2024年北京市西城区北京师范大学附属中学中考数学三模试卷

这是一份2024年北京市西城区北京师范大学附属中学中考数学三模试卷，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体
2．（3分）北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ）
A．6.25×10﹣7B．62.5×10﹣6
C．6.25×10﹣5D．0.625×10﹣4
3．（3分）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．|b|＞|a|D．b﹣a＞0
4．（3分）如图，AB∥CD，BC∥EF，ED平分∠AEF，若∠C＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．55°D．65°
5．（3分）一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去m（m＞0），得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有两个相等的实数根、则实数a的值为（ ）
A．3B．2C．0D．﹣1
7．（3分）不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段BP运动到点P，再沿线段PA运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，＝y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．B．4C．D．2
二、填空题（共24分，每题3分）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（3分）分解因式：mx2﹣4my2＝ ．
11．（3分）方程组的解为 ．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（3，y1）和B（2，y2）在反比例函数的图象上，则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
13．（3分）若n边形的每个外角都是60°，则n的值是 ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，若AB＝6，则CF的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M1，M2；分别以M1，M2为圆心，大于M1M2的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点N1，N2分别以N1，N2为圆心，大于N1N2的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．
③连接CP．
根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为 ．
16．（3分）甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4名有 种可能情况．
三、解答题（共52分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22-24题每题6分，第25题8分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式3x+4＜5（x+2），并写出它的所有负整数解．
19．（5分）已知x﹣y﹣5＝0，求代数式的值．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，DB平分∠EDF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝8，BC＝4，CF＝3，求证：▱ABCD是矩形．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（1，5）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
22．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的直线EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若，BE＝2，求BC的长．
23．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，点P是BC边上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线与AC，CD分别相交于点E，F．
小明根据学习函数的经验对线段BP，CE，CF的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在BC边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP，CE，CF的长度的几组值，如表：
在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）①确定表格中m的值约为 （结果精确到0.1）；
②在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且CE＝CF时，BP＝ cm（结果精确到0.1）．
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
位置11
BP/cm
0
0.5
1.0
1.5
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.5
6.0
CE/cm
0
1.5
2.2
2.5
2.4
m
2.0
1.6
1.3
0.4
0
CF/cm
0
0.9
1.7
2.3
2.9
3.0
2.9
2.7
2.3
0.9
0
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）和点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若m＝1，n＝6，求t的值；
（2）已知点C（1，y1），在该抛物线上，若m＞﹣2，n＜﹣2，比较y1，y2的大小，并说明理由．
25．（8分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，连接DB，DC．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠CDB的度数；
（3）作BE⊥CD于点E，连接AE，用等式表示线段AE，BD，CD之间的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体
【解答】解：观察图形可知，该几何体是圆柱．
故选：A．
2．（3分）北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ）
A．6.25×10﹣7B．62.5×10﹣6
C．6.25×10﹣5D．0.625×10﹣4
【解答】解：0.0000625＝6.25×10﹣5．
故选：C．
3．（3分）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．|b|＞|a|D．b﹣a＞0
【解答】解：a、b两点在数轴上的位置可知：a＞1，﹣1＜b＜0，
∴ab＜0，故A错误；
