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初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定同步达标检测题
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这是一份初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定同步达标检测题，共73页。试卷主要包含了全等三角形的判定条件，灵活运用全等判定定理，线段的垂直平分线，角平分线的性质定理等内容，欢迎下载使用。
知识点01：全等三角形的判定
1、全等三角形的判定条件
SSS——三边对应相等的两个三角形全等；
SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等；
ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等；
AAS—— 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
问题：为什么SSA不可以判定？
HL——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
用符号≌表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
【即学即练1】（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）
1．如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在 的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长就是的长．判定的理由是（ ）
A．B．C．D．
知识点02：灵活运用全等判定定理
2、灵活运用全等判定定理
（1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性.
（2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等.
（3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.
已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等（AAS）
已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等（SAS） ②第三组边也相等（SSS）
已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等（AAS 或 ASA） ②夹等角的另一组边相等（SAS）
【即学即练2】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）
2．根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，
知识点03：垂直平分线
3、线段的垂直平分线（中垂线）：垂直并平分一条线段的直线.
中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等.
逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
【即学即练3】（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）
3．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A．B．C．5D．
知识点04：角平分线
4、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【即学即练4】（2022秋·浙江·八年级专题练习）
4．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．
A．B．C．D．
题型01 用SSS证明三角形全等
（2023春·七年级课时练习）
5．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
（2023秋·全国·八年级专题练习）
6．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
（2023春·全国·七年级专题练习）
7．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．
求证：．
题型02 全等的性质与SSS结合
（2023春·四川成都·七年级统考期末）
8．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·山东菏泽·八年级校联考期末）
9．如图，在和中，，，，则的度数为 ．
（2023春·山东济南·七年级统考期中）
10．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)求证：．
题型03 用SAS证明三角形全等
（2023秋·全国·八年级专题练习）
11．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
12．如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
（2023春·河南许昌·七年级统考期末）
13．如图，，，，与全等吗？请你说出理由．
题型04 全等的性质与SAS结合
（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）
14．如图所示，，，，B、D、E三点在一条直线上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）
15．如图，中，，，的垂直平分线交于E，D，连接，则 ．
（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）
16．如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
题型05 用ASA（AAS）证明三角形全等
（2023秋·全国·八年级专题练习）
17．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·重庆江北·七年级校考期中）
18．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为 ．
（2023秋·江苏·八年级专题练习）
19．已知：如图，在中，H是高和的交点，且．求证：．
题型06 全等的性质与ASA（AAS）结合
（2023春·福建三明·七年级统考期中）
20．如图所示，点在线段上，，，则以下三个结论“①；②；③”中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2023·陕西榆林·统考模拟预测）
21．如图，在中，，过点作的垂线，连接．若，，，，则的长为 ．
（2023春·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）
22．如图，在四边形中，点E为对角线上一点，，，且．
(1)证明：；
(2)若，，求的长度．
题型07 添加添加使三角形全等
（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）
23．如图，，．添加下列的一个选项后．仍然不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·河南郑州·八年级校考期中）
24．如图，已知，要使，只需增加的一个条件是 或 ．
（2023·云南昭通·校考三模）
25．如图，与相交于点，，请你再添加一个条件，使得，并给出证明．（不得添加辅助线）
题型08 角平分线的性质定理
（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试）
26．如图，在中，，的平分线交于点D，，则点D到的距离是（ ）
A．6B．2C．3D．4
（2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）
27．如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为7，，，则 ．
（2023秋·浙江·八年级专题练习）
28．如图，在四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线．
题型09 垂直平分线的性质定理
（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）
29．如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是
A．B．C．D．
（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）
30．如图，是的边的垂直平分线，分别交，于点D，E，平分．若，则________．
（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）
31．如图，在中，平分的垂直平分线交于点E．若，求的度数和的长度．
题型10 倍长中线模型
（2023春·七年级课时练习）
32．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·江苏·八年级假期作业）
33．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ．
（2023春·全国·七年级专题练习）
34．（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围；
（2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
题型11 旋转模型
（2023·全国·八年级假期作业）
35．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．AD平分
（2023·全国·八年级假期作业）
36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
（2023·江苏·八年级假期作业）
37．如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明）
（1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；
（2）若图④中和交于点，连接，求证：平分．
题型12 全等三角形的综合问题
（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）
38．如图，，，，点、、三点在一条直线上，，，则度数为（ ）．
A．B．C．D．
（2023春·广东深圳·七年级校考期中）
39．如图，中，，，，点从点出发沿路径运动，终点为点；点从点出发沿路径运动，终点为点．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动．若分别过点和作于，于．当与全等时，点的运动时间为 ．
（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）
40．如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．
(1)如果，，
①当点D在线段 (不含端点)上时，如图1，则线段与的位置关系是_____
②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立?并说明理由．
(2)如果，是锐角，点D在线段 (不含端点)上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由．
A夯实基础
（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）
41．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．两个锐角对应相等B．面积相等
C．一条边对应相等D．斜边及一条直角边对应相等
（2023秋·河南开封·八年级校考期末）
42．如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）
