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初中数学浙教版九年级上册4.2 由平行线截得的比例线段精品精练
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这是一份初中数学浙教版九年级上册4.2 由平行线截得的比例线段精品精练，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC.已知AE=6，ADDB=34，则EC的长是 ( )
A. 4.5B. 8C. 10.5D. 14
2.如图，已知l1// l2// l3，DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是( )
A. BC：EF=1：1B. BC：AB=1：2
C. AD：CF=2：3D. BE：CF=2：3
3.如图，AD//BE//CF，若AB=4，BC=8，DE=3，则DF的长是 ( )
A. 1.5B. 6C. 9D. 12
4.已知正方形ABCD的边长为a，延长BC到点E，使CE=BC，取CD的中点F，连接DE、BF，DE与BF的延长线相交于点G，则BG的长为( )
A. 53a
B. 2 53a
C. 63a
D. 2 63a
5.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，BA=BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF//AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H.下列结论： ①BD=DG; ②CE= 2BD; ③CH=EH; ④FG= 2EG.其中正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6.如图，已知AB // CD // EF，BCCE=34，AD=9，则DF的长为 ( )
A. 9B. 12C. 15D. 21
7.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AGGF的值是( )
A. 43
B. 54
C. 65
D. 76
8.如图，五线谱由五条等距离的平行横线组成，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=6，则线段BC的长是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
9.如图，已知ΔABC中，DE//BC，若AD=3，DB=6，AE=2，则AC的长是( )
A. 4B. 6C. 9D. 10
10.如图，直线y=−34x+6交坐标轴于点A，B，交反比例函数y=kx于点M，N，若MN=AM+BN，则k的值为( )
A. 6B. 214C. 9D. 12
11.小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM=2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是( )
A. 103B. 113C. 4D. 133
12.如图，AD//BE//CF，若AB=4，BC=8，DE=3，则DF的长是( )
A. 1.5B. 6C. 9D. 12
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=2，∠AOD=120°，点E在对角线BD上，P是AE的中点，PO的最小值是________．
14.如图，在正方形ABCD，点E，F在射线BC上，∠EAF=45°，则BEEF最大值是____．
15.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE//BC，若ADAE=34，BD=2，则EC= ______．
16.如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD=BD，DE//BC，联结DE，设向量AB=a，AC=b，那么用a，b表示DE= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
(1)在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
(2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分(保留画图痕迹，不写画法)．
18.(本小题8分)
学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系.如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，ACAB= 5−12叫做黄金分割比.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值.几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美.如图2和图3，△ABC都是黄金三角形(腰与底的比或底与腰的比等于黄金比);如图4，矩形ABCD是黄金矩形(宽与长的比等于黄金比)．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高.以AD为边，作▱ADEF，使得点E，F分别落在边BC，AC上.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.)
活动二：在活动一的条件下，若DE=EF，求证：点F是线段AC的黄金分割点．
19.(本小题8分)
如图，已知一次函数y=ax+b(a、b为常数，a≠0的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y=kx(k为常数，k≠0的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=34OB=3．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象直接写出不等式0(3)在y轴上是否存在点p，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
(1)求证∠DBG=90°；
(2)若BD=12，DG=2GE．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→B→C方向运动．设运动时间为x秒，点P到直线AB的距离与点P到点B的距离之和记为y1．
(1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出y1的图象与函数y2=x+m的图象有两个公共点时m的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，正比例函数y=34x的图像与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像相交于点A(a,3)，点B为直线OA上位于点A右侧的一点，且OA=2AB，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，交反比例函数的图像于点C．
(1)求反比例函数y=kx的解析式;
(2)试判断△ABC的形状．
23.(本小题8分)
已知AD是△ABC的中线，E是线段AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连接AF．
(1)如图1，当点E与点D重合时，求证：△AEC≌△FBE．
(2)如图2，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
(3)如图3，记AB与EF的交点为G，CE的延长线与AB的交点为N，且N为AB的中点．
①求NEAF的值；
②若CA⊥AB，BC=10，求BF的长．
24.(本小题8分)
如圖，已知BC//DE，BD=16，AC=10，CE=12，求AB的長度．
25.(本小题8分)
图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D，P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点P为对称中心的□ABEF；
(2)在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM；
(3)在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连接AN，使∠DAN=45°．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线中分线段成比例的性质，属于基础题．
