2024年上海高考数学真题试题（原卷版+含解析）

这是一份2024年上海高考数学真题试题（原卷版+含解析），共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．设全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 ．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
6．在 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 ．
7．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为9，那么点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 ．
8．某校举办科学竞技比赛，有 SKIPIF 1 < 0 3种题库， SKIPIF 1 < 0 题库有5000道题， SKIPIF 1 < 0 题库有4000道题， SKIPIF 1 < 0 题库有3000道题．小申已完成所有题，他 SKIPIF 1 < 0 题库的正确率是0.92， SKIPIF 1 < 0 题库的正确率是0.86， SKIPIF 1 < 0 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
9．已知虚数 SKIPIF 1 < 0 ，其实部为1，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 为 ．
10．设集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
11．已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， SKIPIF 1 < 0 ,存在点A满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 (精确到0.1度)
12．无穷等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足首项 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 集合 SKIPIF 1 < 0 是闭区间，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
二、单选题
13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
14．下列函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．定义一个集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 SKIPIF 1 < 0 ，存在不全为0的实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，定义集合 SKIPIF 1 < 0 ，在使得 SKIPIF 1 < 0 的所有 SKIPIF 1 < 0 中，下列成立的是（ ）
A．存在 SKIPIF 1 < 0 是偶函数B．存在 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取最大值
C．存在 SKIPIF 1 < 0 是严格增函数D．存在 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取到极小值
三、解答题
17．如图为正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小．
18．若 SKIPIF 1 < 0 ．
(1) SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(2)存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附： SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．）
20．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若离心率 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，且点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
21．对于一个函数 SKIPIF 1 < 0 和一个点 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 取到最小值的点，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”．
(1)对于 SKIPIF 1 < 0 ，求证：对于点 SKIPIF 1 < 0 ，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”；
(2)对于 SKIPIF 1 < 0 ，请判断是否存在一个点 SKIPIF 1 < 0 ，它是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线垂直；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 在定义域R上存在导函数 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域R上恒正，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在点 SKIPIF 1 < 0 同时是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”，试判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性．
2024年上海夏季高考数学
一、填空题
1．设全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题设有 SKIPIF 1 < 0 ，
答案： SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ，
答案： SKIPIF 1 < 0 .
3．已知 SKIPIF 1 < 0 则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】方程 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
答案： SKIPIF 1 < 0 .
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
答案： SKIPIF 1 < 0 .
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】15
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
答案：15．
6．在 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 ．
【答案】10
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
答案：10．
7．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为9，那么点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据抛物线的定义知 SKIPIF 1 < 0 ，将其再代入抛物线方程即可.
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 知抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
答案： SKIPIF 1 < 0 ．
8．某校举办科学竞技比赛，有 SKIPIF 1 < 0 3种题库， SKIPIF 1 < 0 题库有5000道题， SKIPIF 1 < 0 题库有4000道题， SKIPIF 1 < 0 题库有3000道题．小申已完成所有题，他 SKIPIF 1 < 0 题库的正确率是0.92， SKIPIF 1 < 0 题库的正确率是0.86， SKIPIF 1 < 0 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【解析】根据题意知， SKIPIF 1 < 0 题库的比例为： SKIPIF 1 < 0 ，
各占比分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
则根据全概率公式知所求正确率 SKIPIF 1 < 0 ．
答案：0.85．
9．已知虚数 SKIPIF 1 < 0 ，其实部为1，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 为 ．
【答案】2
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
答案：2.
10．设集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有 SKIPIF 1 < 0 个；
②当个位不为0时，则个位有 SKIPIF 1 < 0 个数字可选，百位有 SKIPIF 1 < 0 个数字可选，十位有 SKIPIF 1 < 0 个数字可选，
由分步乘法这样的偶数共有 SKIPIF 1 < 0 ，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 个．
答案：329．
11．已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， SKIPIF 1 < 0 ,存在点A满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 (精确到0.1度)
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中分别利用正弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ’
即 SKIPIF 1 < 0 ①
在中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，②
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
利用计算器即可得 SKIPIF 1 < 0 ，
答案： SKIPIF 1 < 0 .
12．无穷等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足首项 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 集合 SKIPIF 1 < 0 是闭区间，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】当 SKIPIF 1 < 0 时，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 为闭区间可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故可求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】由题设有 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为闭区间，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为闭区间等价于 SKIPIF 1 < 0 为闭区间，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，因 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
答案： SKIPIF 1 < 0 .
二、单选题
13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
【答案】C
【解析】AB。当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，AB错误.
CD.因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，
C正确，D错误.
故选：C.
