初中数学第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积习题

这是一份初中数学第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积习题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用一个圆心角为90∘，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
2.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是15cm，当重物上升15cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为( )(π取3.14，结果精确到1∘)
A. 115∘B. 60∘C. 57∘D. 29∘
3.如图，在扇形MON中，∠MON=105°，半径OM=6，将扇形MON沿过点P的直线折叠，点O恰好落在MN上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为( )
A. 9 2B. 9(π− 2)C. 9π2D. 9π2−9
4.如图，点C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC，分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，作直线OD交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为( )
A. πB. 2πC. 2π−4D. 2 3−π
5.如图，在扇形AOB中，∠AOB=130°，OA=3，若弦BC/​/AO，则AC的长为( )
A. 5π12
B. 2π3
C. 5π6
D. 4π3
6.如图，在正方形ABCD中，边长AB=1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为( )
A. π4
B. π2
C. π
D. 2π
7.如图，B,C是半径为6的半圆O上的两个点，AD是直径，BC//AD，若BC⌢的长度为83π，则图中阴影部分的面积为
A. 8πB. 6πC. 5πD. 83π
8.如图，在▵ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45∘，AB=2，则阴影部分的面积为( )
A. π4B. π3C. 2π3D. π
9.如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′.若∠O=90∘，OA=2 6，则阴影部分的面积为( )
A. 6B. π+6C. 43π+2 3D. 2π+3 3
10.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⌢)，点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC⌢上一点，OB⊥AC于D.若AC=300 3 m，BD=150 m，则AC⌢的长为( )
A. 300π mB. 200π mC. 150π mD. 100 3πm
11.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为( )
A. 3π−3 3B. 3π−9 32C. 2π−3 3D. 6π−9 32
12.如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若∠BAC=50°，AB=2，则BC⌢的长为
A. 103πB. 109πC. 53πD. 59π
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在⊙O中，OA=2，∠C=45°，则图中阴影部分的面积为 ．
14.《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为6cm，滑轮旋转了150°，则重物“甲”上升了______cm(绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留π)
15.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______．
16.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，则EC的长度为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC/​/BD，交AD于点E，连结BC．
(1)求证：AE=ED．
(2)若AB=10，∠CBD=36∘，求AC的长．
18.(本小题8分)
已知：⊙O的直径AB=8，⊙B与⊙O相交于点C、D，⊙O的直径CF与⊙B相交于点E，设⊙B的半径为x，OE的长为y，
(1) 如图，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(2) 当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；
(3) 设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC⌢的长度(不必写过程)；如果不能，请简要说明理由．
19.(本小题8分)
如图所示，矩形OABD的边OA在x轴上，OD在y轴上，点B的坐标是(2, 3)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，以点A为圆心，AO为半径作OC交边BD于点C，连接OC．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)求∠OAC的度数．
(3)请直接写出图中阴影部分的面积．
20.(本小题8分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3)，C(1,3).画出将△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1，并求旋转过程中点B经过的路线长．
21.(本小题8分)
如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E点D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠AOC=60°．
(1)求∠ADB的度数．
(2)若BC=2，求图中劣弧BC的长．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1).B(1,−2)，C(3,−3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1BC1；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
(3)将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积(结果保留π)．
23.(本小题8分)
学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
问题：
(1)方框内3个问题的解决都用到了 的数学思想方法(从下列选项中选一个);
A.分类讨论
B.数形结合
C.整体
D.从特殊到一般
(2)方框内问题3中a2−b2ab的值为 ;
(3)如图，已知⊙O的半径为5，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8，CD=6，求AB与CD的长度之和．
24.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形(每个小正方形边长为单位1)网格的格点上．
(1)△ABC的形状是______(直接写答案)
(2)画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
(3)画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△BA2C2并求出旋转过程中△ABC扫过的面积．(结果保留π)
25.(本小题8分)
如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90∘得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)在(2)的条件下，请求出线段AB在旋转过程中扫过的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【解答】
解：扇形的弧长=90π×8180=4π，
设圆锥的底面直径为d，则πd=4π，
所以d=4．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了弧长的计算公式：l=nπr180，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
重物上升15cm，说明点A转过的路径长为15cm，然后根据弧长公式l=nπr180得到n的方程，解方程即可．
【解答】
解：根据题意得，15=n×π×15180，
解得，n=180°π≈57°，
所以OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为57°．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：连接OQ，交PN于E，
∵沿PN对折O和Q重合，OQ=6，
∴PN⊥OQ，QE=OE=3，∠QNE=∠ONE，ON=NQ=6，
∴∠NEO=90°，△QON是等边三角形，
∴∠QON=∠QNO=60°，
∵∠MON=105°，
∴∠POQ=∠MON−∠QON=45°，
∵∠OEP=90°，
∴PE=OE=3，
∴阴影部分的面积
=S扇形MOQ−S△POQ
=45π×62360−12×6×3
=92π−9，
故选：D．
连接OQ，交PN于E，根据对折得出PN⊥OQ，QE=OE=3，∠QNE=∠ONE，ON=NQ=6，得出△QON是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠QON=∠QNO=60°，求出∠QOP=∠MON−∠QON=45°，求出PE=OE=3，再分别求出扇形MOQ和△POQ的面积即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2360．
