初中3.3 垂径定理优秀达标测试

这是一份初中3.3 垂径定理优秀达标测试，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为 ( )
A. 8cm
B. 10cm
C. 16cm
D. 20cm
2.被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥(如图)，已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5m，则水面AB的宽度是( )
A. 1.8mB. 1.6mC. 1.2mD. 0.9m
3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A. 第一块B. 第二块C. 第三块D. 第四块
4.如图，圆形输水管的横截面阴影部分为有水部分，水面AB宽为12cm，水的最大深度为12cm，则该输水管的半径为( )
A. 5cmB. 6cmC. 7.5cmD. 10cm
5.往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示.若水面宽AB=24cm，则水的最大深度为( )
A. 4cmB. 5cmC. 8cmD. 10cm
6.如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图(单位cm)，将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是( )cm．
A. 10
B. 18
C. 20
D. 22
7.小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示(网格中每个小正方形的边长均为1)的一块碎片到玻璃店，配了形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径为( )
A. 2B. 5C. 2 2D. 3
8.如图，某公图的一石桥是圆弧形(劣弧)，其跨径(AB)为24米，拱的半径为13米，则拱高(CD)为( )
A. 9米B. 8米C. 7米D. 5米
9.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A. 20mB. 28mC. 35mD. 40m
10.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为( )寸．
A. 13B. 25C. 26D. 30
11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm，则直尺的宽度为( )
A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm
12.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是 ( )
A. 2cmB. 2.5cmC. 3cmD. 4 cm
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如下图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
14.如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD=4m，EM=6m，则⊙O的半径为______m.
15.圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，⊙O的半径为4 cm，圆心O到油面AB的距离为2 cm，则水面AB的宽度为__________cm．
16.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以O为圆心的一个圆，可简化为图2.若⊙O被水面所截的弦长AB=8米，⊙O的半径为5米，则筒车最低点距水面___________米．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．

