，已知一个直角△ABC，∠BCA=90°，斜边AB在两坐标轴上滑动，AB=2，∠ABC=30°，下面说法错误的是( )
A. 当B点与O点重合时，C点的坐标是32, 32；
B. 滑动过程中，OC的最大值是2；
C. 滑动过程中，四边形OACB的面积最大值是1+ 3；
D. 滑动过程中，AB的中点所走的路径是一段圆弧．
11.如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，∠B=25∘，求∠BOC的度数为( )
A. 45∘
B. 50∘
C. 40∘
D. 65∘
12.如图，已知直线y=34x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最小值是( )
A. 112B. 6C. 8D. 212
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知线段AB=6 cm．
(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个；
(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个；
(3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，分别以点A、C为圆心，以大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，直线EF与AD交于点P，若PA=2，则△ABC外接圆的面积为______．
15.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36∘，∠B=64∘，则∠C的度数为 ．
16.如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A=60°，则CB= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)中，如图2，若AD=2，AB=2 2且∠ACB=75°，求以AB为直径的圆覆盖△ABC的面积______．
18.(本小题8分)
如图，二次函数y=−x2+(m−1)x+m(其中m>1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC，点D为△ABC的外心．
(1)填空：点A的坐标为__________，∠ABC=______°；
(2)记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究S1−S2是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m=___________________．
19.(本小题8分)
有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、 3，乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、1、2，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为x,y．
(1)请用列表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，求点P在⊙O内的概率．
20.(本小题8分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC=45°，请用无刻度的直尺按要求作图．
(1)如图1，请在图1中画出弦CD，使得CD=AC．
(2)如图2，AB是⊙O的直径，AN是⊙O的切线，点B，C，N在同一条直线上，请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠D=90°，AB的中点为O.求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
22.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．
23.(本小题8分)
如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形DEFG彼此相邻(点A，D，E在直径MN上，点B，C，F在半圆上，点G在CD上)，正方形DEFG的边长为3．
(1)求证：OA=OD；
(2)求⊙O的半径．
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，D为AB边上一点，且BD=BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E(异于点C)，求BE的长．
25.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB=CD，∠ABC+∠BCD=270°，
(1)求∠A+∠D的度数；
(2)连接AC，若∠ACB=45°，求证：BC2+2AC2=AD2；
(3)点E，F分别为线段BC和AD上的点，点G是线段EF上任意一点且△GAB和△GCD的面积相等，过点D作DH⊥EF，DH交直线EF于点H，连接AH.若AD=4，求线段AH的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质，正确根据矩形的性质作出辅助线是解题的关键．
连接OA，OD，OM，根据矩形的对角线相等，即可证明a，b，c都等于圆的半径．
【解答】
解：连接OA，OD，OM．
∵四边形ABOC、DEOF、HMON均为矩形．
∴OA=BC，OD=EF，OM=HN
∴BC=EF=HN
即a=b=c．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据O为△ABC的外心得到OA=OB=OC，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：如图，
∵O为△ABC的外心，
∴OA=OB=OC= 12+42= 17，
∴BC= 32+32=3 2，
故选A．
3.【答案】A
【解析】解：连接PA，延长AP交圆于K，过P作PH⊥x轴于H，
∵P的坐标是(−3,2)，A的坐标是(−1,0)，
∴OH=3，PH=2，OA=1，
∴AH=OH−OA=2，
∴AH=PH，
∴△PAH是等腰直角三角形，
∴∠PAH=45°，
∵B的坐标是(0,1)，
∴OB=1，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∴∠BAK=180°−45°−45°=90°，
∵AK⊥AB，AK过圆心O，
∴当C与K重合时，△ABC的面积最大，
∵△APH，△ABO是等腰直角三角形，
∴PA= 2AH=2 2，AB= 2OA= 2，
∵圆的半径是1，
∴PK=2 2+1，
∴△ABC的面积的最大值为12AB⋅PK=2+ 22．
故选：A．
连接PA，延长AP交圆于K，过P作PH⊥x轴于H，判定△PAH是等腰直角三角形，△OAB是等腰直角三角形，得到∠PAH=45°，∠BAO=45°，求出∠BAK=180°−45°−45°=90°，得到当C与K重合时，△ABC的面积最大，求出PA= 2AH=2 2，AB= 2OA= 2，得到PK=2 2+1，得到△ABC的面积的最大值为12AB⋅PK=2+ 22．
本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，等腰直角三角形下，关键是连接PA，延长AP交圆于K，证明AK⊥AB．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键，也是难点．根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】
解：如图，∵直线y=−x+6与坐标轴交于A，B两点，
∴A(6,0)，B(0,6)，
∴OA=OB=6，
∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=6 2，
∴CD=6 2−2．
∴OM=12CD=3 2−1．
即OM的最小值为：3 2−1．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据外心的性质可知，OA=OB=OC，结合圆周角定理与三角函数可得m=OC•cs∠BAC,n=OB•cs∠BCA,l=OA•cs∠ABC,从而可得答案．
【详解】解：如图⊙O经过A,B,C三点，连接OA,OB,OC，则OA=OB=OC，
在Rt▵COD中，
∵∠COD=12∠COB=∠BAC,∴OC=ODcs∠COD=mcs∠BAC,
∴m=OC•cs∠BAC,
同理：OB=ncs∠BCA,OA=lcs∠ABC,
∴n=OB•cs∠BCA,l=OA•cs∠ABC,
∴m:l:n=cs∠BAC:cs∠ABC:cs∠BCA.