43．如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（ ）
A．距离A较近B．距离B较近
C．距离C较近D．与A，B，C三点的距离相同
（2023秋·江苏·八年级专题练习）
44．如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．可证明，从而得到，则测得的长就是两点A，B的距离．判定的依据是（ ）
A．“边边边”B．“角边角”C．“角角边”D．“边角边”
（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）
45．如图，要测量池塘两岸相对的两点、间的距离，作线段与相交于点，使，，只要测得、之间的距离，就可知道、间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是 ．
（2023春·山西晋中·七年级校考阶段练习）
46．已知：如图，，、分别是、边上的中线．证明：．
证明的途径可以用框图表示，请填写其中的空格．
①___________ ②___________ ③___________ ④___________
（2023秋·八年级课时练习）
47．如图，在中，，平分交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长度为 ．
（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）
48．如图，点 D，E 分别在线段上，且，若要用“”判定，则还需要添加的条件是 （只需要添加一个条件）；
（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）
49．如图，已知：与交于点O，，.求证：（规范证明过程）
证明：在和中，
，
∴（ ），
∴（ ）．
（2023春·陕西汉中·七年级校考阶段练习）
50．如图，工人赵师傅用块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知，．求的长．
B能力提升
（2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）
51．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）
52．如图，在与中，已知，还添加一个条件才能使，下列不能添加的条件是（ ）．
A．B．C．D．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
53．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·陕西西安·七年级校考期末）
54．如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为16，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
（2023秋·全国·八年级专题练习）
55．如图，是的角平分线，，，且，则的面积是 ．
（2023春·辽宁丹东·八年级统考期中）
56．如图，过点作于点，于点，若，，则的度数是 ．
（2023春·山东青岛·七年级统考期末）
57．如图，点E，F在上，，，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使得≌，你添加的条件是 ．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
58．如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使．从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量的长为28米，则A、B两点之间的距离为 米．
（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）
59．如图，在中，，为的中点，，，垂足分别是，，试说明：．
（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）
60．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求∠CDE的度数．
C综合素养
（2023春·山东青岛·七年级统考期末）
61．如图，王华站在河边的处，在河对面(王华的正北方向)的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达电线杆处，接着再向前走了步到达处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔、电线杆与所处位置在一条直线上时，他共计走了步．若王华步长约为米，则处与电线塔的距离约为( )
A．米B．米C．米D．米
（2023秋·全国·八年级专题练习）
62．如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2023春·陕西西安·七年级校考期末）
63．如图，已知的周长是18，，分别平分和，于D，且，则的面积是（ ）
A．6B．9C．18D．36
（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）
64．如如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
（2023春·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）
65．如图，四边形中，，于，，，则的面积是 ．
（2023春·辽宁沈阳·七年级统考阶段练习）
66．如图，是的角平分线，于点F，和互补，若，，则的面积为 ．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
67．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动 秒后，与全等．
（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）
68．如图，中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则的值为 ．
（2023春·山东青岛·七年级统考期末）
69．已知：如图①，，，点C是上一点，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由；
(3)图②中，若，，求四边形的面积．
（2023·重庆·九年级统考学业考试）
70．如图，是等腰直角三角形，其中，点是内部任意一点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交于点．
(1)求证：；
(2)如图，连接，求证：；
(3)如图，若于点，且，点是线段上一个动点，连接，将沿所在的直线翻折得到，连接，当取得取小值时，直接写出的值．
课程标准
学习目标
1.三角形全等的4个判断方法；
2.了解倍长中线模型、旋转模型；
1、掌握三角形全等的判定条件——SSS，SAS，ASA，AAS；
2、会运用三角形全等的判定方法、线段的中垂线性质，解决两条线段相等、两个角相等的问题.
题干：……，求证：．
证明：在和中，，
∴．
参考答案：
1．B
【分析】由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定．
【详解】解：，,
,
又，,
（）
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形的三边关系以及确定三角形的条件、、、、，即可判断．
【详解】解：A．因为，所以不能构成三角形，则此项不符合题意；
B．满足定理，所以能唯一画出，则此项符合题意；
C．不是和的夹角，所以不能唯一画出，则此项不符合题意；
D．因为两个锐角的大小不确定，所以不能唯一画出，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、三角形的三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
3．A
【分析】根据三角形的内角和定理得到，再根据完全平方公式，勾股定理和三角形面积公式计算即可得解；
【详解】解：边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，
,
,
，
又
，
,
的周长为9，，
，
，
，
，
,
，
故选择：A
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
4．C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，
由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是20，30，40，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
5．C
【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°．
【详解】解：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF=DE
又∵AD＝BC，AE＝CF．
∴△AED≌△CFB（SSS），
∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70°
∴∠BCF＝70°．
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识．
6．3
【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．
【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为3．
7．见解析
【分析】要证明，把两角置于三角形中，证两三角形全等，由已知观察由AE=CF可得 AF=CE，利用三边对应相等的判定即可．
【详解】证明：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的证明问题，关键是会从条件AE=CF中，证出AF=CE，掌握全等的证明方法，会按要求书写证明过程．
8．B
【分析】证明得到，则可由三角形内角和定理求出．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
9．
【分析】根据全等三角形的判定定理，可证得，再根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，推出，，计算即可求得的度数．
【详解】如下图，连接，
在和中，
，
，
， ，
，
即，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，由此可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
11．B
【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．
【详解】解：∵正方形
∴
在和中，
，
∴
∴
∵平分
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．##35度
【分析】连接，则垂直平分，可得，再证明，即可得到．
【详解】连接，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到是的垂直平分线再想到证明是解题的关键．
13．与全等，理由见解析．
【分析】由证明，然后利用证明即可．
【详解】解：与全等．
理由：因为，
所以，
即．
在与中，
所以．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
14．A
【分析】由可得，从而证得，再由，得到，由全等的性质可以得到．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，解决本题的关键是利用题干信息证得．
15．##度
【分析】先根据垂线平分线的定义得到，进而证明得到，则由三角形外角的性质可得．
【详解】解：∵的垂直平分线交于E，D，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意，由证明即可；
（2）由得，由三角形的外角性质即可求得结果．
【详解】（1）证明：，
，
在和中：，
∴，
．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，证明两个三角形全等是解题的关键．
17．C