∴a+b＞0，故B正确；
∴b﹣a＜0，故D错误．
∵|a|＞1，|b|＜1，故C错误．
故选：B．
4．（3分）如图，AB∥CD，BC∥EF，ED平分∠AEF，若∠C＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．55°D．65°
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠EFD＝∠C＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝180°﹣50°＝130°，
∵ED平分∠AEF，
∴∠AED＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AED＝65°，
故选：D．
5．（3分）一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去m（m＞0），得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，
∴＝，
故选：B．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有两个相等的实数根、则实数a的值为（ ）
A．3B．2C．0D．﹣1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有两个相等的实数根，
∴（﹣4）2﹣4×1×2a＝0，
解得：a＝2，
故选：B．
7．（3分）不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中两次摸出的小球的颜色相同的有3种，
则两次摸出的小球的颜色相同的概率是＝；
故选：B．
8．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段BP运动到点P，再沿线段PA运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，＝y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．B．4C．D．2
【解答】解：当0＜x≤4时，y＝1，即＝1，
∴MA＝MC，
∴点M在线段AC的垂直平分线上，
连接AC、BD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴点M先在BD上运动，且BM＝4，
∵当点P运动到点A处时，x＝6，
∴MA＝6﹣4＝2，
作MH⊥AB于H，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABM＝30°，
∴MH＝BM＝2，
∴点H与点A重合，
∴AB＝＝＝2，
即菱形ABCD的边长为2．
故选：C．
二、填空题（共24分，每题3分）
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠4 ．
【解答】解：由题可知，
代数式分母不为零，
即x﹣4≠0．
则x≠4．
故答案为：x≠4．
10．（3分）分解因式：mx2﹣4my2＝ m（x+2y）（x﹣2y） ．
【解答】解：原式＝m（x2﹣4y2）＝m（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：m（x+2y）（x﹣2y）
11．（3分）方程组的解为 ．
【解答】解：，
①×2+②得：5x＝﹣5，
解得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①得：﹣2+y＝﹣3，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为，
故答案为：．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（3，y1）和B（2，y2）在反比例函数的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【解答】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵3＞2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
13．（3分）若n边形的每个外角都是60°，则n的值是 6 ．
【解答】解：∵n边形的外角和是360°，
又∵n边形的每个外角都是60°，
∴这个n边形的边数是360°÷60°＝6，
故答案为：6．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，若AB＝6，则CF的长为 10 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，AB＝6，
∴DF＝4，
∴CF＝CD+DF＝6+4＝10，
故答案为：10．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M1，M2；分别以M1，M2为圆心，大于M1M2的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点N1，N2分别以N1，N2为圆心，大于N1N2的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．
③连接CP．
根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为 ．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D点，PE⊥BC于E点，如图，则PE＝1，
由作法得PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴PF＝PE＝1，∠PCF＝45°，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴PC＝PF＝．
故答案为：．
16．（3分）甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 8 种不同情况，其中甲是第4名有 4 种可能情况．
【解答】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况，
其中①②③④四种情况是甲为第4名，
故答案为：8，4．
三、解答题（共52分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22-24题每题6分，第25题8分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：
＝2﹣2+3﹣2×
＝2﹣2+3﹣
＝+1．
18．（5分）解不等式3x+4＜5（x+2），并写出它的所有负整数解．
【解答】解：去括号得，3x+4＜5x+10，
移项、合并同类项得，﹣2x＜6，
化系数为1得x＞﹣3．
故其所有负整数解为﹣2，﹣1．
19．（5分）已知x﹣y﹣5＝0，求代数式的值．
【解答】解：
第1名
第2名
第3名
第4名
①
丙
乙
丁
甲
②
丙
丁
乙
甲
③
丁
丙
乙
甲
④
丁
乙
丙
甲
⑤
丁
甲
乙
丙
⑥
丁
乙
甲
丙
⑦
丙
甲
乙
丁
⑧
丙
乙
甲
丁
＝
＝
＝
＝2（x﹣y）
＝2x﹣2y，
∵x﹣y﹣5＝0．
∴x﹣y＝5，
