2024年河南省商丘市第十一中学中考数学第一次模拟试卷

这是一份2024年河南省商丘市第十一中学中考数学第一次模拟试卷，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如果向东走5米记作+5米，那么﹣3米表示（ ）
A．向东走5米B．向西走5米C．向东走3米D．向西走3米
2．（3分）据国家统计局发布数据显示，2023年末全国人口（包括31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员）60岁及以上人口29697万人，占全国人口的21.1%．数据“29697万”用科学记数法可表示为（ ）
A．2.9697×106B．2.9697×107
C．2.9697×108D．2.9697×109
3．（3分）2024年1月17日22时27分，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，中国航天取得了举世聪目的成就．下列有关中国航天的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．2p﹣1＝（p≠0）
C．（﹣a）3÷（﹣a）2＝aD．（2m）2•3（m2）3＝12m8
5．（3分）河南“小豫米”应邀到哈尔滨观赏冰雕，其中一个“小豫米”从某个角度发现一座冰雕（图①）中隐截着数学问题，建立模型如图②所示，直线AB∥CD，点G在直线AB上，点E在直线CD上，EF平分∠GEC，交AB于点F，若∠EFG＝62°，则∠EGF的度数为（ ）
A．56°B．58°C．60°D．62°
6．（3分）已知a，b，c为常数，点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，则关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
7．（3分）下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）
A．调查全省中学生视力和用眼卫生情况，采用抽样调查
B．企业招聘，对应聘人员进行面试，采用抽样调查
C．检查神舟飞船十七号的各零部件，采用普查
D．了解某品牌新能源电动汽车的磁撞测试效果，采用抽样调查
8．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（ ）
A．28B．30C．32D．16
9．（3分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中OA＝4，OB＝2，若M是这个网格中的格点，连接MA，MB，则所有满足∠AMB＝45°的△MAB中，边MA的长的最大值是（ ）
A．B．6C．D．
10．（3分）如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力C超过36.5%即为及格．则下列说法正确的是（ ）
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越快
C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格
D．除尘能力C的数值越大，表示除尘能力越强
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）不等式组的解集是 ．
12．（3分）计算：＝ ．
13．（3分）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ．
①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；
②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；
③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；
④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点E，以点C为圆心，CB的长为半径画弧交CD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
15．（3分）如图①，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，连接AC，BC．点P从点B出发，沿B→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A．图②是点P运动时，△PAB的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，若△ABC的周长为6，则a＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
17．（9分）中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，为了使七、八年级的同学们了解两会，争做新时代好少年，学校组织两会知识竞赛，满分100分，七、八年级各有200人，现从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行统计，过程如下：
收集数据：
七年级：99，95，95，91，100，86，77，93，85，79
八年级：99，91，97，63，96，97，100，94，87，76
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）你认为哪个年级的学生对两会了解水平较高？请说明理由；
（3）请你估计七、八年级成绩在90分以上的人数共有多少人．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AB上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠BAC的平分线AD交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若以AE为直径的圆O经过点D．求证：直线BC是圆O的切线．
19．（9分）某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶D处测得地标性建筑顶A处的仰角为45°，地标性建筑底部B处的俯角为22°，已知居民楼的高CD约为171米，请你计算地标性建筑AB的高度．（结果精确到1米．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
20．（9分）随着自媒体的快速发展，出现了抖音等多种平台的直播带货销售模式．某水果电商对甲、乙两种水果进行网上销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果x千克，甲种水果的销售额y（元）与x（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲种水果打折前的销售单价和乙种水果的销售单价．
（2）求y与x之间的函数表达式．
（3）若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值是多少？
21．（9分）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5，连接AB．
（1）求出反比例函数的表达式及直线AB的函数表达式；
（2）在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于10？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）根据表格内容，求该二次函数的表达式和m的值；
（2）请在图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出点A（﹣2，0），B（1，3）；
（3）连接AB，若M是线段AB上（不与点A，B重合）的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值．
23．（10分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的.