【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
18．110
【分析】根据，可得，再利用求证和全等即可．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：110．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19．见解析
【分析】先证出，再由证明即可．
【详解】证明：∵和是的高，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．
20．D
【分析】证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，；故①③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等．
21．
【分析】根据题意可证，由此可得，，根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由平行得，由求证三角形全等；
（2）由全等三角形得，，进而求得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的长度为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；由全等三角形得到线段相等是解题的关键．
23．A
【分析】结合题目条件，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
A、添加，由不能判定三角形全等，本选项符合题意；
B、添加，根据，可以推出，本选项不符合题意；
C、添加，根据，可以推出，本选项不符合题意．
D、添加，即，根据，可以推出，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
24．
【分析】两个三角形已经具备与公共边，故只需要添加两条边的夹角或第三条边相等即可．
【详解】解：在和中，
因为，，
所以若添加，则可根据边角边证明；
若添加，则可根据边边边证明；
故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知一般三角形常见的几种判定方法（）是关键．
25．，证明见解析
【分析】根据题意可以知道证明两三角形全等已经具备了一个条件，然后再找到一个条件即可；选择任意的一个条件利用三角形的判定定理证明两个三角形全等即可．
【详解】解：条件：，
证明：在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
26．C
【分析】如图，过作于，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得即可．
【详解】解：如图，过作于，
∵，的平分线交于点D，，
∴，
∴点D到的距离是3；
故选C．
【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到的距离即为长是解决的关键．
27．3
【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，求出，得出，根据三角形面积公式得出，求出结果即可．
【详解】解：过点D作于点F，如图所示：
∵是角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为7，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
28．见解析
【分析】过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，证明，可得，根据角平分线的性质定理可得，从而得到，再由角平分线的性质的逆定理，即可求解．
【详解】证明：过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，
∵，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
又，
∴是的平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
29．C
【分析】由中，边的垂直平分线分别交、于点、，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
30．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
31．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可得出的度数，再由直角三角形的性质即可得出的长．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
32．B
【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题．
【详解】解：延长至点，使得，
在和中，
，
，
，
中，，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．
33．
【分析】延长至，使，连接，证明，进而根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了倍长中线，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
34．（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析
【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围；
（2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论．
【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，
在和中，
∴(SAS)，
∴DE=MF=3，
∵DF-MF＜DM＜DF+MF，
∴7-3＜DM＜7+3，
即4＜DM＜10，
∵，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
（2）AD=CD+AB，理由如下：
解：延长AE，DC相交于点F，
∵，
∴∠BAE=∠F，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
在和中，
∴（AAS），
∴AB=CF，
∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=FD，
∵FD=CD+CF，CF=AB，
∴AD=CD+AB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线．
35．B
【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为且两个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明．
【详解】解：
A、由旋转的性质可知：，故A正确，不符合题意；
B、由绕旋转任意角度得到，
只是特殊情况，故B错误，符合题意；
C、，，
，，
，故C正确，不符合题意；
D、过分别作的垂线，垂直分别是，
，，；
，，
，
平分，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断．
36．3
【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
37．（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用SAS证出△DCA≌△ECB，即可证出结论；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，利用SAS证出△DCA≌△ECB，从而得出CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论．
【详解】解：（1）相等，证明图②如下
∵
∴
∴
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB
∴；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N
∵
∴
∴
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB
∴CM=CN
∵CM⊥AD，CN⊥BE
∴平分
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键．
38．B
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形的外角．
39．或或
【分析】根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解．
【详解】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，在上，在上，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
②如图2，在上，在上，则，，
由①知：，
∴，
∴；
∵此时，
∴此种情况不符合题意；
③当都在上时，如图3，
，
∴；
④当到点停止，在上时，，
∴时，解得；
⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒，
∴，，
∵，
∴和都在上的情况不存在；
综上所述，点运动或或秒时，与全等．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的变换，理解动点运动的规律，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
40．(1)①；②、①中的结论仍然成立，详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）①根据正方形的性质得出，再证明，得出，进而可得出结论；②先证明，再证明，得出，进而可得出结论；
（2）当时，，作，先证明，再得出，证明，得出，进而可得出结论．
【详解】（1）①正方形中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：；
②、①中的结论仍然成立，证明如下：
∵，
∴，.即，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）当时，，
作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键．
41．D
【分析】通过可证两个直角三角形全等．
【详解】解：A：两个锐角对应相等的直角三角形不一定全等，故A错误；
B：面积相等的直角三角形不一定全等，故B错误；
C：一条边对应相等的直角三角形不一定全等，故C错误；
D：由判定定理可知，斜边及一条直角边对应相等的直角三角形一定全等，故D正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定．掌握定理内容是解题关键．
42．D
【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．
【详解】解：∵，即运用的是“角边角”的证明方法，且，，
∴当时，即可运用“角边角”证明，
故选：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
43．D
【分析】根据垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
又∵超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，
∴超市与A，B，C三点的距离相同，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
44．D
【分析】利用证明即可求解．
【详解】解：由题意知，
且（对顶角相等），
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
45．
【分析】根据证明即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
46．，，，．
【分析】根据三角形全等的性质可知：，，，再根据中线的性质，可求得，最后根据三角形全等判定定理，可求得，进而得出．
【详解】解：，
，，．
，分别是，边上的中线，
，．
．
在和中，
．
．