根据此性质可得ADDB=AEEC，进而可以求解．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∴AEEC=6EC=34，
∴EC=8，
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出ABAC=23是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理得出ABAC=DEDF=23，由比例的性质得出ABBC=21，即可得出结论．
【解答】
解：∵l1//l2//l3，
∴ABAC=DEDF=46=23，
∴ABBC=21，
∴BC：AB=1：2；
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理．
先根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，再由DF=DE+EF求解即可．
【解答】
解：∵AD//BE//CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=8，DE=3，
∴EF=8×34=6，
∴DF=DE+EF=3+6=9，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：过点C作CP//BG，交DE于点P，连接BD，
∵BC=CE，
∴CP是△BEG的中位线，
∴P为EG的中点，
∵F是CD的中点，
∴FG是△DCP的中位线，
∴DG=GP=PE，
∵正方形ABCD的边长为a，CE=BC，
∴BC=CD=CE=a，∠BCD=90°，
BD=DE= BC2+CD2= 2a，∠BDC=∠EDC=45°，
∴DG= 2a3，∠BDG=90°，
∴BG= BD2+DG2= ( 2a)2+( 2a3)2=2 53a，
故选：B．
过点C作CP//BG，交DE于点P，连接BD，根据平行线等分线段定理的推论证得DG=GP=PE，在Rt△BCD中，根据勾股定理可求出BD，DE，再在Rt△BDG中根据勾股定理即可求出BG．
此题主要考查了正方形的性质，勾股定理应用等知识，平行线等分线段定理的推论，根据平行线等分线段定理的推论证得DG=GP=PE是解题关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
连接DF.HF，可证四边形ABFE是矩形，ΔABC≌ΔADE，即可判断 ① ③;根据 ① ③的结论可推出CE垂直平分DF，可得ΔHDF是等腰直角三角形，从而可判断 ②；取AE的中点M，连接MD并延长MD交BC于N，设AM=EM=DM=12AE=t，根据等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理用含t的代数式表示DC、AC、DN、FG、EG即可解答．
本题综合考查了短形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理等知识点，综合性较强，
基础．
【解答】
解：连接DF，HF，如图所示，取AE的中点M，连接MD并延长MD交BC于N，
∵∠ABC=90∘，BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45∘
由题意得：ΔABC≌ΔADE
∴AD=AB，∠ADE=90∘，∠DEA=∠DAE=45∘
∴∠ABD=∠ADB=180∘−45∘2=67．5∘
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90∘
∵EF//AB，
∴∠AEF=90∘
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠GFB=90∘，EF=AB=AD=ED，∠DEF=90∘−∠AED=45∘
∴∠GBF=90∘−∠ABD=22．5∘
∵∠EDC=∠EFC=90∘，ED=EF，EC=EC
∴ΔEDC≌ΔEFC
∴CD=CF
∴∠CFD=∠CDF=12∠ACB=22．5∘=∠GBF
∴∠GFD=90∘−∠CFD=67．5∘=∠FGD
∴BD=FD=GD
∴点D是BG的中点
即：BD=DG，故 ①正确;
∵∠GDC=∠ADB=67．5∘，，
∴∠EDG=90∘−∠GDC=22．5∘
∵ΔEDC≌ΔEFC
∴∠DEH=∠FEC=12∠DEF=22．5∘−∠EDG
∴DH=EH
同理可证DH=CH
∴CH=EH，故 ③正确;
∵ΔEDC≌ΔEFC
∴CD=CF，
∴CE垂直平分DF
∴HD=HF
∵∠HDF=∠DBF+∠DFB=45∘
∴ΔHDF是等腰直角三角形
∴DF= 2DH
∵CE=2DH，BD=DF
∴CE= 2BD，故 ②正确;
∵M是AE的中点，DA=AE，
∴AM=EM=DM=12AE=t，∠AMD=90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴AD=AB=BC=EF= 2t，BN=AM=12BC，∠MNC=90°，N是BF中点，
∴AC=AE= 2AB=2t，N是BF中点，
∵MN//EF，
∴D是BG中点，
∴DN=12FG，
∴DC=AC−AD=2t− 2t，
∴DN=CN= 22CD= 222t− 2t= 2−1t，
∴FG=2 2−1t，
∴EG=EF−FG= 2t−2 2−2t=2− 2t，
∴FGEG=2 2−1t2− 2t=2 2−1t 2 2−1t= 2，
∴FG= 2EG，故④正确
综上所述正确的有有4个．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答．
【解答】
解：∵AB//CD//EF，
∴BCCE=ADDF，
∵BCCE=34，AD=9，
∴9DF=34，
解得：DF=12．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查的知识点是正方形的性质，平行线分线段成比例，如图作FN//AD，交AB于N，交BE于M.设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】
解：因为四边形ABCD是正方形，所以AB//CD．
如图，过点F作FN // AD交BE于点M．
所以四边形ANFD是平行四边形．
因为∠D=90∘ ，所以四边形ANFD是矩形．
因为AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a．
因为AN=BN，MN//AE，所以BM=ME，MN=32a.
所以FM=52a.
因为AE//FM，所以AGGF=AEFM=3a52a=65 ．
故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【解答】
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则ABBC=ADDE，即6BC=2，
解得：BC=3，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平行线分线段成比例有关知识，根据平行线分线段成比例可得ADDB=AEEC，求出EC，再利用AC=AE+EC计算．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
即36=2CE，
解得：EC=4，
∴AC=AE+EC=4+2=6．
故选B．
10.【答案】C
【解析】【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系，先根据MN=AM+BN，可得MN=12AB，过点M,N作x轴的垂线，垂足分别为C,D，可得CD=12OB，根据x2−x1=4，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵MN=AM+BN
∴ MN=12AB
如图所示，过点M,N作x轴的垂线，垂足分别为C,D，
∴AO//MC//ND
∴AMOC=MNCD=NBDB，即MNAB=CDOB
∵ MN=12AB
∴CD=12OB
设M,N的横坐标为x1,x2
∴x2−x1=4
联立y=−34x+6y=kx
即−34x2+6x−k=0
∴x1+x2=8,x1x2=4k3
∴x2−x1= x1+x22−4x1x2= 64−16k3=4
解得：k=9
故选：C．
11.【答案】D
【解析】【分析】过点E作EI⊥FK于点I，过点M作MJ⊥FK于点J，由七巧板的特点可得，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB=BM=2，EK=EF=2 2，FK=4，FK与CD之间的距离为1，由FM=2EM，得出FMFE=23，由平行线分线段成比例定理的推论求出MJ的长度，进而即可得出答案．
【解答】解：如图2，过点E作EI⊥FK于点I，过点M作MJ⊥FK于点J，