1．（3分）如果向东走5米记作+5米，那么﹣3米表示（ ）
A．向东走5米B．向西走5米C．向东走3米D．向西走3米
【解答】解：﹣3米表示向西走3米，
故选：D．
2．（3分）据国家统计局发布数据显示，2023年末全国人口（包括31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员）60岁及以上人口29697万人，占全国人口的21.1%．数据“29697万”用科学记数法可表示为（ ）
A．2.9697×106B．2.9697×107
C．2.9697×108D．2.9697×109
【解答】解：29697万＝296970000＝2.9697×108，
故选：C．
3．（3分）2024年1月17日22时27分，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，中国航天取得了举世聪目的成就．下列有关中国航天的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、B、D的图标都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图标能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．2p﹣1＝（p≠0）
C．（﹣a）3÷（﹣a）2＝aD．（2m）2•3（m2）3＝12m8
【解答】解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、（﹣a）3÷（﹣a）2＝﹣a，故C不符合题意；
D、（2m）2•3（m2）3＝12m8，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）河南“小豫米”应邀到哈尔滨观赏冰雕，其中一个“小豫米”从某个角度发现一座冰雕（图①）中隐截着数学问题，建立模型如图②所示，直线AB∥CD，点G在直线AB上，点E在直线CD上，EF平分∠GEC，交AB于点F，若∠EFG＝62°，则∠EGF的度数为（ ）
A．56°B．58°C．60°D．62°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CEF＝∠EFG＝62°，∠EGF＝∠DEG，
∵EF平分∠GEC，
∴∠CEG＝2∠CEF＝124°，
∴∠DEG＝180°﹣124°＝56°，
∴∠EGF＝∠DEG＝56°．
故选：A．
6．（3分）已知a，b，c为常数，点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，则关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【解答】解：∵点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，b＞0，
∴ac＜0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）
A．调查全省中学生视力和用眼卫生情况，采用抽样调查
B．企业招聘，对应聘人员进行面试，采用抽样调查
C．检查神舟飞船十七号的各零部件，采用普查
D．了解某品牌新能源电动汽车的磁撞测试效果，采用抽样调查
【解答】解：A．调查全省中学生视力和用眼卫生情况，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B．企业招聘，对应聘人员进行面试，适合采用全面调查，故本选项符合题意；
C．检查神舟飞船十七号的各零部件，适合采用普查，故本选项不符合题意；
D．了解某品牌新能源电动汽车的磁撞测试效果，适合采用抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（ ）
A．28B．30C．32D．16
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：EC＝2：1，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝＝，
∴S△ADF＝S△DEF＝×4＝6，
∴S△ABF＝S△ADF＝×6＝9，
∴S△ABD＝6+9＝15，
∴▱ABCD的面积＝2S△ABD＝30．
故选：B．
9．（3分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中OA＝4，OB＝2，若M是这个网格中的格点，连接MA，MB，则所有满足∠AMB＝45°的△MAB中，边MA的长的最大值是（ ）
A．B．6C．D．
【解答】解：由∠AMB＝45°，AB为定长，
得点M在如图以O为圆心的圆上运动，
得MA的长的最大值＝直径AM的长＝＝2．
故选：A．
10．（3分）如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫10次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力C超过36.5%即为及格．则下列说法正确的是（ ）
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越快
C．当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格
D．除尘能力C的数值越大，表示除尘能力越强
【解答】解：A、反比例函数的走向是越来越靠近坐标轴，故说法错误，不符合题意；
B、随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，故说法错误，不符合题意；
C、当滚速为1300转/分时，除尘能力为35.5不及格，故说法错误，不符合题意；
D、除尘能力C的数值越大，表示除尘能力越强，正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）不等式组的解集是 x＜ ．
【解答】解：解不等式得：x＜3，
解不等式1﹣2x＞0得：x＜，
∴不等式组的解集为x＜，
故答案为：x＜．
12．（3分）计算：＝ ．
【解答】解：
＝
＝
＝．
故答案为：．
13．（3分）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ②③ ．
①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；
②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；
③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；
④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃．
【解答】解：利用频率估计概率得到实验的概率为，
①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意；
②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为＝，符合题意；
③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意；
④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为＝，不符合题意．
∴符合表格数据的试验可能是②③．
故答案为：②③．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点E，以点C为圆心，CB的长为半径画弧交CD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 13π﹣24 .（结果保留π）
【解答】解：扇形ABE的面积S1＝＝4π，
扇形CBF的面积S2＝＝9π，
矩形ABCD的面积是：S3＝AB•BC＝4×6＝24，
则S阴影＝S2﹣（S3﹣S1）＝9π﹣（24﹣4π）＝13π﹣24．
故答案为：13π﹣24．
15．（3分）如图①，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，连接AC，BC．点P从点B出发，沿B→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A．图②是点P运动时，△PAB的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，若△ABC的周长为6，则a＝ ．
【解答】解：当点P运动到点C处时，x＝a，y＝a，即BC＝a，S△ABC＝a，
∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∴S△ABC＝BC•AC＝a，
∴AC＝2，
∵△ABC的周长为6，
∴AB＝4﹣a，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，即a2+22＝（4﹣a）2，
∴a＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【解答】解：（1）
＝﹣1﹣1+2
＝；
（2），
去分母，得2（x+3）+3（x﹣3）＝7，
整理，得5x﹣3＝7，
∴5x＝10．
∴x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
所以原方程的解为x＝2．
17．（9分）中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，为了使七、八年级的同学们了解两会，争做新时代好少年，学校组织两会知识竞赛，满分100分，七、八年级各有200人，现从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行统计，过程如下：
收集数据：
七年级：99，95，95，91，100，86，77，93，85，79
