2024年全国甲卷高考数学（理数）真题试题（原卷版+含解析）

这是一份2024年全国甲卷高考数学（理数）真题试题（原卷版+含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．10D． SKIPIF 1 < 0
2．集合 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．若实数 SKIPIF 1 < 0 满足约束条件 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
5．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D． SKIPIF 1 < 0
6．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要条件B．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要条件
C．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分条件D．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分条件
10．设 SKIPIF 1 < 0 是两个平面， SKIPIF 1 < 0 是两条直线，且 SKIPIF 1 < 0 .下列四个命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
③若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ④若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角相等，则 SKIPIF 1 < 0
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
11．在 SKIPIF 1 < 0 中内角 SKIPIF 1 < 0 所对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知b是 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
13． SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数的最大值是 ．
14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，母线长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则两个圆台的体积之比 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记 SKIPIF 1 < 0 为前两次取出的球上数字的平均值， SKIPIF 1 < 0 为取出的三个球上数字的平均值，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 差的绝对值不超过 SKIPIF 1 < 0 的概率是 ．
三、解答题
17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1)填写如下列联表：
能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果 SKIPIF 1 < 0 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ SKIPIF 1 < 0 ）
附： SKIPIF 1 < 0
18．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
20．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 轴．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 轴．
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
22．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，以坐标原点 SKIPIF 1 < 0 为极点， SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)写出 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标方程；
(2)设直线l： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），若 SKIPIF 1 < 0 与l相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
23．实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
2024年高考全国甲卷数学（理）
一、单选题
1．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．10D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选A
2．集合 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则，
故选D
3．若实数 SKIPIF 1 < 0 满足约束条件 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，作出可行域如图：
根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的几何意义为 SKIPIF 1 < 0 的截距的 SKIPIF 1 < 0 ，
则该直线截距取最大值时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，此时直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选D.
4．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 结合等差中项的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可计算出公差，即可得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选B.
5．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距 SKIPIF 1 < 0 ，结合双曲线定义计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得离心率.
【解析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选C.
6．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即该切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 SKIPIF 1 < 0 .
故选A.
7．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可排除D.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故该函数为偶函数，故A、C错误，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故D错误.
故选B.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先将 SKIPIF 1 < 0 弦化切求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选B.
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要条件B．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要条件
C．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分条件D．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解析】A，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性不成立，A错误；
B，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性不成立，B错误；
C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即充分性成立，C正确；
D，当 SKIPIF 1 < 0 时，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不成立，即充分性不立，D错误.
故选C.
10．设 SKIPIF 1 < 0 是两个平面， SKIPIF 1 < 0 是两条直线，且 SKIPIF 1 < 0 .下列四个命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
③若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ④若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角相等，则 SKIPIF 1 < 0
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.
【解析】①，当 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 既不在 SKIPIF 1 < 0 也不在 SKIPIF 1 < 0 内，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
②，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不一定垂直，②错误；
③，过直线 SKIPIF 1 < 0 分别作两平面与 SKIPIF 1 < 0 分别相交于直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 的平面与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为直线 SKIPIF 1 < 0 ，则根据线面平行的性质定理知 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，③正确；
④，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角相等，如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，④错误；
①③正确，
故选A.
11．在 SKIPIF 1 < 0 中内角 SKIPIF 1 < 0 所对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 的值，最后代入计算即可.
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
由余弦定理可得: SKIPIF 1 < 0 ，即: SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选C.
12．已知b是 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将 SKIPIF 1 < 0 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入直线方程 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线恒过 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，圆化为标准方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，
SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .

故选C
二、填空题
13． SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数的最大值是 ．
【答案】5
【分析】先设展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项系数最大，则根据通项公式有 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【解析】根据题展开式通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
设展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项系数最大，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 SKIPIF 1 < 0 .
答案为：5.
14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，母线长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则两个圆台的体积之比 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.
【解析】根据题可得两个圆台的高分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】64
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 利用换底公式转化成 SKIPIF 1 < 0 来表示即可求解.
【解析】由题 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
答案为：64.
16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记 SKIPIF 1 < 0 为前两次取出的球上数字的平均值， SKIPIF 1 < 0 为取出的三个球上数字的平均值，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 差的绝对值不超过 SKIPIF 1 < 0 的概率是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为 SKIPIF 1 < 0 ，第三个球的号码为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，就 SKIPIF 1 < 0 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有 SKIPIF 1 < 0 种，
设前两个球的号码为 SKIPIF 1 < 0 ，第三个球的号码为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，因此有2种，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此有10种，
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此有16种，当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理有16种，当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理有10种，当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理有2种，
共 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的差的绝对值不超过 SKIPIF 1 < 0 时不同的抽取方法总数为 SKIPIF 1 < 0 ，因此所求概率为 SKIPIF 1 < 0 .
答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1)填写如下列联表：
能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果 SKIPIF 1 < 0 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ SKIPIF 1 < 0 ）
附： SKIPIF 1 < 0
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算 SKIPIF 1 < 0 ，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意计算 SKIPIF 1 < 0 ，结合题意分析判断.
【解析】（1）根据题意可得列联表：
可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）根据题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 SKIPIF 1 < 0 ，
用频率估计概率可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
18．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用退位法可求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
（2）利用错位相减法可求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【答案】(1)见详解；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）结合已知易证四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可证 SKIPIF 1 < 0 ，进而得证；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合（1） SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 底边上中点 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 方向为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 方向为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 方向为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立 SKIPIF 1 < 0 空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 轴．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 轴．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的坐标及 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线方程和椭圆方程，用 SKIPIF 1 < 0 的坐标表示 SKIPIF 1 < 0 ，结合韦达定理化简前者可得 SKIPIF 1 < 0 ，故可证 SKIPIF 1 < 0 轴.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由题设有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率必定存在，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 轴.
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分类讨论后可得参数的取值范围.
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，而 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取极小值且极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
即在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
故在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，错误.
当 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
同理可得在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 恒成立，错误；
综上， SKIPIF 1 < 0 .
22．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，以坐标原点 SKIPIF 1 < 0 为极点， SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)写出 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标方程；
(2)设直线l： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），若 SKIPIF 1 < 0 与l相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入 SKIPIF 1 < 0 的直角方程，
法1：结合参数 SKIPIF 1 < 0 的几何意义可得关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，从而可求参数 SKIPIF 1 < 0 的值；
法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）对于直线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程消去参数 SKIPIF 1 < 0 ，得直线的普通方程为 SKIPIF 1 < 0 .
法1：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线的参数方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
将其代入 SKIPIF 1 < 0 中得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 两点对应的参数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
法2：联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
23．实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用 SKIPIF 1 < 0 即可证明.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ;
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30