4.【答案】A
【解析】解：连接OC，作EF⊥AB于F，
∵点C是直径AB为4的半圆的中点，
∴∠COB=90°，∠ABC=45°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，且OB=OC，
∴OD垂直平分BC，
∴CE=BE，
∵∠COB=90°，EF⊥AB，
∴EF//OC，
∴BFOF=BECE=1，
∴EF是△BOC的中位线，
∴EF=12OC=1，
∴S△ABE=12AB⋅EF=12×4×1=2，
∵S△OBC=12OB⋅OC=12×2×2=2，
∴S△ABE=S△OBC，
∴S阴影=S半圆AB−S△ABE−S弓形BC=S半圆AB−S扇形OBC=12S半圆AB=12×12π×22=π．
故选：A．
连接OC，作EF⊥AB于F，根据圆周角定理得到∠COB=90°，∠ABC=45°，从而得到△BOC是等腰直角三角形，判断OD是BC的垂直平分线，进一步即可求得EF=12OC=1，求得S△ABE=12AB⋅EF=12×4×1=2，S△OBC=12OB⋅OC=12×2×2=2，得到S△ABE=S△OBC，即可得到S阴影=12S半圆AB．
本题考查扇形的面积公式、圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是解得S△ABE=S△OBC，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：连接OC，如图，
∵BC/​/OA，
∴∠AOB+∠OBC=180°，∠C=∠AOC，
∵∠AOB=130°，
∴∠OBC=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC=50°，
∴∠AOC=50°，
∴AC的长=50×π×3180=5π6．
故选：C．
连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC=50°，然后根据弧长公式计算AC的长．
本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，
∴CC1=2AC=2× 2AB=2 2，
∴线段CD扫过的面积=12×( 2)2⋅π−12×π=12π，
故选：B．
根据中心对称的性质得到CC1=2AC=2× 2AB=2 2，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算，弧长的计算，解答本题的关键是掌握利用“割补法”求面积的思路与方法；连接BD、OC，根据BC/​/AD，得出∠DBC=∠BDA，进一步得出CD=AB，∠COD=∠AOB，S弓形AB=S弓形CD，进而得出S阴影=S弓形AB+S△AOB=S扇形AOB，利用弧长公式求出∠BOC的度数为80°，进而得∠COD=∠AOB=50°，再利用扇形面积公式进行解答，即可求解．
【解答】
解：连接BD、OC，如图：
∵BC//AD，
∴∠DBC=∠BDA，
∴CD=AB，∠COD=∠AOB，
∴S弓形AB=S弓形CD，
∴S阴影=S弓形AB+S△AOB=S扇形AOB，
∵BC的长度为83π，设∠BOC的度数为n°，
∴nπ×6180=83π，
∴n=80，
∴∠BOC的度数为80°，
∴∠COD=∠AOB=180°−∠BOC2=180°−80°2=50°，
∴S阴影=S扇形AOB=50π×62360=5π．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：连接OE，OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE/​/AB，
∴S△AOD=S△AED，
∴S阴影=S扇形OAD，
∵∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∵∠BED=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠AOD=90°，
∴S扇形OAD=90π×12360=π4，
∴S阴影=π4，
故选：A．
根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC=90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE/​/AB，根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．
本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，设O′A′交AB于点T，连接OT．
∵OT=OB，OO′=O′B，
∴OT=2OO′，
∵∠OO′T=90°，
∴∠O′TO=30°，∠TOO′=60°，
∴S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)
=90π×(2 6)2360−[60π×(2 6)2360−12× 6× 32×2 6]
=2π+3 3．
故选：D．
设O′A′交AB于点T，连接OT.首先证明∠OTO′=30°，根据S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)求解即可．
本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
10.【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵OB⊥AC，
∴AD=12AC=150 3m，∠AOC=2∠AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2=OA2，OA=OB，
∴AD2+(OA−BD)2=OA2，
∴(150 3)2+(OA−150)2=OA2，
解得：OA=300m，
∴sin∠AOB=ADOA= 32，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴AC的长=120×300π180=200πm．
故选：B．
先根据垂径定理求出AD的长，由题意得OD=OA−BD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值，然后再利用三角函数计算出AC所对的圆心角的度数，由弧长公式求出AC的长即可．
本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．
11.【答案】B
【解析】【分析】
根据折叠的性质推出AC=AO，BC=BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO=∠AOC=60°，求得∠AOB=120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【解答】
解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，
∴AC=AO，BC=BO，
∵AO=BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO=∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∵AC=3，
∴OC=3，AD= 32AC=3 32，
∴AB=2AD=3 3，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB−S菱形AOBC=120π×32360−12×3×3 3=3π−9 32，
故选：B．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=2，
∴OB=1，
∴BC的长度=100×1×π180=59π，
直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
13.【答案】π−2
【解析】略
14.【答案】5π
【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长．
即：150360×2×π×6=5π(cm)
故答案为：5π．
根据弧长的计算方法L=n×2πr360=nπr180，计算弧长即可．
本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是关键．
15.【答案】π
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，BO=DO，AD=CD，∠DBE=45°，
∴△AOD≌△COB(SSS)，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD= 22+22=2 2，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(2 2)2360=π，
故答案为：π．
根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD=2 2，再由扇形面积公式求解即可．
本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键．
16.【答案】2 33π
【解析】【分析】
本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握扇形弧长公式是解题的关键．
由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH，BH=1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH= 3，得到AC=2 3，根据扇形的弧长公式即可得到结论．
【解答】
解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=12×(180°−120°)=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=12AB=12×2=1，
在Rt△ABH中，AH= AB2−BH2= 22−12= 3，
∴AC=2 3，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，
∴EC长度为60⋅π×2 3180=2 33π
故答案为：2 33π.