由题意得，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB=BM=2，EK=EF=2 2，FK=4，FK与CD之间的距离为1，
∵FM=2EM，
∴FMFE=23，
∵EI⊥FK，MJ⊥FK，
∴KI=IF，MJ // EI，
∴EI=12FK=2，MJEI=FMFE，
∴MJ2=23，
∴MJ=43，
∵AB // CD，
∴AB与CD之间的距离=2+43+1=133，
故选：D．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入求出EF，根据DF=DE+EF求出答案．
【解答】
解：∵AD//BE//CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=8，DE=3，
∴EF=8×34=6，
∴DF=DE+EF=3+6=9．
13.【答案】 32
【解析】取AB的中点M和AD的中点N，先证明P在MN上，过点O作OQ⊥MN于Q，过A作AH⊥BD于H交MN于K得矩形OHKQ，得HK=OQ，再根据矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=2，∠AOD=120°，证明△OAB是等边三角形，利用等腰三角形的性质得∠OAH=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得AH= 3，最后根据平行线分线段乘比例得P是AE中点，PH=12AH= 32，然后根据垂线段最短可知当P和Q重合时PO最小即可解答．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：取AB、AD的中点M、N，
∴MN//BD，
∵P是AE的中点，
∴FN//BD，
∴M、F、N三点共线，
过点O作OQ⊥MN于Q，过A作AH⊥BD于H交MN于K得矩形OHKQ，
∴HK=OQ，
∵矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=2，∠AOD=120°，
∴OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH=30°，
∴AH= 3，
∵P是AE中点，PN//BD，
∴APPE=AKKH=1
∴PH=12AH= 32，
根据垂线段最短可知当P和Q重合时PO最小，最小值为 32．
故答案为 32．
14.【答案】 2−12
【解析】【分析】
本题考查平行线分线段成比例，二次函数与不等式(组)，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值．
过点E作AE⊥EG交AF于点G，过点G作GH⊥EF于点H，设BE=x，正方形边长为a，证△ABE≌△EHG，由平行线分线段成比例定理得出HF=x2+axa−x，EF=x2+a2a−x，得出1−4k−4k2≥0，即可解答．
【解答】
解：过点E作AE⊥EG交AF于点G，过点G作GH⊥EF于点H，
设BE=x，正方形边长为a
由于AE⊥EG
∴∠AEG=90∘
∴∠AEB+∠GEH=90∘
∵∠BEA+∠BAE=90∘
∴∠BAE=∠GEH
∵∠EAG=45∘=∠AGE=45∘
∴AE=GE，
∵GH⊥EF
∴∠EBA=∠GHE=90∘
在△ABE和△EHG中
∠EBA=∠GHE∠BAE=∠GEHAE=CE
∴△ABE≌△EHG(AAS)
则EH=AB=a，GH=BE=x
∴BH=x+a
∵GH⊥EF
∴GH//AB
则GHAB=HFBF，
即GHAB=HFBH+HF
有xa=HF(a+x)+HF
得出HF=x2+axa−x，EF=x2+a2a−x
则BEEF=xx2+a2a−x=ax−x2x2+a2=k(k>0)
整理得(1+k)x2−ax+ka2=0
Δ=a2−4ka2−4k2a2⩾0
不等式两边同除以a2得1−4k−4k2≥0
令y=1−4k−4k2≥0
则− 2−12≤k≤ 2−12
∵k>0
∴015.【答案】83
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADAE=BDEC，
∴34=2EC，
∴EC=83，
故答案为：83．
根据题意知两平行线DE//BC间的线段成比例式，进而解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质是本题的关键．
16.【答案】13b−13a
【解析】解：在△ABC中，AB=a，AC=b，则BC=AC−AB=b−a．
∵2AD=BD，DE//BC，
∴DEBC=ADAD+BD=ADAD+2AD=13．
∴DE=13BC．
∴DE=13BC，即DE=13b−13a．
故答案为：13b−13a．
由三角形法则求得BC的值；然后结合平行线截线段成比例求得线段DE的长度，继而求得向量DE的值．
本题主要考查了平面向量和平行线截线段成比例．注意：平面向量既有大小又有方向．
17.【答案】解：(1)画出图形如图1所示；
(2)如图2所示．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
(1)画出图形即可；
(2)根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．
18.【答案】解：(1)如图所示，四边形ADEF是所求作的平行四边形．
(2)∵在▱ADEF中，DE=EF，
∴▱ADEF是菱形，
∴AD=AF=DE，EF//AB，DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠ACB=90∘，
CFAF=CEBE，CEBE=ADBD，
∴CFAF=ADBD．
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠DEB=90∘，
∴△ACD≌△DBE，
∴AC=BD．
∴CFAF=AFAC，
∴点F是线段AC的黄金分割点．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、黄金分割等知识；关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．
(1)首先作∠DBE=∠A可得AC//DE，再在AC上截取AF=DE即可得到四边形ADEF是平行四边形；
(2)首先证明▱ADEF是菱形，并根据平行线分线段比例定理证明CFAF=ADBD，再证明△ACD≌△DBE，可得AC=BD，从而得到CFAF=AFAC，即可证明点F是线段AC的黄金分割点．
19.【答案】解：(1)∵CD⊥OA，OA=OD=34OB=3，
∴DC//OB，OB=4，AD=6，
∴OBCD=OAAD=36=12，
∴CD=2OB=8，
∴A(3,0)，B(0,4)，C(−3,8)，
把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得3a+b=0b=4，解得a=−43b=4，
∴一次函数解析式为y=−43x+4，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴k=−24，
∴反比例函数的解析式为y=−24x；
(2)−3≤x<0；
(3)存在，满足条件的点P，其坐标为(0,−1)或(0,9)或(0,12)．
【解析】(1)见答案；
(2)解：由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段BC(包含C点，不包含B点)所对应的自变量x的取值范围，
∵C(−3,8)，
∴0<−43x+4≤−24x的解集为−3≤x<0；
(3)解：∵B(0,4)，C(−3,8)，
∴BC=5，
∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC两种情况，
①当BC=BP时，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP−OB=5−4=1，
∴P点坐标为(0,9)或(0,−1)；
②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，
∴线段BP的中点坐标为(0,8)，
∴P点坐标为(0,12)；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(0,−1)或(0,9)或(0,12)．
本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、函数与不等式、等腰三角形的性质、数形结合及分类讨论思想等知识．在(1)中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在(2)中注意利用数形结合思想，在(3)中确定出△PBC的两种情况是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强．
