2024年内蒙古包头市九原区中考数学四模试卷

这是一份2024年内蒙古包头市九原区中考数学四模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各式中，计算结果为m8的是（ ）
A．m2•m4B．m4+m4C．m16÷m2D．（m2）4
2．（3分）下列方程中方程的解为x＝2的是（ ）
A．2x＝6B．﹣x＝1C．2+x＝0D．2x﹣1＝3
3．（3分）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝﹣，若2⊕（2x﹣1）＝1，则x的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
5．（3分）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（ ）
A．函数值y随x增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与x轴交于点（1，0）
D．当x＝a时，y＝2a+2
7．（3分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）
A．6B．9C．18D．36
8．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F；下列结论：
①△AFE∽△DFC；
②DA平分∠BDE；
③AC平分∠DAE，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题。
11．（3分）某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是 小时．
时间/小时
7
8
9
10
人数
4
12
13
6
12．（3分）化简：（a﹣2）•＝ ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 .
14．（3分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．
15．（3分）若是方程2x+y＝5的一个解，则代数式a2+b+50的最小值为 ．
16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，
∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝ ．
三、解答题。
17．（8分）（1）计算：．
（2）解不等式组．
并把解集在数轴上表示出来．
18．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小凡从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小刚在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）利用树状图或列表法求出由x，y确定的点（x，y）在函数y＝的图象上的概率；
（2）小凡和小刚约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy≥6则小凡胜，若x，y满足xy＜6则小刚胜，这个游戏公平吗？公平请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为24.6米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，tan67°≈2.36）
20．（11分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
21．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：∠DEC＝∠BAC；
（2）若AC∥DE，且AD＝，CE＝1时，判断△ABC的形状，并说明理由．（请用两种方法解答）
22．（12分）在矩形ABCD中，AD＝AB，E为AD上一点，将△AEB沿BE折叠，得到△FEB．
（1）如图1，若点F恰好在BC边上，点G在CD上，且DG＝DE，连接EG．求证：EG＝CG．
（2）如图2，若点F在矩形ABCD内部，延长EF交BC边于点P，延长BF交CD边于点H，连接DF，且AB＝6，FH＝CH，求证：DF∥EB．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．（3分）下列各式中，计算结果为m8的是（ ）
A．m2•m4B．m4+m4C．m16÷m2D．（m2）4
【解答】解：A．m2•m4＝m6，故此选项不合题意；
B．m4+m4＝2m4，故此选项不合题意；
C．m16÷m2＝m14，故此选项不合题意；
D．（m2）4＝m8，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列方程中方程的解为x＝2的是（ ）
A．2x＝6B．﹣x＝1C．2+x＝0D．2x﹣1＝3
【解答】解：A．2x＝6的解为x＝3；
B．﹣x＝1的解为x＝﹣2；
C．2+x＝0的解为x＝﹣2；
D．2x﹣1＝3的解为x＝2；
故选：D．
3．（3分）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．
故选：A．
4．（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝﹣，若2⊕（2x﹣1）＝1，则x的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
【解答】解：∵a⊕b＝﹣，
∴2⊕（2x﹣1）
＝﹣
＝，
∵2⊕（2x﹣1）＝1，
∴＝1，
解得：x＝，
经检验，x＝是＝1的解．
故选：A．
5．（3分）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种结果，
所以小明和小慧选择参加同一项目的概率为＝，
故选：A．
6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（ ）
A．函数值y随x增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
①
②
③
①
（①，①）
（②，①）
（③，①）
②
（①，②）
（②，②）
（③，②）
③
（①，③）
（②，③）
（③，③）
C．图象与x轴交于点（1，0）
D．当x＝a时，y＝2a+2
【解答】解：将点（﹣1，4）代入一次函数解析式得，
﹣k﹣k＝4，
解得k＝﹣2，
所以一次函数的解析式为y＝﹣2x+2．
因为﹣2＜0，
所以函数值y随x的增大而减小．
故A选项不符合题意．
函数图象如图所示，
所以此函数图象经过第一、二、四象限．
故B选项不符合题意．
令y＝0得，﹣2x+2＝0，
解得x＝1，
所以函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）．
故C选项符合题意．
当x＝a时，
y＝﹣2a+2．
故D选项不符合题意．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）
A．6B．9C．18D．36
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝3，EF＝6，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，
故选：D．
8．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9，
所以＝＝＝＝﹣．
故选：A．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°，
∵sin∠CDB＝，BD＝5，
∴BH＝3，
∴DH＝＝4，
设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴OH＝；
∴AH＝OA+OH＝，
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F；下列结论：
①△AFE∽△DFC；
②DA平分∠BDE；
③AC平分∠DAE，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【解答】解：∵△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，所以①正确；
∵△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE，
即DA平分∠BDE，所以②正确；
∵△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAD＝∠CAE，
而不能确定AD平分∠BAC，
∴不能确定∠CAE＝∠DAC，所以③错误．
故选：A．
二、填空题。
11．（3分）某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是 9 小时．
【解答】解：在该班35名同学一周课外阅读时间中，9小时出现的次数最多，
所以众数是9小时．
故答案为：9．
12．（3分）化简：（a﹣2）•＝ a+2 ．
【解答】解：原式＝（a﹣2）×＝a+2．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 4﹣π .
