2024年北京高考数学真题试题（原卷版+含解析）

这是一份2024年北京高考数学真题试题（原卷版+含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是向量，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设函数 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
7．生物丰富度指数 SKIPIF 1 < 0 是河流水质的一个评价指标，其中 SKIPIF 1 < 0 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 SKIPIF 1 < 0 没有变化，生物个体总数由 SKIPIF 1 < 0 变为 SKIPIF 1 < 0 ，生物丰富度指数由 SKIPIF 1 < 0 提高到 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为4的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面直角坐标系中的点集.设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中两点间距离的最大值， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 表示的图形的面积，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
二、填空题
11．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 ．
12．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 与角 SKIPIF 1 < 0 均以 SKIPIF 1 < 0 为始边，它们的终边关于原点对称.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
13．若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的一个取值为 ．
14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 SKIPIF 1 < 0 ，且斛量器的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则斗量器的高为 SKIPIF 1 < 0 ，升量器的高为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列4个结论：
①若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 SKIPIF 1 < 0 为递增数列， SKIPIF 1 < 0 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题
16．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 SKIPIF 1 < 0 存在，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；条件②： SKIPIF 1 < 0 ；条件③： SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 SKIPIF 1 < 0 为一份保单的毛利润，估计 SKIPIF 1 < 0 的数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 SKIPIF 1 < 0 ，有索赔的保单的保费增加 SKIPIF 1 < 0 ，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中 SKIPIF 1 < 0 估计值的大小．（结论不要求证明）
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率存在的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
20．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间.
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积．是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立？若存在，这样的点 SKIPIF 1 < 0 有几个？
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
21．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ．给定数列 SKIPIF 1 < 0 ，和序列 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，对数列 SKIPIF 1 < 0 进行如下变换：将 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 SKIPIF 1 < 0 ；将 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项均加1，其余项不变，得到数列记作 SKIPIF 1 < 0 ；……；以此类推，得到 SKIPIF 1 < 0 ，简记为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)给定数列 SKIPIF 1 < 0 和序列 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)是否存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，写出一个符合条件的 SKIPIF 1 < 0 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正整数，且 SKIPIF 1 < 0 为偶数，求证：“存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的各项都相等”的充要条件为“ SKIPIF 1 < 0 ”．
2024年北京高考数学
一、单选题
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 .
故选C.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 .
故选C.
3．圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则其圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选D.
4．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选A.
5．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是向量，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可知必要性成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，无法得出 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
例如 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可知充分性不成立；
“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件.
故选B.
6．设函数 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】根据题意可知： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的最小值点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的最大值点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选B.
7．生物丰富度指数 SKIPIF 1 < 0 是河流水质的一个评价指标，其中 SKIPIF 1 < 0 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 SKIPIF 1 < 0 没有变化，生物个体总数由 SKIPIF 1 < 0 变为 SKIPIF 1 < 0 ，生物丰富度指数由 SKIPIF 1 < 0 提高到 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选D.
8．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为4的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
分别取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 .
当相对的棱长相等时，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，此时不能形成三角形 SKIPIF 1 < 0 ，这样情况不存在.
故选D.
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】根据题意不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
AB.可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确，B错误；
C.例如 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D.例如 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D错误，
故选B.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 是平面直角坐标系中的点集.设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中两点间距离的最大值， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 表示的图形的面积，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域 SKIPIF 1 < 0 。
【详解】对任意给定 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 SKIPIF 1 < 0 ，
如图阴影部分所示，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
可知任意两点间距离最大值 SKIPIF 1 < 0 ；阴影部分面积 SKIPIF 1 < 0 .
故选C.
二、填空题
11．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】形如 SKIPIF 1 < 0 的抛物线的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】根据题意抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以其焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
12．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 与角 SKIPIF 1 < 0 均以 SKIPIF 1 < 0 为始边，它们的终边关于原点对称.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】首先得出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】根据题意 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
答案为 SKIPIF 1 < 0 .
13．若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的一个取值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ，答案不唯一）
【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.
【详解】联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或无解，即 SKIPIF 1 < 0 ，经检验正确.