14．下列函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】A. SKIPIF 1 < 0 ，周期 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
B. SKIPIF 1 < 0 ，周期 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
C. SKIPIF 1 < 0 ，是常值函数，不存在最小正周期，C错误；
D. SKIPIF 1 < 0 ，周期 SKIPIF 1 < 0 ，D错误，
故选：A．
15．定义一个集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 SKIPIF 1 < 0 ，存在不全为0的实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据题意知这三个向量 SKIPIF 1 < 0 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
A.由空间直角坐标系易知 SKIPIF 1 < 0 三个向量共面，则当 SKIPIF 1 < 0 无法推出 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
B.由空间直角坐标系易知 SKIPIF 1 < 0 三个向量共面，则当 SKIPIF 1 < 0 无法推出 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
C. 由空间直角坐标系易知 SKIPIF 1 < 0 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由 SKIPIF 1 < 0 能推出 SKIPIF 1 < 0 ，C正确。
D.由空间直角坐标系易知 SKIPIF 1 < 0 三个向量共面，则当 SKIPIF 1 < 0 无法推出 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：C．
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，定义集合 SKIPIF 1 < 0 ，在使得 SKIPIF 1 < 0 的所有 SKIPIF 1 < 0 中，下列成立的是（ ）
A．存在 SKIPIF 1 < 0 是偶函数B．存在 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取最大值
C．存在 SKIPIF 1 < 0 是严格增函数D．存在 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数 SKIPIF 1 < 0 即可判断.
【解析】A.若存在 SKIPIF 1 < 0 是偶函数, 取 SKIPIF 1 < 0 ,则对于任意 SKIPIF 1 < 0 , 而 SKIPIF 1 < 0 , 矛盾, A 错误；
B.可构造函数 SKIPIF 1 < 0 满足集合 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则该函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
C.假设存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 严格递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，与已知 SKIPIF 1 < 0 矛盾，C错误；
D.假设存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取极小值，则在 SKIPIF 1 < 0 的左侧附近存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，这与已知集合 SKIPIF 1 < 0 的定义矛盾，D错误；
故选：B.
三、解答题
17．如图为正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）正四棱锥满足且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又正四棱锥底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆锥的定义， SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周形成的几何体是以 SKIPIF 1 < 0 为轴， SKIPIF 1 < 0 为底面半径的圆锥，
即圆锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 SKIPIF 1 < 0
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
于是直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小即为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又线面角的范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
18．若 SKIPIF 1 < 0 ．
(1) SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(2)存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求出底数 SKIPIF 1 < 0 ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 的图象过 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 （负的舍去），
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
故 SKIPIF 1 < 0 有解，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附： SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)有
【解析】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比 SKIPIF 1 < 0 ，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
（3）由题列联表如下：
提出零假设 SKIPIF 1 < 0 ：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．
其中 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
则零假设不成立，
即有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
20．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若离心率 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，且点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.
【解析】（1）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则
①当以 SKIPIF 1 < 0 为底时，显然点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，这与点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限矛盾，故舍去；
②当以 SKIPIF 1 < 0 为底时， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , 联立解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，错误，舍去；（或者由双曲线性质知 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，舍去）；
③当以 SKIPIF 1 < 0 为底时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
答案： SKIPIF 1 < 0 .
（3）根据题知 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，则 SKIPIF 1 < 0 ，则设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 延长线交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
根据双曲线对称性知 SKIPIF 1 < 0 ， 联立有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
显然二次项系数 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将①②代入有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 , 代入到 SKIPIF 1 < 0 , 得 SKIPIF 1 < 0 , 所以 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由上知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
21．对于一个函数 SKIPIF 1 < 0 和一个点 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 取到最小值的点，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”．
(1)对于 SKIPIF 1 < 0 ，求证：对于点 SKIPIF 1 < 0 ，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”；
(2)对于 SKIPIF 1 < 0 ，请判断是否存在一个点 SKIPIF 1 < 0 ，它是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线垂直；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 在定义域R上存在导函数 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域R上恒正，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在点 SKIPIF 1 < 0 同时是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”，试判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性．
【答案】(1)见解析
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式即可；
（2）由题得 SKIPIF 1 < 0 ，利用导函数得到其最小值，则得到 SKIPIF 1 < 0 ，再证明直线 SKIPIF 1 < 0 与切线垂直即可；
（3）根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，对两等式化简得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ，最后得到函数单调性.
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故对于点 SKIPIF 1 < 0 ，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得该点是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”．
（2）由题设可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 上单调递增函数，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为严格增函数，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线垂直．
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，存在点 SKIPIF 1 < 0 同时是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的“最近点”，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 既是 SKIPIF 1 < 0 的最小值点，也是 SKIPIF 1 < 0 的最小值点，
因为两函数的定义域均为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 也是两函数的极小值点，
则存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
根据①②相等得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域R上恒正，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
接下来证明 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 既是 SKIPIF 1 < 0 的最小值点，也是 SKIPIF 1 < 0 的最小值点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，③
SKIPIF 1 < 0 ，④
③ SKIPIF 1 < 0 ④得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，因为 SKIPIF 1 < 0 的任意性，则 SKIPIF 1 < 0 严格单调递减.
时间范围学业成绩
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
时间范围学业成绩
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
SKIPIF 1 < 0
其他
合计
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485
合计
222
358
580