(1)由平行线分线段成比例可求得CD的长，则可求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法可求得函数解析式；
(2)由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案；
(3)由B、C的坐标可求得BC的长，当BC=BP时，则可求得P点坐标，当BC=PC时，可知点C在线段BP的垂直平分线上，则可求得BP的中点坐标，进而求得P点坐标．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=AB，CD=AD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC，
∵∠CBG=∠EBG=12∠EBC，
∴∠DBG=∠CBD+∠CBG=12(∠ABC+∠EBC)=12×180°=90°．
(2)解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB=90°，
∵AB=10，BD=12，
∴BK=DK=12BD=6，
∴AK= AB2−BK2= 102−62=8，
∴CK=AK=8，
∴AC=16，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×12×16=96．
②∵∠DKL=∠DBG=90°，
∴AC//BG，
∴DLGL=DKBK=1，
∴DL=GL=12DG，
∵DG=2GE，
∴GE=12DG，
∴DL=GL=GE，
∵CD//AB，
∴CLAL=DLEL=12，
∴CL=13AC=13×16=163，
∴KL=8−163=83，
∴tan∠BDE=KLDK=836=49．
【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数定义有关知识
(1)由菱形的性质得CB=AB，CD=AD，可证明△ABD≌△CBD，得∠CBD=12∠ABC，而∠CBG=12∠EBC，所以∠DBG=12(∠ABC+∠EBC)=90°；
(2)①连结AC交BD于点K，交DE于点L，由∠AKB=90°，AB=10，DK=BK=12BD=6，根据勾股定理可求得AK=48，则AC=16，即可由S菱形ABCD=12AC⋅BD求出菱形ABCD的面积；
②先由∠DKL=∠DBG=90°证明AC//BG，则DLGL=DKBK=1，所以DL=GL=12DG，再由DG=2GE得GE=12DG，则DL=GL=GE，即可由CD//AB，得CLAL=DLEL=12，可求得CL=13AC=163，所以KL=8−163=83，再求出tan∠BDE的值即可．
21.【答案】解：(1)如图
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= 82+62=10，
∵D是AC中点，
∴BD=12AC=5，
过D作DG⊥BC于G，过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PE=BF，
∴DG//PF//AB，
∴DGAB=CGBC=CDAC=12，BPBD=BFBG，
∴DG=4，CG=BG=3，
当0≤x≤5时，点P在BD上，
∵PD=x，
∴BP=5−x，
∴5−x5=BF3，
∴BF=3−35x，
∴PE=3−35x，
∴y1=PE+BP=3−35x+5−x=8−85x；
当5如图
BD+BP=x，
∴BP=x−5，
∴y1=2BP=2(x−5)=2x−10;
∴y1关于x的函数表达式为y1=8−85x(0≤x≤5)2x−10(5(2)由y1=8−85x令x=0得y1=8，y1=0得x=5，
由y1=2x−10令y1=0得x=5，x=11得y1=12，
函数图像如下：
当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5(3)当y2的图象过点(5,0)时，5+m=0，
∴m=−5，
当y2的图象过点(0,8)时，
m=8，
当y2的图象过点(11,12)时，11+m=12，
∴m=1，
∴−5【解析】本题考查分段函数，平行线分线段成比例定理，勾股定理．
(1)分当0≤x≤5时，点P在BD上，当5(2)通过描点，连线可画出图形，写出一条性质即可；
(3)根据图象可直接求解．
22.【答案】解：(1)∵正比例函数y=34x的图像与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像相交于点A(a,3)，
∴把A(a,3)代入y=34x，
得：3=34a，
解得：a=4，
把A(4,3)代入y=kx，
得：3=k4，
解得：k=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x；
(2)过点A作AH⊥x轴于H，
则H(4,0)，OH=4，AH=3，
∵BD⊥x轴，
∴AH//BD，
∴OHOD=OAOB=AHBD，
∵OA=2AB，
∴OAOB=23，
∴4OD=23=3BD，
解得：OD=6，BD=92，
∴B(6,92)，
设C(6,yc)，
把C(6,yc)代入y=12x，
得，C(6,2)，
∵AB= (4−6)2+(3−92)2=52，BC=92−2=52，
∴AB=BC，即△ABC是等腰三角形．
【解析】(1)把A(a,3)代入y=34x，可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出反比例函数的关系式；
(2)过点A作AH⊥x轴于H，则OHOD=OAOB=AHBD，确定出B，C坐标，可得AB=BC，即可得出结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，待定系数法求反比例函数解析式，图象上点的坐标适合解析式是关键．
23.【答案】(1)证明：由已知得：BF//AD，DF//AC，
∴∠FBD=∠AEC，∠FDB=∠ACD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴△AEC≌△FBE(ASA)；
(2)证明：延长CE交BF于点H，
∵BF//AD，AD是△ABC的中线，
∴CDBD=CEEH，
∴CE=EH，
∵BF//AD，EF//AC，
∴∠FHE=∠AEC，∠FEH=∠ACE，
∴△FHE≌△AEC(ASA)，
∴EF=AC，
∵EF//AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
(3)解：①连接DN，
∵BD=DC，BN=AN，
∴ND//AC，ND=12AC，
∴NEEC=NDAC=12，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=EC，
∴NEAF=NEEC=12;
②∵CA⊥AB，BC=10，
∴AD=5，
∵NDAC=DEAE=12，
∴AE=103，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF//EH，AF=EC，
∵HE=EC=AF，
∴四边形FHEA是平行四边形，
∴HF=AE=103，
∵N为AB的中点，
∴△BHN≌△AEN，
∴BH=AE=103
∵BNAB=BHBF=12，
∴BF=203．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形，平行线分线段成比例定理的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．
(1)根据题意，得BF//AD，DF//AC，根据平行线的性质，得∠FBD=∠AEC，∠FDB=∠ACD，再根据AD是△ABC的中线，全等三角形的判定，即可；
(2)延长CE交BF于点H，根据AD是△ABC的中线，BF//AD，得CDBD=CEEH，根据BF//AD，EF//AC，得∠FHE=∠AEC，∠FEH=∠ACE，根据全等三角形的判定，EF=AC，再根据平行四边形的判定，即可；
(3)①连接DN，根据BD=DC，BN=AN，得ND//AC，ND=12AC；根据四边形ACEF是平行四边形，得AF=EC，根据等量代换得，NGGA=NEAF=NEEG，即可；
②根据CA⊥AB，BC=10，得AD=5，根据NDAC=DEAE=12，求出AE=103，根据四边形ACEF是平行四边形，得AF//EH，根据平行四边形的判定，得四边形FHEA是平行四边形，得AE=HF，根据BNAB=BHBF=12，即可．
24.【答案】解：∵AC=10，CE=12，
∴AE=AC+CE=10+12=22，
∵BC//DE，
∴ABAD=ACAE，
∴ABAB+16=1022，
解得AB=403
【解析】本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先求出AE，然后利用平行线分线段成比例求解即可．
25.【答案】【小题1】
解：如图④，□ABEF即为所求；
【小题2】
如图⑤，高AM即为所求；
【小题3】
如图⑥，点N即为所求．
【解析】1.