八年级：99，91，97，63，96，97，100，94，87，76
整理数据：
分析数据：
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ 2 ，b＝ 97 ，c＝ 92 ；
（2）你认为哪个年级的学生对两会了解水平较高？请说明理由；
（3）请你估计七、八年级成绩在90分以上的人数共有多少人．
【解答】解：（1）七年级成绩为70＜x≤80的人数有2人，故a＝2；
八年级的成绩中，97出现的次数最多，故众数b＝97；
七年级的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是91，93，故中位数c＝＝92；
故答案为：2；97；92；
（2）八年级的学生对两会了解水平较好，理由如下：
七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数和众数大于七年级成绩的中位数，八年级的学生对两会了解水平较高；
（3）（人）．
所以七、八年级成绩在90分以上的人数共有260人．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AB上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠BAC的平分线AD交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若以AE为直径的圆O经过点D．求证：直线BC是圆O的切线．
【解答】（1）解：AD即为所求；
（2）证明：设AE的中点为O，
连接OD，
则：OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵D在圆O上，
∴BC是圆的切线．
19．（9分）某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶D处测得地标性建筑顶A处的仰角为45°，地标性建筑底部B处的俯角为22°，已知居民楼的高CD约为171米，请你计算地标性建筑AB的高度．（结果精确到1米．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：CD＝BE＝171米，
在Rt△DBE中，∠BDE＝22°，
∴DE＝≈＝427.5（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
∴AE＝DE•tan45°＝427.5（米），
∴AB＝AE+BE＝427.5+171≈599（米），
∴地标性建筑AB的高度约为599米．
20．（9分）随着自媒体的快速发展，出现了抖音等多种平台的直播带货销售模式．某水果电商对甲、乙两种水果进行网上销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果x千克，甲种水果的销售额y（元）与x（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲种水果打折前的销售单价和乙种水果的销售单价．
（2）求y与x之间的函数表达式．
（3）若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）设甲种水果打折前的售价m元/千克，乙种水果的售价为n元/千克，
则，
解得，
答：甲种水果打折前的售价62元/千克，乙种水果的售价为28元/千克；
（2）当0≤x≤40时，y＝62x；
当x＞40时，y＝40×62+62×0.8（x﹣40）＝49.6x+496，
∴y与x之间的函数表达式为y＝；
（3）设甲种水果销售a（50≤a≤80）千克，则乙种水果销售（120﹣a）千克，销售额为w元，
则w＝49.6a+496+28（120﹣a）＝21.6a+3856，
∵21.6＞0，50≤a≤80，
∴当a＝80时，w有最大值，最大值为5584，
此时120﹣80＝40（千克），
答：电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大，最大值为5584元．
21．（9分）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5，连接AB．
（1）求出反比例函数的表达式及直线AB的函数表达式；
（2）在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于10？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（m，6），B（n，1），
∴OD＝m，OC＝n．
∵DC＝5，
∴n＝m+5，
∴B（m+5，1）．
设反比例函数的表达式为，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式为，A（1，6），B（6，1）．
设直线AB的函数表达式为y＝ax+b（a≠0），
∴，解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+7；
（2）设E（t，0），
∵A（1，6），B（6，1），
∴AD＝6，BC＝1，DE＝t﹣1，CE＝6﹣t，
∴，，．
∵S△ABE＝S梯形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE，且S△ABE＝10，
∴，
解得：t＝3，
∴E（3，0）．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）根据表格内容，求该二次函数的表达式和m的值；
（2）请在图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出点A（﹣2，0），B（1，3）；
（3）连接AB，若M是线段AB上（不与点A，B重合）的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线过（﹣2，0），（0，0），
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣1．
∴顶点为（﹣1，﹣1）．
∴可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣1．
又过（0，0），
∴a﹣1＝0．
∴a＝1．
∴抛物线为y＝（x+1）2﹣1．
∴当x＝﹣3时，y＝4﹣1＝3＝m，即m＝3．
（2）由题意，∵抛物线为y＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线开口向上．
结合表格，作图如下．
（3）由题意，如图．
∵A（﹣2，0），B（1，3），
∴直线AB为y＝x+2．
∵M在线段AB上，
∴故可设M（t，t+2）（﹣2＜t＜1）．
又MN⊥x轴，N在抛物线y＝（x+1）2﹣1＝x2+2x上，
∴N（t，t2+2t）．
∴MN＝t+2﹣（t2+2t）
＝﹣t2﹣t+2
＝﹣（t+）2+．
∴当t＝﹣时，MN取最大值，最大值为．
23．（10分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，
过点G作GN⊥AB交AB于点N，
由题意知，AE＝4，AB＝8，
∵＝，
∴AG＝6，AD＝12，
∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，
∴△AME∽△ANG，
设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，
∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，
GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，
∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．
方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，
∵，AE＝4，AB＝8
∴AG＝6，AD＝12．
∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵，
∴△EAB∽△GAD，
∴∠BEA＝∠AGD，
∴A，E，G，Q四点共圆，
∴∠GQP＝∠PAE＝90°，
∴GD⊥EB，
连接EG，BD，
∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，
∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．试验总次数
100
200
300
500
800
1000
2000
3000
…
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
0.333
…
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
七年级
0
a
2
6
八年级
1
1
1
7
平均数
众数
中位数
七年级
90
95
c
八年级
90
b
95
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
m
0
﹣1
0
3
…
试验总次数
100
200
300
500
800
1000
2000
3000
…
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
0.333
…
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
七年级
0
a
2
6
八年级
1
1
1
7
平均数
众数
中位数
七年级
90
95
c
八年级
90
b
95
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
m
0
﹣1
0
3
…