故选C．
本题考查的是三角形外心的性质．重点在于理解圆周角与圆心角的关系，解直角三角形的知识．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义和性质，难度不大．利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：直径是圆中最长的弦，有无数条，则A错误，不符合题意；
完全重合的弧是等弧，则B错误，不符合题意；
如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，则⊙A的半径是⊙B半径的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的16倍，则C错误，不符合题意；
已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在⊙O上，正确．
故选D．
7.【答案】D
【解析】 如图，连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OC=OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OE=OC∴OA=OB=OC=OE≠OD．
OB=OE=OC，即O是△BEC的外心，
OB=OC≠OD，即O不是△BCD的外心，
OA=OE≠OD，即O不是△AED的外心，
OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，
OA=OC=OE，即O是△ACE的外心，
OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，
OA=OC≠OD，即O不是△ADC的外心．
故选 D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是点与圆的位置关系，勾股定理的有关知识.根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【解答】
解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′上，
因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大，
由题意得，OA=OB=OC=2，OO′=O′A=1=O′M，
在Rt△O′OC中，OC=2，OO′=1，
∴O′C= 22+12= 5，
∴CM=CO′+O′M= 5+1．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是点与圆的位置关系，勾股定理的有关知识.得出点M的移动轨迹是解题关键．
根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【解答】
解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′上，
因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大，
由题意得，OA=OB=OC=2，OO′=O′A=1=O′M，
在Rt△O′OC中，OC=2，OO′=1，
∴O′C= 22+12= 5，
∴CM=CO′+O′M= 5+1．
10.【答案】C
【解析】略
11.【答案】C
【解析】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90∘，
∴∠A=90∘−∠B=90∘−25∘=65∘，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=65∘，
∵∠OCA=∠BOC+∠B，
∴∠BOC=65∘−25∘=40∘.
故选：C.
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离，属于中档题目．首先根据直线y=34x−3，与x轴、y轴分别交于A，B两点，得到A，B两点的坐标，可得OA=4，OB=3，BC=4，再由勾股定理可得AB=5，然后过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得，12×AB×CM=12×OA×BC，可知圆C上点到直线y=34x−3的最短距离是115，由此求得答案．
【解答】
解：∵直线y=34x−3，与x轴、y轴分别交于A，B两点，
令y=0，解得x=4，即A点的坐标为(4,0)，
令x=0，解得y=−3，即B点的坐标为(0,−3)，
∴OA=4，OB=3，BC=4，
由勾股定理可得AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得，12×AB×CM=12×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=165，
∴圆C上点到直线y=34x−3的最小距离是 165−1=115，
∴△PAB面积的最小值是 12×5×115=112．
故选A．
13.【答案】【小题1】
2
【小题2】
1
【小题3】
0

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
14.【答案】4π
【解析】解：∵AB=AC，AD是BC边中线，
∴AD垂直平分BC，
∵分别以点A、C为圆心，以大于12AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，
∴EF垂直平分AC，
∴点P即为△ABC外接圆圆心，
∴AP为△ABC外接圆半径，
∴△ABC外接圆的面积为：4π．
故答案为：4π．
利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出P点即为△ABC外接圆的圆心，进而求出其面积．
此题主要考查了三角形的外心，得出P点即为△ABC外接圆圆心是解题关键．
15.【答案】28°
【解析】解：如图，连接OA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=64°，