利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的□ABEF；
2.
取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM；
3.
取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED相交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可．
点评：本题解题要充分利用网格特点，灵活运用所学过的三角形的面积、平行线分线段成比例定理等知识解决问题．
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC.已知AE=6，ADDB=34，则EC的长是 ( )
A. 4.5B. 8C. 10.5D. 14
2.如图，已知l1// l2// l3，DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是( )
A. BC：EF=1：1B. BC：AB=1：2
C. AD：CF=2：3D. BE：CF=2：3
3.如图，AD//BE//CF，若AB=4，BC=8，DE=3，则DF的长是 ( )
A. 1.5B. 6C. 9D. 12
4.已知正方形ABCD的边长为a，延长BC到点E，使CE=BC，取CD的中点F，连接DE、BF，DE与BF的延长线相交于点G，则BG的长为( )
A. 53a
B. 2 53a
C. 63a
D. 2 63a
5.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，BA=BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF//AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H.下列结论： ①BD=DG; ②CE= 2BD; ③CH=EH; ④FG= 2EG.其中正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6.如图，已知AB // CD // EF，BCCE=34，AD=9，则DF的长为 ( )
A. 9B. 12C. 15D. 21
7.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AGGF的值是( )
A. 43
B. 54
C. 65
D. 76
8.如图，五线谱由五条等距离的平行横线组成，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=6，则线段BC的长是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
9.如图，已知ΔABC中，DE//BC，若AD=3，DB=6，AE=2，则AC的长是( )
A. 4B. 6C. 9D. 10
10.如图，直线y=−34x+6交坐标轴于点A，B，交反比例函数y=kx于点M，N，若MN=AM+BN，则k的值为( )
A. 6B. 214C. 9D. 12
11.小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM=2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是( )
A. 103B. 113C. 4D. 133
12.如图，AD//BE//CF，若AB=4，BC=8，DE=3，则DF的长是( )
A. 1.5B. 6C. 9D. 12
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=2，∠AOD=120°，点E在对角线BD上，P是AE的中点，PO的最小值是________．
14.如图，在正方形ABCD，点E，F在射线BC上，∠EAF=45°，则BEEF最大值是____．
15.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE//BC，若ADAE=34，BD=2，则EC= ______．
16.如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD=BD，DE//BC，联结DE，设向量AB=a，AC=b，那么用a，b表示DE= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
(1)在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
(2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分(保留画图痕迹，不写画法)．
18.(本小题8分)
学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系.如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，ACAB= 5−12叫做黄金分割比.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值.几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美.如图2和图3，△ABC都是黄金三角形(腰与底的比或底与腰的比等于黄金比);如图4，矩形ABCD是黄金矩形(宽与长的比等于黄金比)．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高.以AD为边，作▱ADEF，使得点E，F分别落在边BC，AC上.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.)
活动二：在活动一的条件下，若DE=EF，求证：点F是线段AC的黄金分割点．
19.(本小题8分)
如图，已知一次函数y=ax+b(a、b为常数，a≠0的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y=kx(k为常数，k≠0的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=34OB=3．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象直接写出不等式0
20.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
(1)求证∠DBG=90°；
(2)若BD=12，DG=2GE．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→B→C方向运动．设运动时间为x秒，点P到直线AB的距离与点P到点B的距离之和记为y1．
(1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出y1的图象与函数y2=x+m的图象有两个公共点时m的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，正比例函数y=34x的图像与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像相交于点A(a,3)，点B为直线OA上位于点A右侧的一点，且OA=2AB，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，交反比例函数的图像于点C．
(1)求反比例函数y=kx的解析式;
(2)试判断△ABC的形状．
23.(本小题8分)
已知AD是△ABC的中线，E是线段AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连接AF．
(1)如图1，当点E与点D重合时，求证：△AEC≌△FBE．
(2)如图2，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
(3)如图3，记AB与EF的交点为G，CE的延长线与AB的交点为N，且N为AB的中点．
①求NEAF的值；
②若CA⊥AB，BC=10，求BF的长．
24.(本小题8分)
如圖，已知BC//DE，BD=16，AC=10，CE=12，求AB的長度．
25.(本小题8分)
图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D，P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点P为对称中心的□ABEF；
(2)在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM；
(3)在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连接AN，使∠DAN=45°．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线中分线段成比例的性质，属于基础题．