答案为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 SKIPIF 1 < 0 ，且斛量器的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则斗量器的高为 SKIPIF 1 < 0 ，升量器的高为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 23 57.5/ SKIPIF 1 < 0
【详解】设升量器的高为 SKIPIF 1 < 0 ，斗量器的高为 SKIPIF 1 < 0 （单位都是 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
答案为 SKIPIF 1 < 0 .
15．设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列4个结论：
①若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 SKIPIF 1 < 0 为递增数列， SKIPIF 1 < 0 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【详解】①，因为 SKIPIF 1 < 0 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故 SKIPIF 1 < 0 中至多一个元素，①正确.
②，取 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 均为等比数列，但当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 中有无穷多个元素，②错误.
③，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 中至少四个元素，则关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 至少有4个不同的正数解，若，则由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的散点图可得关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 至多有两个不同的解，矛盾；若 SKIPIF 1 < 0 ，考虑关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 奇数解的个数和偶数解的个数，当 SKIPIF 1 < 0 有偶数解，此方程即为 SKIPIF 1 < 0 ，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时 SKIPIF 1 < 0 ，
否则 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 单调性相反，
方程 SKIPIF 1 < 0 至多一个偶数解，
当 SKIPIF 1 < 0 有奇数解，此方程即为 SKIPIF 1 < 0 ，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
否则 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 单调性相反，
方程 SKIPIF 1 < 0 至多一个奇数解，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不可能同时成立，因此 SKIPIF 1 < 0 不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，③正确.
④因为 SKIPIF 1 < 0 为递增数列， SKIPIF 1 < 0 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，④正确.
答案为①③④.
三、解答题
16．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 SKIPIF 1 < 0 存在，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；条件②： SKIPIF 1 < 0 ；条件③： SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】选择①，利用正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再代入式子得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用三角形面积公式即可；
【详解】（1）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）选择① SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
选择② SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 .
选择③ SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
17．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 SKIPIF 1 < 0 为一份保单的毛利润，估计 SKIPIF 1 < 0 的数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 SKIPIF 1 < 0 ，有索赔的保单的保费增加 SKIPIF 1 < 0 ，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中 SKIPIF 1 < 0 估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中 SKIPIF 1 < 0 估计值
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）（ⅰ）设 SKIPIF 1 < 0 为赔付金额，则 SKIPIF 1 < 0 可取 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设中的统计数据可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 （万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 （万元），
因此 SKIPIF 1 < 0 .
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率存在的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，进一步得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆方程，由韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）根据题意 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为0，否则直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆无交点，矛盾，
从而设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 应满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为0，由椭圆的对称性可设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 方程中令 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 应满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 应满足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由上所述， SKIPIF 1 < 0 满足题意，此时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间.
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积．是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立？若存在，这样的点 SKIPIF 1 < 0 有几个？
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1)单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）直接代入 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）写出切线方程 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入再设新函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，再设新函数 SKIPIF 1 < 0 研究其零点即可.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ，；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
则 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
假设 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在零点.
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 无零点， SKIPIF 1 < 0 与假设矛盾，故直线 SKIPIF 1 < 0 不过 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 满足条件的 SKIPIF 1 < 0 有几个即 SKIPIF 1 < 0 有几个零点.
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以由零点存在性定理及 SKIPIF 1 < 0 的单调性， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上必有一个零点，在 SKIPIF 1 < 0 上必有一个零点，
由上所述， SKIPIF 1 < 0 有两个零点，即满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 有两个.