【解答】解：∵AC＝2，
根据题意可知BE＝BF＝AD＝AC＝2，
时间/小时
7
8
9
10
人数
4
12
13
6
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）
＝×2×4﹣
＝4﹣
＝4﹣
＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
14．（3分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 x＜﹣1或x＞4 ．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
15．（3分）若是方程2x+y＝5的一个解，则代数式a2+b+50的最小值为 36 ．
【解答】解：∵是方程2x+y＝5的一个解，
∴6a﹣b＝5，
∴b＝6a﹣5，
∴a2+b+50
＝a2+6a﹣5+50
＝（a+3）2+36≥36，
∴代数式a2+b+50的最小值为36．
故答案为：36．
16．（3分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，
∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝ ．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，
∵BD＝1，AD＝5，
∴AB＝BD+AD＝6，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，
在Rt△BCA与Rt△DCE中，
∵∠BAC＝∠DEC＝30°，
∴tan∠BAC＝tan∠DEC，
∴，
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CAE＝∠B＝60°，，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，，
∴AE＝，
在Rt△ADE中，
DE＝＝＝2，
在Rt△DCE中，∠DEC＝30°，
∴∠EDC＝60°，DC＝DE＝，
在Rt△DCM中，
MC＝DC＝，
在Rt△AEN中，
NE＝AE＝，
∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90°，
∴△MFC∽△NFE，
∴＝＝＝，
方法二：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，
∵BD＝1，AD＝5，
∴AB＝BD+AD＝6，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，
在Rt△BCA与Rt△DCE中，
∵∠BAC＝∠DEC＝30°，
∴tan∠BAC＝tan∠DEC，
∴，
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CAE＝∠B＝60°，，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，，
∴AE＝，
在Rt△ADE中，
DE＝＝＝2，
在Rt△DCE中，∠DEC＝30°，
∴∠EDC＝60°，DC＝DE＝，
∵∠CDE＝∠EAF＝60°，CFD＝∠AFE，
∴△DFC∽△AFE，
∴，
故答案为：．
三、解答题。
17．（8分）（1）计算：．
（2）解不等式组．
并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2），
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤1，
不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
这个不等式组的解集在数轴上表示为：
18．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小凡从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小刚在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）利用树状图或列表法求出由x，y确定的点（x，y）在函数y＝的图象上的概率；
（2）小凡和小刚约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy≥6则小凡胜，若x，y满足xy＜6则小刚胜，这个游戏公平吗？公平请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．
【解答】
（1）树状图如图所示，由x，y确定的点（x，y）有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）
其中在y＝的图象上有（1，3）（3，1）
所以P＝
（2）∵使得xy≥6的有（2，3）（2，4）（3，2）（3，4）（4，2）（4，3）
∴P（小凡胜）＝
又∵使得xy＜6的有，∵使得xy≥6的有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（3，1）（4，1）
P（小刚胜）＝
∴P（小凡胜）＝P（小刚胜）
所以公平所以游戏是公平的．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角
为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为24.6米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【解答】解：过点E，F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M，N，
∴∠EMB＝∠EMA＝∠ANF＝∠BNF＝90°，
∵EC和FD分别垂直地面于点C和D，
∴∠ECB＝∠FDB＝90°，
∵无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，
∴∠ABD＝90°，
∴四边形ECBM和四边形NBDF均为矩形，
∵点B为CD的中点，
∴CB＝DB＝EM＝FN，
由题意得，EC＝24.6，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣24.6＝35.4，
∵tan∠AEM＝，
∴，
∴，
∴AN＝tan40°×15≈12.6，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝47.4．