根据此性质可得ADDB=AEEC，进而可以求解．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∴AEEC=6EC=34，
∴EC=8，
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出ABAC=23是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理得出ABAC=DEDF=23，由比例的性质得出ABBC=21，即可得出结论．
【解答】
解：∵l1//l2//l3，
∴ABAC=DEDF=46=23，
∴ABBC=21，
∴BC：AB=1：2；
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理．
先根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，再由DF=DE+EF求解即可．
【解答】
解：∵AD//BE//CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=8，DE=3，
∴EF=8×34=6，
∴DF=DE+EF=3+6=9，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：过点C作CP//BG，交DE于点P，连接BD，
∵BC=CE，
∴CP是△BEG的中位线，
∴P为EG的中点，
∵F是CD的中点，
∴FG是△DCP的中位线，
∴DG=GP=PE，
∵正方形ABCD的边长为a，CE=BC，
∴BC=CD=CE=a，∠BCD=90°，
BD=DE= BC2+CD2= 2a，∠BDC=∠EDC=45°，
∴DG= 2a3，∠BDG=90°，
∴BG= BD2+DG2= ( 2a)2+( 2a3)2=2 53a，
故选：B．
过点C作CP//BG，交DE于点P，连接BD，根据平行线等分线段定理的推论证得DG=GP=PE，在Rt△BCD中，根据勾股定理可求出BD，DE，再在Rt△BDG中根据勾股定理即可求出BG．
此题主要考查了正方形的性质，勾股定理应用等知识，平行线等分线段定理的推论，根据平行线等分线段定理的推论证得DG=GP=PE是解题关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
连接DF.HF，可证四边形ABFE是矩形，ΔABC≌ΔADE，即可判断 ① ③;根据 ① ③的结论可推出CE垂直平分DF，可得ΔHDF是等腰直角三角形，从而可判断 ②；取AE的中点M，连接MD并延长MD交BC于N，设AM=EM=DM=12AE=t，根据等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理用含t的代数式表示DC、AC、DN、FG、EG即可解答．
本题综合考查了短形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理等知识点，综合性较强，
基础．
【解答】
解：连接DF，HF，如图所示，取AE的中点M，连接MD并延长MD交BC于N，
∵∠ABC=90∘，BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45∘
由题意得：ΔABC≌ΔADE
∴AD=AB，∠ADE=90∘，∠DEA=∠DAE=45∘
∴∠ABD=∠ADB=180∘−45∘2=67．5∘
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90∘
∵EF//AB，
∴∠AEF=90∘
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠GFB=90∘，EF=AB=AD=ED，∠DEF=90∘−∠AED=45∘
∴∠GBF=90∘−∠ABD=22．5∘
∵∠EDC=∠EFC=90∘，ED=EF，EC=EC
∴ΔEDC≌ΔEFC
∴CD=CF
∴∠CFD=∠CDF=12∠ACB=22．5∘=∠GBF
∴∠GFD=90∘−∠CFD=67．5∘=∠FGD
∴BD=FD=GD
∴点D是BG的中点
即：BD=DG，故 ①正确;
∵∠GDC=∠ADB=67．5∘，，
∴∠EDG=90∘−∠GDC=22．5∘
∵ΔEDC≌ΔEFC
∴∠DEH=∠FEC=12∠DEF=22．5∘−∠EDG
∴DH=EH
同理可证DH=CH
∴CH=EH，故 ③正确;
∵ΔEDC≌ΔEFC
∴CD=CF，
∴CE垂直平分DF
∴HD=HF
∵∠HDF=∠DBF+∠DFB=45∘
∴ΔHDF是等腰直角三角形
∴DF= 2DH
∵CE=2DH，BD=DF
∴CE= 2BD，故 ②正确;
∵M是AE的中点，DA=AE，
∴AM=EM=DM=12AE=t，∠AMD=90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴AD=AB=BC=EF= 2t，BN=AM=12BC，∠MNC=90°，N是BF中点，
∴AC=AE= 2AB=2t，N是BF中点，
∵MN//EF，
∴D是BG中点，
∴DN=12FG，
∴DC=AC−AD=2t− 2t，
∴DN=CN= 22CD= 222t− 2t= 2−1t，
∴FG=2 2−1t，
∴EG=EF−FG= 2t−2 2−2t=2− 2t，
∴FGEG=2 2−1t2− 2t=2 2−1t 2 2−1t= 2，
∴FG= 2EG，故④正确
综上所述正确的有有4个．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答．
【解答】
解：∵AB//CD//EF，
∴BCCE=ADDF，
∵BCCE=34，AD=9，
∴9DF=34，
解得：DF=12．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查的知识点是正方形的性质，平行线分线段成比例，如图作FN//AD，交AB于N，交BE于M.设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】
解：因为四边形ABCD是正方形，所以AB//CD．
如图，过点F作FN // AD交BE于点M．
所以四边形ANFD是平行四边形．
因为∠D=90∘ ，所以四边形ANFD是矩形．
因为AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a．
因为AN=BN，MN//AE，所以BM=ME，MN=32a.
所以FM=52a.
因为AE//FM，所以AGGF=AEFM=3a52a=65 ．
故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【解答】
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则ABBC=ADDE，即6BC=2，
解得：BC=3，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平行线分线段成比例有关知识，根据平行线分线段成比例可得ADDB=AEEC，求出EC，再利用AC=AE+EC计算．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
即36=2CE，
解得：EC=4，
∴AC=AE+EC=4+2=6．
故选B．
10.【答案】C
【解析】【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系，先根据MN=AM+BN，可得MN=12AB，过点M,N作x轴的垂线，垂足分别为C,D，可得CD=12OB，根据x2−x1=4，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵MN=AM+BN
∴ MN=12AB
如图所示，过点M,N作x轴的垂线，垂足分别为C,D，
∴AO//MC//ND
∴AMOC=MNCD=NBDB，即MNAB=CDOB
∵ MN=12AB
∴CD=12OB
设M,N的横坐标为x1,x2
∴x2−x1=4
联立y=−34x+6y=kx
即−34x2+6x−k=0
∴x1+x2=8,x1x2=4k3
∴x2−x1= x1+x22−4x1x2= 64−16k3=4
解得：k=9
故选：C．
11.【答案】D
【解析】【分析】过点E作EI⊥FK于点I，过点M作MJ⊥FK于点J，由七巧板的特点可得，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB=BM=2，EK=EF=2 2，FK=4，FK与CD之间的距离为1，由FM=2EM，得出FMFE=23，由平行线分线段成比例定理的推论求出MJ的长度，进而即可得出答案．
【解答】解：如图2，过点E作EI⊥FK于点I，过点M作MJ⊥FK于点J，
由题意得，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB=BM=2，EK=EF=2 2，FK=4，FK与CD之间的距离为1，