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定定理之一（两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等），熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
47．9
【分析】利用角平分线的性质求解，即可得到答案．
【详解】解：平分，，，
，
，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
48．（答案不唯一）
【分析】“”即为边角边，根据题意已经有，，因此只需要令即可．
【详解】解：由题意得，，，
要用“”判定，则只需要条件即可，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
49．，（公共边），，全等三角形对应角相等
【分析】利用判定及性质证明即可．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，（公共边），，全等三角形对应角相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定定理是解题的关键．
50．
【分析】用证明，则，，即可得到的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
在与中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
51．C
【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质得，再根据菱形的性质证明≌，进而得出，可知，然后根据等腰三角形的性质得，进而得出答案．
【详解】连接．
∵是的垂直平分线，
∴．
∵，且菱形具有轴对称性，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
∵，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键．
52．B
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案．
【详解】解：∵在和中，，，
A、添加，则可依据证明，故该选项不符合题意；
B、添加，依据不能证明，故该选项不符合题意；
C、添加，则可依据证明，故该选项符合题意；
D、添加，则可依据证明，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：，，，，，并熟练应用解决问题是解题的关键．
53．C
【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
54．B
【分析】延长交于点，证明可得，再利用三角形的中线可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，延长交于点，
是的平分线，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
，
，（等底同高），
，
又的面积为，
，即，
解得，
即的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，证明是解题的关键．
55．12
【分析】过点D作于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然根据的面积列式求出的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作于E，于F，
∵是的一条角平分线，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，作辅助线是利用角平分线的性质的关键，也是本题难点．
56．##度
【分析】根据，，，可得为的角平分线．
【详解】∵，，，
∴为的角平分线．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键．
57．或或
【分析】本题要判定≌，已知，由可得，那么只需添加一个条件即可．添边可以是或添角可以是或．
【详解】解：所添加条件为：或或，
∵，
∴，
即，
添加：，
在和中，
，
∴≌；
添加：，
在和中，
，
∴≌
添加：，
在和中，
，
∴≌．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
58．28
【分析】由垂直的定义得，根据ASA证明，得出米即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴米．
故答案为：28．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
59．见解析
【分析】由等腰三角形的性质得出，由垂线的性质可证得，由证明，得出对应边相等即可．
【详解】证明：，
，
，
，
为的中点，
在与中，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用证明三角形全等的方法是解决问题的关键．
60．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
61．A
【分析】设王华走了步时到达点处，则、、三点在同一条直线上，连接，则点在上，，证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，设王华走了步时到达点处，则、、三点在同一条直线上，
连接，则点在上，，
由题意得：步，步，，
，
解得，
米，
米，
在和中，
，
，
，
米，
处与电线塔的距离约为米，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理的应用，根据题意构造出相应的全等三角形是解题的关键．
62．D
【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【详解】解：∵D为的中点，
∴，
又∵为公共边
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，即，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
63．C
【分析】由角平分线的性质得到，由的面积的面积的面积的面积，得到的面积，由的周长，，即可求出的面积．
【详解】解：过O作于M，于N，
∵，分别平分和，
∴，，
∵的面积的面积的面积的面积，
∴的面积，
∵的周长，，
∴的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到的面积．
64．A
【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；
②证明，推出，再证明，推出即可判定；
③，即可证明；
④可以证明，据此即可判定；
⑤由，利用等高模型即可判定．
【详解】解：在中，，
，
又、分别平分、，
，，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
，
在和中，，
，
，，，
，
在△APH和△FPD中，
，
，
，
，故②正确；
，，
，，，
，
，
，即；故③正确；
，
，即，故⑤正确；
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④⑤，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
65．12.5
【分析】作，然后根据题目中的条件和图形，可以证明，从而可以得到和的关系，然后根据三角形的面积计算公式即可解答本题．
【详解】解：作于点，则，
，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
的面积为：．
故答案为：12.5
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
66．9
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，再证明，，根据全等三角形的性质进一步即可求出的面积．
【详解】解：过点D作于点H，如图所示：
∵是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和互补，即，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键．
67．6
【分析】设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：∵于A，于，
∴，
设运动x秒钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
①若，则，
∴，，
∴，
∴；
②若，则，
解得：，
∴，
此时与不全等；
综上所述：运动6秒钟后与全等；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
68．
【分析】延长、相交于点，由角平分线的性质可得，利用证明，得到，根据同角的余角相等得到，通过证明，得到，从而即可得到答案．
【详解】解：如图，延长、相交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键．
69．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)9
【分析】（1）根据条件证明可得出，就可以得出；
（2）根据可以得出，从而得出结论．
（3）根据可求的面积，根据可求的面积，最后利用的面积减去的面积即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
理由：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
由平移知（2）中和（1）全等，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
70．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）证明，根据全等三角形的性质即可求证；
（）过作交于点，证明，再利用等腰直角三角形和全等三角形的性质即可；
（）根据题意可知：点在以为圆心，为半径的半圆上，且当点，，三点共线时，最小，再由勾股定理可求．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）如图，过作交于点，
同（）理：，
由（）得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
（3）如图，根据题意可知：点在以为圆心，为半径的半圆上，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，
由（）得：，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
当点，，三点共线时，最小，
∴，，
在中，由勾股定理得．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定及其应用．
知识点01：全等三角形的判定
1、全等三角形的判定条件
SSS——三边对应相等的两个三角形全等；
SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等；
ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等；
AAS—— 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
问题：为什么SSA不可以判定？
HL——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
用符号≌表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
【即学即练1】（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）
1．如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在 的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长就是的长．判定的理由是（ ）
A．B．C．D．
知识点02：灵活运用全等判定定理
2、灵活运用全等判定定理
（1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性.
