广西玉林市第十中学（玉林高级中学南校区）2023-2024学年高二下学期期末考试数学复习卷（四）

这是一份广西玉林市第十中学（玉林高级中学南校区）2023-2024学年高二下学期期末考试数学复习卷（四），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．曲线为自然对数的底数）在点处的切线与 轴和轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
3．2024年3月28日小米最新款汽车SU7发布之后，甲、乙两人利用周末时间去附近的小米汽车专卖店免费体验，若当天到场一共10名体验者，由于场地和车辆有限，现要从这10名体验者中选出4人来免费体验，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．桨校组织部分班级参观博物馆，现已安排了5个班级参观，并且已经确定了5个班级的参观顺序，参观前临时增加了2个班级参观博物馆，现将增加的2个班级插入5个班级之间，要求原5个班级顺序不变，插入的班级即不排在首位，也不排在末位，则不同的插入方法数为（ ）
A．12B．18C．20D．60
5．已知函数是定义在R上的函数，命题p：“函数的最小值为3”，则是（ ）
A．对任意，都有 B．存在，使得
C．对任意，都有 D．“‘存在，使得’或 ‘对任意，都有’”
6．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（ ）人，只学习必修一的有（ ）人.
A．9，3B．11，3C．9，12D．3，9
7．下列命题正确的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
B．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的20%分位数不等于原样本数据的20%分位数
C．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的线性相关程度更强
D．若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好
8．如图，某地区计划在等腰的空地中，建设一个有一边在上的矩形花园，已知，则该矩形花园面积的最大值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．若，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量~，则．
B．若随机变量的方差，则．
C．若，，，则事件与事件独立．
D．若随机变量服从正态分布，若，则．
11．下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
12．已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如下：
若回归方程为，则 .
13．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 .
14．已知函数为偶函数，则实数的值为 ．
四、解答题
15．已知，，且.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求的最大值.
16．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
(1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联；
(2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
17．某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
(1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.设，则，.
18．某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响．
(1)求甲的累计得分的分布列和期望；
(2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．
19．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
(2)讨论的单调性.
玉林市第十中学2022级高二（下）数学复习卷（四）参考答案
1．B【详解】因，故，切线方程，令得，
令得，故直角三角形面积.应选：B.
2．C【详解】因为函数是周期为4的周期函数，
所以时，，所以，即，故选：C
3．A【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.
由于一共有10名体验者，而要从中选出4名，故.
而从10名体验者选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名体验者中任意选择2名，故选取方式有种，从而.
故，A正确.故选：A.
4．C【详解】要保持原5个班级顺序不变，并且新插入的2个班级不能在首位也不能在末位，则只需将新加入的2个班级插入原来的5个班级的中间，
新的2个班级分开插入的方法数有：种，新的2个班级捆绑一起再插入的方法数有：种，综上，总的方法数为种.故选:C.
5．D【详解】命题p：“函数的最小值为3”是一个全称命题，故其否定是一个特称命题.
所以是函数的最小值不是3，即“存在，使得”或“对任意，都有”.故选：D.
6．D【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人，则，解得，
即同时学习必修二和选修一的有3人，则只学习必修一的有（人），故选：D.
.
7．ABD【详解】对于A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，A正确；对于B：设原本数据从小到大为，因为，所以原样本数据的20%分位数为，去掉最大值和最小值后剩余数据按从小到大排列为，因为，所以剩下28个数据的20%分位数为，故不一样，B正确；对于C：，故B组数据比A组数据的线性相关程度更强，C错误；对于D：若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好，D正确；
8．C【详解】（方法一）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形，设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点，
设的长度为，的长度为，
则，，，
所以，得，即，
则该矩形花园的面积为，
当时，该矩形花园的面积取得最大值，最大值为．
（方法二）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形，
设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点，
设的长度为，的长度为，
则，，，
所以，得，
则，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该矩形花园面积的最大值为．
故选：C.
9．BC【详解】在中，
对于A，令，得，A错误；对于B，令，得，因此，B正确；对于C，令，得，则，C正确；对于D，令，得，则，D错误.故选：BC
10．ACD【详解】随机变量，则，故A正确；
随机变量的方差，则，故B错误；
由，即事件与事件独立，故C正确；
随机变量服从正态分布，，
则，故D正确．故选：ACD．
11．AC【详解】对于A，由，，知，得，故A正确；
对于B，当时，故B错误；对于C，当时，由，得，
又，则，故有，故C正确；
对于D，当，时，，D中不等式不一定成立，故D错误．
12．2【详解】，，
因为回归方程为，所以，解得.故答案为:2
13．【详解】根据题意可知函数在上单调递增，
且函数在上单调递增；又函数在上是增函数，
需满足，解得；所以的取值范围是.故答案为：.
14．-1【详解】因为函数定义域为，令，则，
故，知为奇函数，由于为偶函数，则函数为奇函数，即，解得．故答案为：．
15．【详解】（1）由，得，又，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8；
（2）由恒成立，得恒成立，
又，所以，
由（1）可知，所以，
当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4.
16．【详解】（1）完善二联表如下：
零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则，
故依据的独立性检验，没有充足证据推断不成立，
因此可以认为成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联；
（2）喜欢增加体育运动时间的人数有300人，故喜欢增加体育运动时间的概率为
依题意，，，
，，
，
故X的分布列为：
则.
17．【详解】（1）根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得：
，，
设，则，所以，
则，.
所以，回归方程为.
（2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为.
因为，所以回归方程拟合效果符合要求.
18．【详解】（1）由题意知：甲累计得分的可能取值有：，
所以，，
，，，
，的分布列为：
.
（2）法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖，
由（1）知：甲获奖的概率为，
乙获奖的概率为：，
乙只得70分的概率为：，
所以甲、乙两人同时获奖的概率为：，
甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：，
所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：.
法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为：.
19．【详解】（1）因为，所以.
由，得曲线在点处的切线方程为，即，则，解得，
（2）.
若，则当时，，当时，.
若，则当时，，
当时，.
若，则在上恒成立.
若，则当时，，当时，.
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
x
0
1
2
3
4
y
1
2a
5
7
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
年收入（千元）
59
61
64
68
73
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
总计
初中生
160
40
200
高中生
140
60
200
总计
300
100
400
X
0
1
2
3
4
P
0
30
40
60
70
100