17.【答案】【小题1】
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘．∵OC//BD，∴∠AEO=∠ADB=90∘，即OC⊥AD，∴AE=ED．
【小题2】
∵OC⊥AD，∴AC=CD，∴∠ABC=∠CBD=36∘，∴∠AOC=2∠ABC=2×36∘=72∘，∴AC的长为72π×5180=2π．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】解：(1)联结BE，如图：
∵⊙O的直径AB=8，
∴OC=OB=12AB=4，
∵⊙B的半径为x，
∴BC=x，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=∠CBO，
∴△BCE∽△OCB，
∴CECB=BCOC，
∵CE=OC−OE=4−y，
∴4−yx=x4，
∴y关于x的函数解析式为y=4−14x2，定义域为0b>0，
所以a−b= ab，
所以a2−b2ab=(a+b)(a−b)ab= 5ab⋅ abab= 5
(3)见答案
24.【答案】解：(1)等腰直角三角形；
(2)如图，△A1B1C1即为所求．
(3)如图，△BA2C2即为所求，
△ABC扫过的面积为12× 5× 5+90×π×( 10)2360=52+52π．
【解析】【分析】
本题主要考查作图−轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握轴对称变换与旋转变换的定义及其性质，扇形的面积公式等知识点．
(1)根据勾股定理及其逆定理即可判断；
(2)分别作出三顶点关于x轴的对称点，再顺次连接可得答案；
(3)作出点A，C绕点B顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接可得，旋转过程中三角形扫过的面积是三角形面积与扇形的面积和，据此列式计算．
【解答】
解：(1)∵AB2=12+22=5，AC2=12+22=5，BC2=12+32=10，
∴AB2+AC2=BC2，且AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示；
(2)△A2B2C2如图所示；
(3)由网格图可知：AC= 32+12= 10，BC= 22+12= 5
根据旋转，∠ACA2=90°，可知S扇形ACA2=90×π( 10)2360=5π2
根据旋转，∠BCB2=90°，可知 S扇形BCB2=90×( 5)2360=5π4
由图可见：AB在旋转过程中扫过的面积为：(S△ABC+S扇形ACA2)−(S扇形BCB2+S△A2B2C2)=S扇形ACA2−S扇形BCB2=5π2−5π4=5π4
【解析】本题考查网格作图——平移、旋转，以及网格中图形面积的计算，解题涉及平移的性质，旋转的性质，勾股定理，扇形面积公式，掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键．
(1)按平移变换的性质分别确定A，B，C平移后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
(2)按旋转变换的性质分别确定A，B，C绕点C顺时针旋转90度后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
(3)AB在旋转过程中扫过的面积为：(S△ABC+S扇形ACA2)−(S扇形BCB2+S△A2B2C2)，根据扇形的面积公式求解即可．小明在反思学习时，发现解决下列3个问题时都用到了同一种数学思想方法：
问题1:若a−2b=3，求2a−4b+1的值．
解决思路：2a−4b+1=2(a−2b)+1=2×3+1=7．
问题2:如图，分别以△ABC的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和．
解决思路：将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，则阴影面积为2π．
问题3:已知a2+b2=3ab(a>b>0)，求a2−b2ab的值．
解题思路：对已知条件进行恒等变形，a2+b2+2ab=5ab，(a+b)2=5ab，因为a>b>0，所以a+b= 5ab，类似可以得到a−b=⋯．