(1)求拱桥的半径；
(2)有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
18.(本小题8分)
如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、
(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)已知拱门高2.8m(优弧AC中点到BD的距离)，AB⊥BD,CD⊥BD,BD=2.4m，AB=0.4m，求拱门的圆弧半径．
19.(本小题8分)
如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB=32米，拱高CD=8米(C为AB的中点，D为弧AB的中点)．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
20.(本小题8分)
如图，某下水管道的横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽60cm.若一场大雨过后，水面宽80cm，求水面上升的高度．
21.(本小题8分)
如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥拱所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4 m.现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面AB 2 m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
22.(本小题8分)
排水管的截面为如图所示的⊙O，其半径为13 dm，圆心O到水面的距离是5 dm，求水面宽AB．
23.(本小题8分)
“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表述：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=1尺，求直径CD的长(1尺=10寸)．
24.(本小题8分)
如图，有一座拱桥的截面是圆弧形，其所在圆的圆心为O，它的跨度AB=60 m，拱高PD=18 m(OP⊥AB)．
(1)求圆弧所在圆的半径．
(2)当洪水泛滥到跨度只有30 m时，要采取紧急措施．当拱顶离水面A′B′只有4 m，即PE=4 m时，是否需要采取紧急措施？
25.(本小题8分)
如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
(1)桥拱的半径；
(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=48cm，
∴BD=12AB=12×48=24(cm)，
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中，OD= OB2−BD2= 262−242=10(cm)，
∴CD=OC−OD=26−10=16(cm)，
故选C．
2.【答案】A
【解析】解：如图，连接OA，
在Rt△AOD中，OA=1.5m，OD=CD−OC=1.2m，∠∠ODA=90°，
∴AD= OA2−OD2=0.9m，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=1.8m．
故选：A．
连接OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AD即可解决问题．
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，连接OA是解题的关键，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】C
【解析】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，交圆的另一侧于C，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=12AB=12×12=6cm，
设OA=r，则OD=12−r，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(12−r)2+62，
解得r=7.5cm．
∴该输水管的半径为7.5cm；
故选：C．
先过点O作OD⊥AB于点D，交圆的另一侧于C，连接OA，由垂径定理可知AD=12AB，设OA=r，则OD=12−r，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】A
【解析】解：设圆心为O点，连OE，交AB于C，如图，
AB=16，CE=4，
则OE⊥AB，
∴AC=BC=8，
在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC=R−4，
∴OA2=AC2+OC2，
∴R2=82+(R−4)2，
解得，R=10，
即该球的半径是10cm．
故选：A．
设圆心为O点，连OE，交AB于C，则OE⊥AB，AC=BC=8，在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC=R−4，利用勾股定理得到R2=82+(R−4)2，解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．
在网格中找点A、B、D(如图)，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心，故OA即为此圆的半径，根据勾股定理求出OA的长即可．
【解答】解：如图，连接BD，作AB，BD的垂直分线交于点O，
则点O即此圆形镜子的圆心，连接OA，
∵AC=1，OC=2，
∴OA= AC2+OC2= 12+22= 5．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：作出圆弧所在的圆的圆心O，连接OD、OA，
∵CD垂直平分AB，
∴点O在直线CD上，AD=12AB=12，
在Rt△AOD中，OD= OA2−AD2= 132−122=5，
∴CD=OC−OD=13−5=8(米)
故选：B．
连接OD、OA，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，解决计算弦长、半径、弦心距是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】略
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用．
证明E为CD 的中点，可得CE=DE=12CD=5 ，设OC=OA=x ，则AB=2x ，OE=(x−1) ，由勾股定理得：OE2+CE2=OC2 ，可得(x−1)2+52=x2 ，再解方程可得答案．
【解答】
解：∵弦CD⊥AB ，AB 为⊙O 的直径，
∴E为CD 的中点，
又∵CD=10寸，
∴CE=DE=12CD=5 (寸)，
设OC=OA=x寸，
则AB=2x寸，OE=(x−1) 寸，
由勾股定理得：OE2+CE2=OC2 ，
即(x−1)2+52=x2 ，解得x=13 ，
∴AB=26 (寸)，
故选：C．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答．
连接OD，则OD=OC=5cm，过点O作OH⊥DE于H，则容易得出DH=HE=4cm，在Rt△DOH，由勾股定理得OH，即求得直尺的宽度．
【解答】
解：连接OD，过点O作OH⊥DE于点H，
∴OD=OC=5cm，∠OHD=90°，
由垂径定理得：
DH=HE=12DE=12×8=4cm，
在Rt△DOH中，由勾股定理得：
DH2+OH2=OD2，
即：42+OH2=52，
∴OH=3cm，
即直尺的宽度为3cm．
故选B．
12.【答案】B
【解析】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN−ON=4−x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即(4−x)2+22=x2，
解得x=2.5，
故选B．
取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4−x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13.【答案】26
【解析】略
14.【答案】103
【解析】【分析】
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+(a2)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】
解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD=4，则有：CM=12CD=2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，
即：x2=22+(6−x)2，
解得：x=103，
所以圆的半径长是103米．
故答案为：103．
15.【答案】4 3
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股定理．
过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC=BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．
【解答】
解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
∴AC=BC=12AB，
由题意知，OA=4cm，OC=2cm，
在Rt△AOC中，AC= OA2−OC2=2 3(cm)，
∴AB=2AC=4 3cm
16.【答案】2
【解析】【分析】过点O作OC⊥AB于点C，并延长OC与⊙O相交于点D，连接OA，可得点D为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为CD的长，再根据垂径定理，得出AC=BC=12AB=4米，再根据勾股定理，得出OC=3米，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．
【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C，并延长OC与⊙O相交于点D，连接OA，
∴点D为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为CD的长，
∵AB=8米，OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=4米，
又∵⊙O的半径为5米，即OA=5米，
∴OC= OA2−AC2= 52−42=3米，
又∵OD=5米，
∴CD=OD−OC=5−3=2米，
∴筒车最低点距水面2米．
故答案为：2
本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解本题的关键在熟练掌握垂径定理、勾股定理．
17.【答案】解：(1)如图，连接ON，OB，
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB= 12m，
∴BD=12AB = 6m，
又∵CD= 4m，
设OB = OC=ON = r m，则OD =(r−4)m，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r−4)2+62，
解得r = 6.5；
故拱桥的半径为6.5m；
(2)∵CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.6m，
∴CE= 4−3.6 = 0.4(m)，
∴OE=6.5−0.4 = 6.1(m)，
在Rt△OEN中，EN2= ON2−OE2= 6.52−6.12= 5.04(m2)，
∴EN= 5.04m，
∴MN= 2EN = 2× 5.04≈4.49m<5m．
故此货船不能顺利通过拱桥．
【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理的应用.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
(1)根据垂径定理和勾股定理求解即可；
(2)通过求距离水面3.6米高处即ED长为3.6时MN的长，比较MN和5m的大小来确定货船能否通过(MN大于5m则能通过，MN小于等于5m则不能通过)．
18.【答案】【详解】(1)解：如图，点O即为所求，
(2)解：连接AC，如图所示：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90∘，
∴∠B+∠D=180∘，
∴AB/​/CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABDC是矩形，
过点O作EF⊥AC于G，交优弧AC于点E，交BD于F，则
AG=12AC=12×2.4m=1.2m，EF=2.8m，FG=AB=0.4m，
设OA=xm，则OE=xm，
OG=EF−OE−FG=2.8−x−0.4=2.4−xm，
在Rt▵AOG中，∠OGA=90∘，
∴OG+AG=OA，
2.4−x2+1.22=x2，
解得x=1.5，
∴拱门的圆弧半径为1.5m．