∵∠BAC=36°，
∴∠OAC=∠OAB−∠BAC=64°−36°=28°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=28°，
故答案为：28°．
连接OA，结合已知条件，利用等边对等角及角的和差即可求得答案．
本题考查圆的相关概念与等腰三角形的综合应用，连接OA构造等腰三角形是解题的关键．
16.【答案】 3
【解析】解：作圆的直径BD，连接CD，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠A=60°，
∴sinD=BCBD= 32，
∵圆O的半径为1，
∴BD=2，
∴BC= 3．
故答案为： 3．
作圆的直径BD，连接CD，由圆周角定理得到∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，由锐角的正弦即可求出BC的长．
本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线，构造直角三角形．
17.【答案】32+π6
【解析】解：(1)如图，
①作AB的垂直平分线，交AB于点O，
②以O为圆心，作⊙O，
③作∠DAB=∠ABC，交⊙O于点D，则有AD//BC，
∴S△DBC=S△ABC，
∴D即为所求；
(2)如图，连接BD，设⊙O与AC、BC交于点E、F，连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD=2，AB=2 2，
∴BD=AD=2，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ABC=45°，
∴OD=OE=OA=OB=OF= 2，
∵∠ACB=75°，
∴∠BAC=60°，
∴∠AOE=60°，∠EOF=30°，
∴以AB为直径的圆覆盖△ABC的面积为：
S△BOF+S△AOE+S扇形EOF
=12× 2× 2+12× 22× 2+30×π×( 2)2360，
=32+π6．
(1)利用作垂直平分线，作一个角等于已知角即可；
(2)连接BD，设圆O与AC、BC交于点E、F，连接OE，由AB是⊙O的直径，
则∠ADB=90°，从而证明△ABD是等腰直角三角形，得∠ABD=∠DAB=∠ABC=45°，由三角形内角和求出∠AOE=60°，∠EOF=30°，最后由S△BOF+S△AOE+S扇形EOF即可求解．
本题考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，扇形面积和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
18.【答案】解：(1)(−1,0)，45∘．
(2)是定值，定值为12，理由如下：
作DE⊥AB，垂足为E，CF⊥DE，垂足为F，则∠AED=∠DFC=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90∘，
∵y=−x2+(m−1)x+m=−(x+1)(x−m)，
∴点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(m,0)，点C的坐标为(0,m)，
∴OB=OC=m，
∴∠ABC=45∘．
∵点D为△ABC的外心，
∴AD=BD=CD，∠ADC=2∠ABC=90∘，
∴∠ADE+∠CDF=90∘，
∴∠CDF=∠DAE，
∴△ADE≌△DCF(AAS)，
∴DE=CF=OE=AE−AO=12AB−AO=m+12−1=m−12．
∴S1=12AD⋅CD=12AD2=14AC2=14(AO2+OC2)=m2+14，
S2=12AB⋅DE=m+12⋅m−12=m2−14，
∴S1−S2=m2+14−m2−14=12，即S1−S2为定值12．
(3) 5．
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象的综合运用，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的外心以及菱形的性质与判定，十字相乘法等知识点．
(1)将二次函数表达式进行因式分解得到y=−x2+(m−1)x+m=−(x+1)(x−m)，由此得出点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(m,0)，点C的坐标为(0,m)，即∠ABC=45∘．
(2)作DE⊥AB，垂足为E，CF⊥DE，垂足为F，利用m表达出S1和S2，即可解答．
(3)根据(2)可知B(m,0)，C(0,m)，D(m−12,m−12)，设E(t,−t2+(m−1)t+m)(0【解答】
解：(1)当y=0时，−x2+(m−1)x+m=0，
所以(x+1)(x−m)=0，
解得x=−1或者m，
所以点A(−1,0)，点B(m,0)，
当x=0时，y=m，
所以点C(0,m)，
所以OC=OB=m，
所以∠ABC=45°．
(2)见答案．
(3)根据(2)可知，B(m,0)，C(0,m)，D(m−12,m−12)，
设E(t,−t2+(m−1)t+m)(0∵E在第一象限内的抛物线上，以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，
∴菱形BDCE是以BC为对角线，
∴BC与DE互相平分，
∴xc+xB=xD+xEyc+yB=yD+yE,
∴m+0=m−12+t ①0+m=m−12+−t2+(m−1)t+m) ②,
由①得：t=m+12，代入②中得：
m=m−12+[−(m+12)2+(m−1)m+12+m]，
m2−5=0⇒m2=5，
解得：m=± 5，
又∵m>1且E在第一象限，
∴m= 5．
19.【答案】解：(1)画树状图如下：
共有6种等可能的结果，分别为(1,0)、(1,1)、(1,2)、( 3,0)、( 3,1)、( 3,2)；
(2)由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中点P(x,y)在⊙O内(x2+y2<22的结果有3种，即(1,0)、(1,1)，( 3,0)，