（2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等.
（3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.
已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等（AAS）
已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等（SAS） ②第三组边也相等（SSS）
已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等（AAS 或 ASA） ②夹等角的另一组边相等（SAS）
【即学即练2】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）
2．根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，
知识点03：垂直平分线
3、线段的垂直平分线（中垂线）：垂直并平分一条线段的直线.
中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等.
逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
【即学即练3】（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）
3．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，的周长为9.若，，则的面积为（ ）
A．B．C．5D．
知识点04：角平分线
4、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【即学即练4】（2022秋·浙江·八年级专题练习）
4．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．
A．B．C．D．
题型01 用SSS证明三角形全等
（2023春·七年级课时练习）
5．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
（2023秋·全国·八年级专题练习）
6．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
（2023春·全国·七年级专题练习）
7．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．
求证：．
题型02 全等的性质与SSS结合
（2023春·四川成都·七年级统考期末）
8．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·山东菏泽·八年级校联考期末）
9．如图，在和中，，，，则的度数为 ．
（2023春·山东济南·七年级统考期中）
10．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)求证：．
题型03 用SAS证明三角形全等
（2023秋·全国·八年级专题练习）
11．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
12．如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
（2023春·河南许昌·七年级统考期末）
13．如图，，，，与全等吗？请你说出理由．
题型04 全等的性质与SAS结合
（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）
14．如图所示，，，，B、D、E三点在一条直线上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）
15．如图，中，，，的垂直平分线交于E，D，连接，则 ．
（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）
16．如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
题型05 用ASA（AAS）证明三角形全等
（2023秋·全国·八年级专题练习）
17．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·重庆江北·七年级校考期中）
18．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为 ．
（2023秋·江苏·八年级专题练习）
19．已知：如图，在中，H是高和的交点，且．求证：．
题型06 全等的性质与ASA（AAS）结合
（2023春·福建三明·七年级统考期中）
20．如图所示，点在线段上，，，则以下三个结论“①；②；③”中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2023·陕西榆林·统考模拟预测）
21．如图，在中，，过点作的垂线，连接．若，，，，则的长为 ．
（2023春·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）
22．如图，在四边形中，点E为对角线上一点，，，且．
(1)证明：；
(2)若，，求的长度．
题型07 添加添加使三角形全等
（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）
23．如图，，．添加下列的一个选项后．仍然不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·河南郑州·八年级校考期中）
24．如图，已知，要使，只需增加的一个条件是 或 ．
（2023·云南昭通·校考三模）
25．如图，与相交于点，，请你再添加一个条件，使得，并给出证明．（不得添加辅助线）
题型08 角平分线的性质定理
（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试）
26．如图，在中，，的平分线交于点D，，则点D到的距离是（ ）
A．6B．2C．3D．4
（2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）
27．如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为7，，，则 ．
（2023秋·浙江·八年级专题练习）
28．如图，在四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线．
题型09 垂直平分线的性质定理
（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）
29．如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是
A．B．C．D．
（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）
30．如图，是的边的垂直平分线，分别交，于点D，E，平分．若，则________．
（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）
31．如图，在中，平分的垂直平分线交于点E．若，求的度数和的长度．
题型10 倍长中线模型
（2023春·七年级课时练习）
32．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·江苏·八年级假期作业）
33．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ．
（2023春·全国·七年级专题练习）
34．（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围；
（2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
题型11 旋转模型
（2023·全国·八年级假期作业）
35．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．AD平分
（2023·全国·八年级假期作业）
36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
（2023·江苏·八年级假期作业）
37．如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明）
（1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；
（2）若图④中和交于点，连接，求证：平分．
题型12 全等三角形的综合问题
（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）
38．如图，，，，点、、三点在一条直线上，，，则度数为（ ）．
A．B．C．D．
（2023春·广东深圳·七年级校考期中）
39．如图，中，，，，点从点出发沿路径运动，终点为点；点从点出发沿路径运动，终点为点．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动．若分别过点和作于，于．当与全等时，点的运动时间为 ．
（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）
40．如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．
(1)如果，，
①当点D在线段 (不含端点)上时，如图1，则线段与的位置关系是_____
②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立?并说明理由．
(2)如果，是锐角，点D在线段 (不含端点)上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由．
A夯实基础
（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）
41．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．两个锐角对应相等B．面积相等
C．一条边对应相等D．斜边及一条直角边对应相等
（2023秋·河南开封·八年级校考期末）
42．如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）
43．如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（ ）
A．距离A较近B．距离B较近
C．距离C较近D．与A，B，C三点的距离相同
（2023秋·江苏·八年级专题练习）
44．如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．可证明，从而得到，则测得的长就是两点A，B的距离．判定的依据是（ ）
A．“边边边”B．“角边角”C．“角角边”D．“边角边”
（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）
45．如图，要测量池塘两岸相对的两点、间的距离，作线段与相交于点，使，，只要测得、之间的距离，就可知道、间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是 ．
（2023春·山西晋中·七年级校考阶段练习）
46．已知：如图，，、分别是、边上的中线．证明：．
证明的途径可以用框图表示，请填写其中的空格．
①___________ ②___________ ③___________ ④___________
（2023秋·八年级课时练习）