答：2号楼的高度约为47.4米．
20．（11分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则
解得：
∴z＝﹣x+19，
∴z关于x的函数解析式为z＝
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40）
＝﹣x2+35x+360
＝﹣（x﹣14）2+605，
因为﹣＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
21．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：∠DEC＝∠BAC；
（2）若AC∥DE，且AD＝，CE＝1时，判断△ABC的形状，并说明理由．（请用两种方法解答）
【解答】（1）证明：连接BD，则∠BDC＝∠BAC，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠ECD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥BD，
∴∠BDC+∠CDE＝∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠BAC．
（2）解：△ABC是等边三角形，
证明方法一：∵AC∥DE，
∴∠DEC＝∠ACB，
由（1）得∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴CB＝AB，＝，
∴BD垂直平分AC，
∴＝，
∴CD＝AD＝，
∵∠ECD＝90°，CE＝1，
∴tan∠DEC＝＝，
∴∠DEC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
证明方法二：设AC交BD于点F，
∵AC∥DE，
∴∠BFC＝∠BDE＝90°，
∵BD是⊙O的直径，且BD⊥AC，
∴＝，＝，
∴CB＝AB，CD＝AD＝，
∵∠ECD＝90°，CE＝1，
∴tan∠DEC＝＝，
∴∠ACB＝∠DEC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
22．（12分）在矩形ABCD中，AD＝AB，E为AD上一点，将△AEB沿BE折叠，得到△FEB．
（1）如图1，若点F恰好在BC边上，点G在CD上，且DG＝DE，连接EG．求证：EG＝CG．
（2）如图2，若点F在矩形ABCD内部，延长EF交BC边于点P，延长BF交CD边于点H，连接DF，且AB＝6，FH＝CH，求证：DF∥EB．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，
由折叠可得：∠ABE＝∠ABC＝45°，∠AEB＝∠BEF＝45°，
设AB＝AE＝a，则DG＝DE＝AD﹣AE＝a﹣a＝（﹣1）a，
在Rt△DEG中，
EG＝DE＝（2﹣）a，
∵CG＝CD﹣DG＝a﹣（﹣1）a＝（2﹣）a，
∴EG＝CG；
（2）连接AF，如图：
根据折叠的性质得∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBP，
∴∠FEB＝∠EBP，
∴BP＝EP，
设FH＝HC＝x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，
∴（6）2+x2＝（6+x）2，
解得x＝3，
∴HC＝3＝FH，
∴DH＝DC﹣HC＝6﹣3＝3，BH＝BF+FH＝9，
∵∠BFP＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠PBF，
∴△BFP∽△BCH，
∴＝＝，即 ＝＝，
∴BP＝，FP＝，
∴EP＝BP＝，
∴EF＝EP﹣FP＝﹣＝3，
∴AE＝EF＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝6﹣3＝3，
∴AE＝EF＝DE＝3，
∴∠EAF＝∠EFA，∠EFD＝∠EDF，
∴∠EAF+∠EDF＝∠EFA+∠EFD＝90°，
∴AF⊥DF．
由折叠可知AF⊥BE，
∴DF∥BE．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5．
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵直线l∥x轴，
∴直线l的解析式为y＝﹣3．
∴x﹣3＝﹣3，
解得x3＝0，x4＝3，
∴D（3，﹣3），
∴CD＝3．
∵点Q（m，y2）在直线l上，
∴y2＝﹣3．
∵y1＝﹣，
∴y1＝，
∵m＜0，点P（m，y1）在该抛物线上，
∴，
解得m＝﹣2或m＝5（舍去）．
∵直线l∥x轴，
∴CQ＝2，
∴DQ＝5，
∴AB＝DQ，AB∥DQ，
∴四边形ABDQ是平行四边形．
（2）∵P，Q两点的横坐标都是m，
∴直线l∥x轴，
∴PQ＝|y1﹣y2|＝|m|，
设OE＝n，则EC＝3﹣n，
∴n（3﹣n）＝2，
解得n＝1或n＝2．
∵OE＜EC，
∴OE＝1，EC＝2．
∵直线l∥x轴，
∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，
∴△AOE∽△QCE，
∴，
∴QC＝2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴PQ＝；
（3）存在．
假设存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．
∵∠BAC+∠ACO＝90°，
∴∠PCQ＝∠ACO．
∵OA＝1，OC＝3，
∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，
连接PQ．
∵直线l∥x轴，直线PQ∥y轴，
∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．
∴tan∠PCQ＝，
①当点P在直线l上方时，PQ＝y1﹣y2＝m，
（i）若点P在y轴左侧，则m＜0，
∴QC＝﹣m．
∴m＝×（﹣m），
解得m1＝0（舍去），m2＝（舍去）．
（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0，
∴QC＝m．
∴m＝m，
解得m3＝0（舍去），m4＝．
∴y1﹣y2＝，
∴y1＝﹣，
∴；
②当点P在直线l下方时，m＞0，
∴QC＝m，PQ＝y2﹣y1＝﹣m，
∴﹣m＝m，
解得m5＝0（舍去），m6＝，
∴y2﹣y1＝，
∴y1＝﹣，
∴．
综上，存在点，，使得∠PCQ与∠BAC互为余角．