∴点P(x,y)在⊙O内的概率为36=12．
【解析】本题考查的是用树状图法求概率、勾股定理以及圆的性质．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)画出树状图，即可得出结论；
(2)由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中点P(x,y)在⊙O内(x2+y2<22)的结果有3种，再由概率公式求解即可．
20.【答案】解：
(1)如图，CD即为所求；
(2)如图，BD即为所作．
【解析】本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．(1)如图1，连接AO并延长交圆于点D，则CD=AC，CD即为所求作的图形；
(2)如图，连接AC、ON交于点P，连接BP交AN于点D，则BD就是边AN上的中线，BD即为所作的图形．
21.【答案】证明：连结OC，OD，

∵∠ACB=∠ADB=90°，AB的中点为O，
∴OA=OB=OC=OD=12AB，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上．
【解析】连结OC、OD，由直角三角形斜边上的中线定理得OA=OB=OC=OD=12AB，则可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
22.【答案】解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为⊙O的半径，AB=2DE，∠E=18°，∴OD=DE，∴∠DOE=∠E=18°，∴∠ODC=∠DOE+∠E=36°.又∵OC=OD，∴∠C=∠ODC=36°，∴∠AOC=∠C+∠E=36°+18°=54°．
【解析】见答案
23.【答案】【小题1】
解：连接OB，OC，则OB=OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO=∠CDO=90°，AB=CD，∴△AOB≌△DOC(HL)，∴OA=OD；
【小题2】
连接OF.设OA=OD=a，则AD=CD=2a，OE=a+3，在Rt△ODC和Rt△OEF中，a2+(2a)2=OC2=OF2=(a+3)2+32，∴a1=3，a2=−32(舍去)，∴OC= a2+(2a)2= 5a=3 5，即⊙O的半径为3 5．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
24.【答案】解：连接DE.∵∠ACB=90°，AC=BC=BD，∴∠A=∠B=45°，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC.∵BD=BC，∴∠DCE=∠CDB，∴∠CED=∠CDB，∵∠CDB=∠A+∠ACD，∠CED=∠B+∠EDB，∴∠ACD=∠EDB.∴△ADC≌△BED(SAS)，∴BE=AD.∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∴AB= 2BC=3 2，∵BD=BC=3，∴AD=3 2−3，∴BE=AD=3 2−3．
【解析】见答案
25.【答案】(1)解：在四边形ABCD中，
∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°，
∵∠ABC+∠BCD=270°，
∴∠A+∠D=90°，
(2)证明：如图1，作DG⊥AC交AC的延长线于点G，在DG的延长线上截取DF=AC，连接CF，
∴∠DAC+∠ADC+∠CDG=90°，
由(1)知：∠BAD+∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠BAC+∠ADC=90°，
∴∠CDF=∠BAC，
∵AB=CD，
∴△ABC≌△DCF(SAS)，
∴∠F=∠ACB=45°，CF=BC，
∴CG=FG= 22CF= 22BC，
∵∠AGD=90∘，
∴AG2+DG2=AD2，
∴(AC+CG)2+(DF−FG)2=AD2，
∴(AC+ 22CF)2+(AC− 22CF)2=AD2，
∴(AC+ 22BC)2+(AC− 22BC)2=AD2，
∴BC2+2AC2=AD2;
(3)解：如图2，延长AB，DC，交于点X，
由(1)得：∠BAD+∠CAD=90∘，
∴∠AXD=90∘，
∴点X在以AD为直径的圆上运动，
∵△GAB和△GCD的面积相等，AB=CD，
∴ℎAB=ℎCD，
∴点G在∠AXD的平分线上，
∵点G是EF上任意一点，
∴EF在∠AXD的角平分线上，
设EF交圆O于点W，
∵∠AXE=∠DXF，
∴W是半圆AWD的中点，
∴DW= 22AD=2 2，
∵DH⊥EF，
∴∠DHW=90∘，
∴点H在以DW为半径的圆I上运动，
连接AI，交⊙I于点H，则AH最小，
作IV⊥AD于V，
∵∠ADW=45∘，DI= 2，
∴VI=DV=1，
∴AV=AD−DV=3
∴AI= VI2+AV2= 32+12= 10，
∴AH最小= 10− 2⋅
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件和圆的有关性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
(1)根据四边形的内角和求解即可;
(2)作DG⊥AC交AC的延长线于点G，在DG的延长线上截取DF=AC，连接CF，可证明△ABC≌△DCF，从而∠F=∠ACB=45∘，CF=BC，从而CG=FG= 22CF= 22BC，根据AG2+DG2=AD2可得(AC+ 22CF)2+(AC− 22CF)2=AD2，进一步得出结论;
(3)延长AB，DC，交于点X，可得∠AXD=90∘，从而得出点X在以AD为直径的圆O上运动，根据△GAB和△GCD的面积相等，AB=CD推出EF在∠AXD的角平分线上，设EF交圆O于点W，可推出W是半圆AWD的中点，从而DW= 22AD=2 2，进而推出点H在以DW为半径的圆I上运动，接AI，交⊙I于点H，则AH最小，解三角形ADI，进一步得出结果．