47．如图，在中，，平分交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长度为 ．
（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）
48．如图，点 D，E 分别在线段上，且，若要用“”判定，则还需要添加的条件是 （只需要添加一个条件）；
（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）
49．如图，已知：与交于点O，，.求证：（规范证明过程）
证明：在和中，
，
∴（ ），
∴（ ）．
（2023春·陕西汉中·七年级校考阶段练习）
50．如图，工人赵师傅用块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知，．求的长．
B能力提升
（2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）
51．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）
52．如图，在与中，已知，还添加一个条件才能使，下列不能添加的条件是（ ）．
A．B．C．D．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
53．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·陕西西安·七年级校考期末）
54．如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为16，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
（2023秋·全国·八年级专题练习）
55．如图，是的角平分线，，，且，则的面积是 ．
（2023春·辽宁丹东·八年级统考期中）
56．如图，过点作于点，于点，若，，则的度数是 ．
（2023春·山东青岛·七年级统考期末）
57．如图，点E，F在上，，，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使得≌，你添加的条件是 ．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
58．如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使．从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量的长为28米，则A、B两点之间的距离为 米．
（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）
59．如图，在中，，为的中点，，，垂足分别是，，试说明：．
（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）
60．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求∠CDE的度数．
C综合素养
（2023春·山东青岛·七年级统考期末）
61．如图，王华站在河边的处，在河对面(王华的正北方向)的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达电线杆处，接着再向前走了步到达处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔、电线杆与所处位置在一条直线上时，他共计走了步．若王华步长约为米，则处与电线塔的距离约为( )
A．米B．米C．米D．米
（2023秋·全国·八年级专题练习）
62．如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2023春·陕西西安·七年级校考期末）
63．如图，已知的周长是18，，分别平分和，于D，且，则的面积是（ ）
A．6B．9C．18D．36
（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）
64．如如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
（2023春·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）
65．如图，四边形中，，于，，，则的面积是 ．
（2023春·辽宁沈阳·七年级统考阶段练习）
66．如图，是的角平分线，于点F，和互补，若，，则的面积为 ．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
67．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动 秒后，与全等．
（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）
68．如图，中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则的值为 ．
（2023春·山东青岛·七年级统考期末）
69．已知：如图①，，，点C是上一点，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由；
(3)图②中，若，，求四边形的面积．
（2023·重庆·九年级统考学业考试）
70．如图，是等腰直角三角形，其中，点是内部任意一点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交于点．
(1)求证：；
(2)如图，连接，求证：；
(3)如图，若于点，且，点是线段上一个动点，连接，将沿所在的直线翻折得到，连接，当取得取小值时，直接写出的值．
课程标准
学习目标
1.三角形全等的4个判断方法；
2.了解倍长中线模型、旋转模型；
1、掌握三角形全等的判定条件——SSS，SAS，ASA，AAS；
2、会运用三角形全等的判定方法、线段的中垂线性质，解决两条线段相等、两个角相等的问题.
题干：……，求证：．
证明：在和中，，
∴．
参考答案：
1．B
【分析】由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定．
【详解】解：，,
,
又，,
（）
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形的三边关系以及确定三角形的条件、、、、，即可判断．
【详解】解：A．因为，所以不能构成三角形，则此项不符合题意；
B．满足定理，所以能唯一画出，则此项符合题意；
C．不是和的夹角，所以不能唯一画出，则此项不符合题意；
D．因为两个锐角的大小不确定，所以不能唯一画出，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、三角形的三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
3．A
【分析】根据三角形的内角和定理得到，再根据完全平方公式，勾股定理和三角形面积公式计算即可得解；
【详解】解：边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，
,
,
，
又
，
,
的周长为9，，
，
，
，
，
,
，
故选择：A
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
4．C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，
由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是20，30，40，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
5．C
【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°．
【详解】解：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF=DE
又∵AD＝BC，AE＝CF．
∴△AED≌△CFB（SSS），
∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70°
∴∠BCF＝70°．
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识．
6．3
【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．
【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为3．
7．见解析
【分析】要证明，把两角置于三角形中，证两三角形全等，由已知观察由AE=CF可得 AF=CE，利用三边对应相等的判定即可．
【详解】证明：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的证明问题，关键是会从条件AE=CF中，证出AF=CE，掌握全等的证明方法，会按要求书写证明过程．
8．B
【分析】证明得到，则可由三角形内角和定理求出．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
9．
【分析】根据全等三角形的判定定理，可证得，再根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，推出，，计算即可求得的度数．
【详解】如下图，连接，
在和中，
，
，
， ，
，
即，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，由此可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
11．B
【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．
【详解】解：∵正方形
∴
在和中，
，
∴
∴
∵平分
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．##35度
【分析】连接，则垂直平分，可得，再证明，即可得到．
【详解】连接，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到是的垂直平分线再想到证明是解题的关键．
13．与全等，理由见解析．
【分析】由证明，然后利用证明即可．
【详解】解：与全等．
理由：因为，
所以，
即．
在与中，
所以．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
14．A
【分析】由可得，从而证得，再由，得到，由全等的性质可以得到．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，解决本题的关键是利用题干信息证得．
15．##度
【分析】先根据垂线平分线的定义得到，进而证明得到，则由三角形外角的性质可得．
【详解】解：∵的垂直平分线交于E，D，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意，由证明即可；
（2）由得，由三角形的外角性质即可求得结果．
【详解】（1）证明：，
，
在和中：，
∴，
．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，证明两个三角形全等是解题的关键．
17．C
【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
18．110
【分析】根据，可得，再利用求证和全等即可．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：110．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19．见解析