∵FM=2EM，
∴FMFE=23，
∵EI⊥FK，MJ⊥FK，
∴KI=IF，MJ // EI，
∴EI=12FK=2，MJEI=FMFE，
∴MJ2=23，
∴MJ=43，
∵AB // CD，
∴AB与CD之间的距离=2+43+1=133，
故选：D．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入求出EF，根据DF=DE+EF求出答案．
【解答】
解：∵AD//BE//CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=8，DE=3，
∴EF=8×34=6，
∴DF=DE+EF=3+6=9．
13.【答案】 32
【解析】取AB的中点M和AD的中点N，先证明P在MN上，过点O作OQ⊥MN于Q，过A作AH⊥BD于H交MN于K得矩形OHKQ，得HK=OQ，再根据矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=2，∠AOD=120°，证明△OAB是等边三角形，利用等腰三角形的性质得∠OAH=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得AH= 3，最后根据平行线分线段乘比例得P是AE中点，PH=12AH= 32，然后根据垂线段最短可知当P和Q重合时PO最小即可解答．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：取AB、AD的中点M、N，
∴MN//BD，
∵P是AE的中点，
∴FN//BD，
∴M、F、N三点共线，
过点O作OQ⊥MN于Q，过A作AH⊥BD于H交MN于K得矩形OHKQ，
∴HK=OQ，
∵矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=2，∠AOD=120°，
∴OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH=30°，
∴AH= 3，
∵P是AE中点，PN//BD，
∴APPE=AKKH=1
∴PH=12AH= 32，
根据垂线段最短可知当P和Q重合时PO最小，最小值为 32．
故答案为 32．
14.【答案】 2−12
【解析】【分析】
本题考查平行线分线段成比例，二次函数与不等式(组)，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值．
过点E作AE⊥EG交AF于点G，过点G作GH⊥EF于点H，设BE=x，正方形边长为a，证△ABE≌△EHG，由平行线分线段成比例定理得出HF=x2+axa−x，EF=x2+a2a−x，得出1−4k−4k2≥0，即可解答．
【解答】
解：过点E作AE⊥EG交AF于点G，过点G作GH⊥EF于点H，
设BE=x，正方形边长为a
由于AE⊥EG
∴∠AEG=90∘
∴∠AEB+∠GEH=90∘
∵∠BEA+∠BAE=90∘
∴∠BAE=∠GEH
∵∠EAG=45∘=∠AGE=45∘
∴AE=GE，
∵GH⊥EF
∴∠EBA=∠GHE=90∘
在△ABE和△EHG中
∠EBA=∠GHE∠BAE=∠GEHAE=CE
∴△ABE≌△EHG(AAS)
则EH=AB=a，GH=BE=x
∴BH=x+a
∵GH⊥EF
∴GH//AB
则GHAB=HFBF，
即GHAB=HFBH+HF
有xa=HF(a+x)+HF
得出HF=x2+axa−x，EF=x2+a2a−x
则BEEF=xx2+a2a−x=ax−x2x2+a2=k(k>0)
整理得(1+k)x2−ax+ka2=0
Δ=a2−4ka2−4k2a2⩾0
不等式两边同除以a2得1−4k−4k2≥0
令y=1−4k−4k2≥0
则− 2−12≤k≤ 2−12
∵k>0
∴0
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADAE=BDEC，
∴34=2EC，
∴EC=83，
故答案为：83．
根据题意知两平行线DE//BC间的线段成比例式，进而解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质是本题的关键．
16.【答案】13b−13a
【解析】解：在△ABC中，AB=a，AC=b，则BC=AC−AB=b−a．
∵2AD=BD，DE//BC，
∴DEBC=ADAD+BD=ADAD+2AD=13．
∴DE=13BC．
∴DE=13BC，即DE=13b−13a．
故答案为：13b−13a．
由三角形法则求得BC的值；然后结合平行线截线段成比例求得线段DE的长度，继而求得向量DE的值．
本题主要考查了平面向量和平行线截线段成比例．注意：平面向量既有大小又有方向．
17.【答案】解：(1)画出图形如图1所示；
(2)如图2所示．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
(1)画出图形即可；
(2)根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．
18.【答案】解：(1)如图所示，四边形ADEF是所求作的平行四边形．
(2)∵在▱ADEF中，DE=EF，
∴▱ADEF是菱形，
∴AD=AF=DE，EF//AB，DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠ACB=90∘，
CFAF=CEBE，CEBE=ADBD，
∴CFAF=ADBD．
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠DEB=90∘，
∴△ACD≌△DBE，
∴AC=BD．
∴CFAF=AFAC，
∴点F是线段AC的黄金分割点．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、黄金分割等知识；关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．
(1)首先作∠DBE=∠A可得AC//DE，再在AC上截取AF=DE即可得到四边形ADEF是平行四边形；
(2)首先证明▱ADEF是菱形，并根据平行线分线段比例定理证明CFAF=ADBD，再证明△ACD≌△DBE，可得AC=BD，从而得到CFAF=AFAC，即可证明点F是线段AC的黄金分割点．
19.【答案】解：(1)∵CD⊥OA，OA=OD=34OB=3，
∴DC//OB，OB=4，AD=6，
∴OBCD=OAAD=36=12，
∴CD=2OB=8，
∴A(3,0)，B(0,4)，C(−3,8)，
把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得3a+b=0b=4，解得a=−43b=4，
∴一次函数解析式为y=−43x+4，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴k=−24，
∴反比例函数的解析式为y=−24x；
(2)−3≤x<0；
(3)存在，满足条件的点P，其坐标为(0,−1)或(0,9)或(0,12)．
【解析】(1)见答案；
(2)解：由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段BC(包含C点，不包含B点)所对应的自变量x的取值范围，
∵C(−3,8)，
∴0<−43x+4≤−24x的解集为−3≤x<0；
(3)解：∵B(0,4)，C(−3,8)，
∴BC=5，
∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC两种情况，
①当BC=BP时，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP−OB=5−4=1，
∴P点坐标为(0,9)或(0,−1)；
②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，
∴线段BP的中点坐标为(0,8)，
∴P点坐标为(0,12)；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(0,−1)或(0,9)或(0,12)．
本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、函数与不等式、等腰三角形的性质、数形结合及分类讨论思想等知识．在(1)中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在(2)中注意利用数形结合思想，在(3)中确定出△PBC的两种情况是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强．
(1)由平行线分线段成比例可求得CD的长，则可求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法可求得函数解析式；
(2)由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案；