21．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ．给定数列 SKIPIF 1 < 0 ，和序列 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，对数列 SKIPIF 1 < 0 进行如下变换：将 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 SKIPIF 1 < 0 ；将 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项均加1，其余项不变，得到数列记作 SKIPIF 1 < 0 ；……；以此类推，得到 SKIPIF 1 < 0 ，简记为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)给定数列 SKIPIF 1 < 0 和序列 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)是否存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，写出一个符合条件的 SKIPIF 1 < 0 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正整数，且 SKIPIF 1 < 0 为偶数，求证：“存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的各项都相等”的充要条件为“ SKIPIF 1 < 0 ”．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)不存在符合条件的 SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析
(3)见解析
【分析】解法一：利用反证法，假设存在符合条件的 SKIPIF 1 < 0 ，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列 SKIPIF 1 < 0 共有8项，可知： SKIPIF 1 < 0 ，检验即可；
解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论 SKIPIF 1 < 0 相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为常数列。
【详解】（1）因为数列 SKIPIF 1 < 0 ，
由序列 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由序列 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由序列 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法一：假设存在符合条件的 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，第 SKIPIF 1 < 0 项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件的 SKIPIF 1 < 0 ；
解法二：根据题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，
假设存在符合条件的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即序列 SKIPIF 1 < 0 共有8项，
根据题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
检验可知：当 SKIPIF 1 < 0 时，上式不成立，
即假设不成立，所以不存在符合条件的 SKIPIF 1 < 0 .
（3）解法一：我们设序列 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，特别规定 SKIPIF 1 < 0 .
必要性：
若存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的各项都相等.
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
根据 SKIPIF 1 < 0 的定义，显然有 SKIPIF 1 < 0 ，这里 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以不断使用该式就得到， SKIPIF 1 < 0 ，必要性得证.
充分性：
若 SKIPIF 1 < 0 .
根据已知， SKIPIF 1 < 0 为偶数，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 也是偶数.
我们设 SKIPIF 1 < 0 是通过合法的序列 SKIPIF 1 < 0 的变换能得到的所有可能的数列 SKIPIF 1 < 0 中，使得 SKIPIF 1 < 0 最小的一个.
上面已经证明 SKIPIF 1 < 0 ，这里 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
从而由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
同时，由于 SKIPIF 1 < 0 总是偶数，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性保持不变，从而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是偶数.
下面证明不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 .
假设存在，根据对称性，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
情况1：若 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是偶数，知 SKIPIF 1 < 0 .
对该数列连续作四次变换 SKIPIF 1 < 0 后，新的 SKIPIF 1 < 0 相比原来的 SKIPIF 1 < 0 减少 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 的最小性矛盾；
情况2：若 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 .
情况2-1：如果 SKIPIF 1 < 0 ，则对该数列连续作两次变换 SKIPIF 1 < 0 后，新的 SKIPIF 1 < 0 相比原来的 SKIPIF 1 < 0 至少减少 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 的最小性矛盾；
情况2-2：如果 SKIPIF 1 < 0 ，则对该数列连续作两次变换 SKIPIF 1 < 0 后，新的 SKIPIF 1 < 0 相比原来的 SKIPIF 1 < 0 至少减少 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 的最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 .
假设存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是奇数，所以 SKIPIF 1 < 0 都是奇数，设为 SKIPIF 1 < 0 .
则此时对任意 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可知必有 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是偶数，故集合 SKIPIF 1 < 0 中的四个元素 SKIPIF 1 < 0 之和为偶数，对该数列进行一次变换 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列成为常数列，新的 SKIPIF 1 < 0 等于零，比原来的 SKIPIF 1 < 0 更小，这与 SKIPIF 1 < 0 的最小性矛盾.
综上，只可能 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是常数列，充分性得证.
解法二：由题意可知： SKIPIF 1 < 0 中序列的顺序不影响 SKIPIF 1 < 0 的结果，
且 SKIPIF 1 < 0 相对于序列也是无序的，
（ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
分别执行 SKIPIF 1 < 0 个序列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 个序列 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，为常数列；
②当 SKIPIF 1 < 0 中有且仅有三个数相等，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
分别执行 SKIPIF 1 < 0 个序列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 个序列 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶数，即 SKIPIF 1 < 0 为偶数，
可知 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性相同，则 SKIPIF 1 < 0 ，
分别执行 SKIPIF 1 < 0 个序列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
为常数列；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
分别执行 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即转为①；
④当 SKIPIF 1 < 0 中有且仅有两个数相等，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
分别执行 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即转为②；
⑤若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
分别执行 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即转为③；
由上所述：若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为常数列；
（ⅱ）若存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为常数列，因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ，
均有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立，
若 SKIPIF 1 < 0 为常数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
“存在序列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为常数列”的充要条件为“ SKIPIF 1 < 0 ”.
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0