【分析】先证出，再由证明即可．
【详解】证明：∵和是的高，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．
20．D
【分析】证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，；故①③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等．
21．
【分析】根据题意可证，由此可得，，根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由平行得，由求证三角形全等；
（2）由全等三角形得，，进而求得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的长度为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；由全等三角形得到线段相等是解题的关键．
23．A
【分析】结合题目条件，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
A、添加，由不能判定三角形全等，本选项符合题意；
B、添加，根据，可以推出，本选项不符合题意；
C、添加，根据，可以推出，本选项不符合题意．
D、添加，即，根据，可以推出，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
24．
【分析】两个三角形已经具备与公共边，故只需要添加两条边的夹角或第三条边相等即可．
【详解】解：在和中，
因为，，
所以若添加，则可根据边角边证明；
若添加，则可根据边边边证明；
故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知一般三角形常见的几种判定方法（）是关键．
25．，证明见解析
【分析】根据题意可以知道证明两三角形全等已经具备了一个条件，然后再找到一个条件即可；选择任意的一个条件利用三角形的判定定理证明两个三角形全等即可．
【详解】解：条件：，
证明：在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
26．C
【分析】如图，过作于，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得即可．
【详解】解：如图，过作于，
∵，的平分线交于点D，，
∴，
∴点D到的距离是3；
故选C．
【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到的距离即为长是解决的关键．
27．3
【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，求出，得出，根据三角形面积公式得出，求出结果即可．
【详解】解：过点D作于点F，如图所示：
∵是角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为7，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
28．见解析
【分析】过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，证明，可得，根据角平分线的性质定理可得，从而得到，再由角平分线的性质的逆定理，即可求解．
【详解】证明：过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，
∵，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
又，
∴是的平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
29．C
【分析】由中，边的垂直平分线分别交、于点、，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
30．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
31．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可得出的度数，再由直角三角形的性质即可得出的长．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
32．B
【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题．
【详解】解：延长至点，使得，
在和中，
，
，
，
中，，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．
33．
【分析】延长至，使，连接，证明，进而根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了倍长中线，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
34．（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析
【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围；
（2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论．
【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，
在和中，
∴(SAS)，
∴DE=MF=3，
∵DF-MF＜DM＜DF+MF，
∴7-3＜DM＜7+3，
即4＜DM＜10，
∵，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
（2）AD=CD+AB，理由如下：
解：延长AE，DC相交于点F，
∵，
∴∠BAE=∠F，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
在和中，
∴（AAS），
∴AB=CF，
∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=FD，
∵FD=CD+CF，CF=AB，
∴AD=CD+AB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线．
35．B
【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为且两个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明．
【详解】解：
A、由旋转的性质可知：，故A正确，不符合题意；
B、由绕旋转任意角度得到，
只是特殊情况，故B错误，符合题意；
C、，，
，，
，故C正确，不符合题意；
D、过分别作的垂线，垂直分别是，
，，；
，，
，
平分，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断．
36．3
【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
37．（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用SAS证出△DCA≌△ECB，即可证出结论；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，利用SAS证出△DCA≌△ECB，从而得出CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论．
【详解】解：（1）相等，证明图②如下
∵
∴
∴
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB
∴；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N
∵
∴
∴
在△DCA和△ECB中
∴△DCA≌△ECB
∴CM=CN
∵CM⊥AD，CN⊥BE
∴平分
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键．
38．B
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形的外角．
39．或或
【分析】根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解．
【详解】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，在上，在上，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
②如图2，在上，在上，则，，
由①知：，
∴，
∴；
∵此时，
∴此种情况不符合题意；
③当都在上时，如图3，
，
∴；
④当到点停止，在上时，，
∴时，解得；
⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒，
∴，，
∵，
∴和都在上的情况不存在；
综上所述，点运动或或秒时，与全等．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的变换，理解动点运动的规律，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
40．(1)①；②、①中的结论仍然成立，详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）①根据正方形的性质得出，再证明，得出，进而可得出结论；②先证明，再证明，得出，进而可得出结论；
（2）当时，，作，先证明，再得出，证明，得出，进而可得出结论．
【详解】（1）①正方形中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：；
②、①中的结论仍然成立，证明如下：
∵，
∴，.即，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）当时，，
作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键．
41．D
【分析】通过可证两个直角三角形全等．
【详解】解：A：两个锐角对应相等的直角三角形不一定全等，故A错误；
B：面积相等的直角三角形不一定全等，故B错误；
C：一条边对应相等的直角三角形不一定全等，故C错误；
D：由判定定理可知，斜边及一条直角边对应相等的直角三角形一定全等，故D正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定．掌握定理内容是解题关键．
42．D
【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．
【详解】解：∵，即运用的是“角边角”的证明方法，且，，
∴当时，即可运用“角边角”证明，
故选：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
43．D
【分析】根据垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
又∵超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，
∴超市与A，B，C三点的距离相同，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
44．D
【分析】利用证明即可求解．
【详解】解：由题意知，
且（对顶角相等），