(3)由B、C的坐标可求得BC的长，当BC=BP时，则可求得P点坐标，当BC=PC时，可知点C在线段BP的垂直平分线上，则可求得BP的中点坐标，进而求得P点坐标．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=AB，CD=AD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC，
∵∠CBG=∠EBG=12∠EBC，
∴∠DBG=∠CBD+∠CBG=12(∠ABC+∠EBC)=12×180°=90°．
(2)解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB=90°，
∵AB=10，BD=12，
∴BK=DK=12BD=6，
∴AK= AB2−BK2= 102−62=8，
∴CK=AK=8，
∴AC=16，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×12×16=96．
②∵∠DKL=∠DBG=90°，
∴AC//BG，
∴DLGL=DKBK=1，
∴DL=GL=12DG，
∵DG=2GE，
∴GE=12DG，
∴DL=GL=GE，
∵CD//AB，
∴CLAL=DLEL=12，
∴CL=13AC=13×16=163，
∴KL=8−163=83，
∴tan∠BDE=KLDK=836=49．
【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数定义有关知识
(1)由菱形的性质得CB=AB，CD=AD，可证明△ABD≌△CBD，得∠CBD=12∠ABC，而∠CBG=12∠EBC，所以∠DBG=12(∠ABC+∠EBC)=90°；
(2)①连结AC交BD于点K，交DE于点L，由∠AKB=90°，AB=10，DK=BK=12BD=6，根据勾股定理可求得AK=48，则AC=16，即可由S菱形ABCD=12AC⋅BD求出菱形ABCD的面积；
②先由∠DKL=∠DBG=90°证明AC//BG，则DLGL=DKBK=1，所以DL=GL=12DG，再由DG=2GE得GE=12DG，则DL=GL=GE，即可由CD//AB，得CLAL=DLEL=12，可求得CL=13AC=163，所以KL=8−163=83，再求出tan∠BDE的值即可．
21.【答案】解：(1)如图
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= 82+62=10，
∵D是AC中点，
∴BD=12AC=5，
过D作DG⊥BC于G，过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PE=BF，
∴DG//PF//AB，
∴DGAB=CGBC=CDAC=12，BPBD=BFBG，
∴DG=4，CG=BG=3，
当0≤x≤5时，点P在BD上，
∵PD=x，
∴BP=5−x，
∴5−x5=BF3，
∴BF=3−35x，
∴PE=3−35x，
∴y1=PE+BP=3−35x+5−x=8−85x；
当5
BD+BP=x，
∴BP=x−5，
∴y1=2BP=2(x−5)=2x−10;
∴y1关于x的函数表达式为y1=8−85x(0≤x≤5)2x−10(5
由y1=2x−10令y1=0得x=5，x=11得y1=12，
函数图像如下：
当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5
∴m=−5，
当y2的图象过点(0,8)时，
m=8，
当y2的图象过点(11,12)时，11+m=12，
∴m=1，
∴−5
(1)分当0≤x≤5时，点P在BD上，当5
(3)根据图象可直接求解．
22.【答案】解：(1)∵正比例函数y=34x的图像与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像相交于点A(a,3)，
∴把A(a,3)代入y=34x，
得：3=34a，
解得：a=4，
把A(4,3)代入y=kx，
得：3=k4，
解得：k=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x；
(2)过点A作AH⊥x轴于H，
则H(4,0)，OH=4，AH=3，
∵BD⊥x轴，
∴AH//BD，
∴OHOD=OAOB=AHBD，
∵OA=2AB，
∴OAOB=23，
∴4OD=23=3BD，
解得：OD=6，BD=92，
∴B(6,92)，
设C(6,yc)，
把C(6,yc)代入y=12x，
得，C(6,2)，
∵AB= (4−6)2+(3−92)2=52，BC=92−2=52，
∴AB=BC，即△ABC是等腰三角形．
【解析】(1)把A(a,3)代入y=34x，可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出反比例函数的关系式；
(2)过点A作AH⊥x轴于H，则OHOD=OAOB=AHBD，确定出B，C坐标，可得AB=BC，即可得出结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，待定系数法求反比例函数解析式，图象上点的坐标适合解析式是关键．
23.【答案】(1)证明：由已知得：BF//AD，DF//AC，
∴∠FBD=∠AEC，∠FDB=∠ACD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴△AEC≌△FBE(ASA)；
(2)证明：延长CE交BF于点H，
∵BF//AD，AD是△ABC的中线，
∴CDBD=CEEH，
∴CE=EH，
∵BF//AD，EF//AC，
∴∠FHE=∠AEC，∠FEH=∠ACE，
∴△FHE≌△AEC(ASA)，
∴EF=AC，
∵EF//AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
(3)解：①连接DN，
∵BD=DC，BN=AN，
∴ND//AC，ND=12AC，
∴NEEC=NDAC=12，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=EC，
∴NEAF=NEEC=12;
②∵CA⊥AB，BC=10，
∴AD=5，
∵NDAC=DEAE=12，
∴AE=103，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF//EH，AF=EC，
∵HE=EC=AF，
∴四边形FHEA是平行四边形，
∴HF=AE=103，
∵N为AB的中点，
∴△BHN≌△AEN，
∴BH=AE=103
∵BNAB=BHBF=12，
∴BF=203．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形，平行线分线段成比例定理的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．
(1)根据题意，得BF//AD，DF//AC，根据平行线的性质，得∠FBD=∠AEC，∠FDB=∠ACD，再根据AD是△ABC的中线，全等三角形的判定，即可；
(2)延长CE交BF于点H，根据AD是△ABC的中线，BF//AD，得CDBD=CEEH，根据BF//AD，EF//AC，得∠FHE=∠AEC，∠FEH=∠ACE，根据全等三角形的判定，EF=AC，再根据平行四边形的判定，即可；
(3)①连接DN，根据BD=DC，BN=AN，得ND//AC，ND=12AC；根据四边形ACEF是平行四边形，得AF=EC，根据等量代换得，NGGA=NEAF=NEEG，即可；
②根据CA⊥AB，BC=10，得AD=5，根据NDAC=DEAE=12，求出AE=103，根据四边形ACEF是平行四边形，得AF//EH，根据平行四边形的判定，得四边形FHEA是平行四边形，得AE=HF，根据BNAB=BHBF=12，即可．
24.【答案】解：∵AC=10，CE=12，
∴AE=AC+CE=10+12=22，
∵BC//DE，
∴ABAD=ACAE，
∴ABAB+16=1022，
解得AB=403
【解析】本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先求出AE，然后利用平行线分线段成比例求解即可．
25.【答案】【小题1】
解：如图④，□ABEF即为所求；
【小题2】
如图⑤，高AM即为所求；
【小题3】
如图⑥，点N即为所求．
【解析】1.
利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的□ABEF；
2.
取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM；
3.
取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED相交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可．
点评：本题解题要充分利用网格特点，灵活运用所学过的三角形的面积、平行线分线段成比例定理等知识解决问题．
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