【解析】【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键，
(1)在拱门上找任意一点，分别与A、C相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；
(2)先证四边形ABDC是矩形，设OA=xm，再根据勾股定理求得x的值，即可得到拱门的圆弧半径．
19.【答案】【解答】解：(1)设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2=OC2+CB2，
∴R2=(R−8)2+162，
解得R=20；
(2)OH⊥FE于H，则OH=CE=16−4=12，OF′=R=20，
在Rt△OHF中，HF= 202−122=16，
∵HE=OC=OD−CD=20−8=12，EF=HF−HE=16−12=4(米)，
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．

【解析】【分析】(1)设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
(2)利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
20.【答案】如图，设横截面的圆心为点O，作半径OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OB.由垂径定理，得BC=12AB=30cm.在Rt△OBC中，OB=1002=50(cm)，∴OC= OB2−BC2= 502−302=40(cm).①当水面上升到圆心以下(A′B′处)，水面宽80cm时，A′B′交OD于点C′，连接OB′.∵A′B′ // AB，OC⊥AB，∴OC⊥A′B′，∴B′C′=802=40(cm)，∴OC′= OB′2−B′C′2= 502−402=30(cm).此时水面上升的高度为40−30=10(cm).②当水面上升到圆心以上(A″B″处)时，同理，可得水面上升的高度为40+30=70(cm).综上所述，水面上升的高度为10cm或70cm

【解析】见答案
21.【答案】如图，连接ON、OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．∵AB=7.2 m，∴BD=12AB=3.6 m.设OB=OC=ON=r m，则OD=(r−2.4)m.在Rt△BOD中，根据勾股定理，得OB2=OD2+BD2，即r2=(r−2.4)2+3.62，解得r=3.9.∵CD=2.4 m，船舱顶部高出水面AB 2 m.∴CE=2.4−2=0.4(m).∴OE=3.9−0.4=3.5(m).易知OC⊥MN，∴MN=2EN.在Rt△OEN中，EN= ON2−OE2= 3.92−3.52= 2.96m.∴MN=2EN=2× 2.96≈3.44m.∵3.44>3，∴此货船能顺利通过这座拱桥

【解析】见答案
22.【答案】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB.由垂径定理，得AC=BC.∵OB=13 dm，OC=5 dm，∴由勾股定理，得BC= OB2−OC2=12 dm.∴AB=24 dm
【解析】见答案
23.【答案】连接OA.∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，AB=1尺=10寸，∴AE=12AB=5寸．设OA=x寸，则OE=(x−1)寸．在Rt△AEO中，由勾股定理，得x2=52+(x−1)2，解得x=13.∴OA=13寸．∴CD=2OA=26寸
【解析】见答案
24.【答案】【小题1】
连接OA.设圆弧所在圆的半径为r m.由题意，得AD=12AB=30 m，OD=OP−PD=(r−18)m.在Rt△ADO中，由勾股定理，得r2=302+(r−18)2，解得r=34.∴圆弧所在圆的半径为34 m
【小题2】
连接OA′.由题意，得OE=OP−PE=30 m，A′B′=2A′E.在Rt△A′EO中，由勾股定理，得A′E= A′O2−OE2=16 m.∴A′B′=2A′E=32 m.∵32>30，∴不需要采取紧急措施

【解析】1. 见答案
2. 见答案
25.【答案】解：(1)如图，
设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB=12AB=40，EF=ED−FD=AE−DF，
由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+(AE−DF)2，
设圆的半径是r，则：r2=402+(r−20)2，
解得：r=50；
即拱桥的半径为50米；
(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，
连接EM，如图2所示则MH=NH=12MN=30，
∴EH= 502−302=40(米)，
∵EF=50−20=30(米)，
∴HF=EH−EF=10(米)．
【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用有关知识．
(1)根据垂径定理和勾股定理求解；
(2)由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．