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
45．
【分析】根据证明即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
46．，，，．
【分析】根据三角形全等的性质可知：，，，再根据中线的性质，可求得，最后根据三角形全等判定定理，可求得，进而得出．
【详解】解：，
，，．
，分别是，边上的中线，
，．
．
在和中，
．
．
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定定理之一（两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等），熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
47．9
【分析】利用角平分线的性质求解，即可得到答案．
【详解】解：平分，，，
，
，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
48．（答案不唯一）
【分析】“”即为边角边，根据题意已经有，，因此只需要令即可．
【详解】解：由题意得，，，
要用“”判定，则只需要条件即可，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
49．，（公共边），，全等三角形对应角相等
【分析】利用判定及性质证明即可．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，（公共边），，全等三角形对应角相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定定理是解题的关键．
50．
【分析】用证明，则，，即可得到的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
在与中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
51．C
【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质得，再根据菱形的性质证明≌，进而得出，可知，然后根据等腰三角形的性质得，进而得出答案．
【详解】连接．
∵是的垂直平分线，
∴．
∵，且菱形具有轴对称性，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
∵，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键．
52．B
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案．
【详解】解：∵在和中，，，
A、添加，则可依据证明，故该选项不符合题意；
B、添加，依据不能证明，故该选项不符合题意；
C、添加，则可依据证明，故该选项符合题意；
D、添加，则可依据证明，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：，，，，，并熟练应用解决问题是解题的关键．
53．C
【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
54．B
【分析】延长交于点，证明可得，再利用三角形的中线可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，延长交于点，
是的平分线，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
，
，（等底同高），
，
又的面积为，
，即，
解得，
即的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，证明是解题的关键．
55．12
【分析】过点D作于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然根据的面积列式求出的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作于E，于F，
∵是的一条角平分线，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，作辅助线是利用角平分线的性质的关键，也是本题难点．
56．##度
【分析】根据，，，可得为的角平分线．
【详解】∵，，，
∴为的角平分线．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键．
57．或或
【分析】本题要判定≌，已知，由可得，那么只需添加一个条件即可．添边可以是或添角可以是或．
【详解】解：所添加条件为：或或，
∵，
∴，
即，
添加：，
在和中，
，
∴≌；
添加：，
在和中，
，
∴≌
添加：，
在和中，
，
∴≌．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
58．28
【分析】由垂直的定义得，根据ASA证明，得出米即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴米．
故答案为：28．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
59．见解析
【分析】由等腰三角形的性质得出，由垂线的性质可证得，由证明，得出对应边相等即可．
【详解】证明：，
，
，
，
为的中点，
在与中，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用证明三角形全等的方法是解决问题的关键．
60．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
61．A
【分析】设王华走了步时到达点处，则、、三点在同一条直线上，连接，则点在上，，证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，设王华走了步时到达点处，则、、三点在同一条直线上，
连接，则点在上，，
由题意得：步，步，，
，
解得，
米，
米，
在和中，
，
，
，
米，
处与电线塔的距离约为米，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理的应用，根据题意构造出相应的全等三角形是解题的关键．
62．D
【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【详解】解：∵D为的中点，
∴，
又∵为公共边
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，即，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
63．C
【分析】由角平分线的性质得到，由的面积的面积的面积的面积，得到的面积，由的周长，，即可求出的面积．
【详解】解：过O作于M，于N，
∵，分别平分和，
∴，，
∵的面积的面积的面积的面积，
∴的面积，
∵的周长，，
∴的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到的面积．
64．A
【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；
②证明，推出，再证明，推出即可判定；
③，即可证明；
④可以证明，据此即可判定；
⑤由，利用等高模型即可判定．
【详解】解：在中，，
，
又、分别平分、，
，，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
，
在和中，，
，
，，，
，
在△APH和△FPD中，
，
，
，
，故②正确；
，，
，，，
，
，
，即；故③正确；
，
，即，故⑤正确；
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④⑤，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
65．12.5
【分析】作，然后根据题目中的条件和图形，可以证明，从而可以得到和的关系，然后根据三角形的面积计算公式即可解答本题．
【详解】解：作于点，则，
，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
的面积为：．
故答案为：12.5
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
66．9
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，再证明，，根据全等三角形的性质进一步即可求出的面积．
【详解】解：过点D作于点H，如图所示：
∵是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和互补，即，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键．
67．6
【分析】设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：∵于A，于，
∴，
设运动x秒钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
①若，则，
∴，，
∴，
∴；
②若，则，
解得：，
∴，
此时与不全等；
综上所述：运动6秒钟后与全等；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
68．
【分析】延长、相交于点，由角平分线的性质可得，利用证明，得到，根据同角的余角相等得到，通过证明，得到，从而即可得到答案．
【详解】解：如图，延长、相交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键．
69．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)9
【分析】（1）根据条件证明可得出，就可以得出；
（2）根据可以得出，从而得出结论．
（3）根据可求的面积，根据可求的面积，最后利用的面积减去的面积即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
理由：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
由平移知（2）中和（1）全等，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
70．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）证明，根据全等三角形的性质即可求证；
（）过作交于点，证明，再利用等腰直角三角形和全等三角形的性质即可；
（）根据题意可知：点在以为圆心，为半径的半圆上，且当点，，三点共线时，最小，再由勾股定理可求．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）如图，过作交于点，
同（）理：，
由（）得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
（3）如图，根据题意可知：点在以为圆心，为半径的半圆上，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，
由（）得：，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
当点，，三点共线时，最小，
∴，，
在中，由勾股定理得．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定及其应用．
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