∴当x﹣y＝5时，原式＝2（x﹣y）＝2×5＝10．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，DB平分∠EDF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝8，BC＝4，CF＝3，求证：▱ABCD是矩形．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠EBD＝∠BDF，
∵DB平分∠EDF，
∴∠BDE＝∠BDF，
∴∠BDE＝∠DBE，
∴DE＝BE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）∵四边形BEDF是菱形，CD＝AB＝8，
∴BF＝DF＝CD﹣CF＝5，
∵BC2+CF2＝42+32＝52＝BF2，
∴∠C＝90°，
∴▱ABCD是矩形．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（1，5）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数y＝x+b的图象是由y＝2x的图象平移得到的，
∴k＝2，
把（1，5）代入y＝2x+b，解得b＝3，
∴函数的表达式是y＝2x+3；
（2）当x＝﹣1时，y＝2x+3＝1，
把点（1，﹣1）代入y＝mx，求得m＝﹣1，
∵当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∴m≤﹣1．
22．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的直线EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若，BE＝2，求BC的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°；
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA；
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AF，
∴∠ODE＝∠AFD＝90°，
即OD⊥EF，
又∵EF过点D，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠ABC＝＝，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC＝4x，OB＝OD＝2.5x，
∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E，
在Rt△OED中，sin∠E＝sin∠ABC＝＝，
∵BE＝2，
∴＝，
∴x＝，
∴BC＝4x＝4×＝．
23．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，点P是BC边上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线与AC，CD分别相交于点E，F．
小明根据学习函数的经验对线段BP，CE，CF的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在BC边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP，CE，CF的长度的几组值，如表：
在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定 BP 的长度是自变量， CE 的长度和 CF 的长度都是这个自变量的函数；
（2）①确定表格中m的值约为 2.2 （结果精确到0.1）；
②在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且CE＝CF时，BP＝ 1.9 cm（结果精确到0.1）．
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
位置10
位置11
BP/cm
0
0.5
1.0
1.5
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.5
6.0
CE/cm
0
1.5
2.2
2.5
2.4
m
2.0
1.6
1.3
0.4
0
CF/cm
0
0.9
1.7
2.3
2.9
3.0
2.9
2.7
2.3
0.9
0
【解答】解：（1）在BP，CE，CF的长度这三个量中，确定BP的长度是自变量，CE的长度和CF的长度都是这个自变量的函数；
（2）①如图，当BP＝3时，而AB＝CD＝3，AD＝BC＝6，
∴P是BC的中点，
∴BP＝CP＝3＝AB＝CD，
此时D，F重合，
过P作PI∥CD交AD于J，交AC于1，
∵AB∥CD，
∴AB∥PI∥CD，
∴，△PIE＝△DCE，
∴，，
∵AB＝3，BC＝6，
，
∴，
∵△PIE∽△DCE，
∴，
∴；
②描点画图如下：
（3）由函数图象可得：当CE＝CF时，BP＝1.9（cm）；
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）和点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若m＝1，n＝6，求t的值；
（2）已知点C（1，y1），在该抛物线上，若m＞﹣2，n＜﹣2，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，1）和点B（4，6）代入y＝ax2+bx﹣2，
得：，
解得：，
∴；
（2）∵a＞0，
∴当x＞t时，y随x的增大而增大，
令x＝0，得y＝﹣2，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣2）．
∵m＞﹣2，n＜﹣2，﹣1＜0＜4，
∴（﹣1，m），（0，﹣2）在对称轴的左侧，
设点（0，﹣2）关于对称轴x＝t的对称点坐标（x0，﹣2），
∴t＝，
∴x0＝2t，
∴点（0，﹣2）关于对称轴x＝t的对称点坐标为（2t，﹣2），
∵n＜﹣2，
∴2t＞4，
∴t＞2，
∴点C（1，y1）在对称轴左侧，点在对称轴右侧，
设点C（1，y1）关于对称轴x＝t的对称点坐标（x′0，y1），
∴t＝，
∴x′0＝2t﹣1，
∴点C（1，y1）关于对称轴x＝t的对称点坐标为（2t﹣1，y1），
∴
∴，
∴y1＞y2．
25．（8分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，连接DB，DC．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠CDB的度数；
（3）作BE⊥CD于点E，连接AE，用等式表示线段AE，BD，CD之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）根据题意可知AB＝AD＝AC，∠BAD＝α，
∴，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝90°+α，
∴，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝45°．
（3），证明如下：
如图，作AF⊥AE，交CD于点F，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC，
∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，
∴∠DBE＝45°，
∴，
∵∠BAD＝α，
∴，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，BE＝CF，
∴，
∴CD＝DE+EF+CF＝．