江苏省泰州市泰兴市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份江苏省泰州市泰兴市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了下列事件是必然事件的是，分解因式等内容，欢迎下载使用。
注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分；
2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；
3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2024的倒数是（ ）
A．B．C．2024D．-2024
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示的物体的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽
B．3个人分成两组，有2个人分在一组
C．购买一张彩票，中奖
D．某篮球运动员投篮一次就命中
5．将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ）
A．四边形的面积B．四边形的面积
C．的面积D．的面积
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
8．常泰长江大桥为目前在建世界最大跨度公路和铁路两用斜拉桥，大桥全长100300米，将数据100300用科学记数法表示为 ．
9．分解因式： ．
10．命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）．
11．关于x的一元二次方程的两根之积为 ．
12．如图是甲、乙两组数据的统计图，则较为稳定的数据是 组（填“甲”或“乙”）．
13．如图，是的切线，切点为B，连接交于点C，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，在中，，，，D是上一点，连接，将沿翻折至处，若恰好经过点C，则的值为 ．
15．一次函数的图像经过点和点，若，则n的取值范围为 ．
16．如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，设，当t为整数时，点F位置有 个．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
(1)；
(2)解不等式组：．
18．为了解某市九年级学生完成家庭作业时间的情况，随机抽取了部分九年级学生某一天完成家庭作业所用的大致时间（时间记为整数，单位：分钟），并把调查得到的所有数据（时间）进行整理分成五个时间段（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），绘制成如图所示的统计图．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)C组的学生人数为______人，B组在扇形统计图的圆心角为______；
(2)某市九年级学生大约有8500名，请估计全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过90分钟的约有多少人？
(3)根据统计图，下面关于该市抽取的九年级学生完成家庭作业时间的三个推断，正确的是______（填序号）
①中位数一定在C组；②众数一定在C组；③平均数不超过75分钟．
19．清明前夕，某学校举行了扫墓活动，小聪同学收集了A、B、C、D四种纪念卡片（A：杨根思烈士陵园纪念馆；B：泰兴市革命烈士纪念馆；C：新四军黄桥战役纪念馆；D：中安轮遇难烈士纪念馆），这些卡片的背面完全相同．
(1)把这四张卡片背面朝上洗匀后，小聪从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率为______；
(2)把这四张卡片背面朝上洗匀后，小聪从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小明再随机抽取一张．求两人抽到同一张卡片的概率．
20．小颖同学在用描点法画二次函数图象时，列出了下面表格：
(1)表格中的“■”数据被污染了，求被污染的数据；
(2)张老师针对上面的二次函数提出了这样一个问题：
当时，求函数值y的取值范围．
如下是小颖同学的解答过程：

小颖的解答正确吗？如果正确，请说明理由；如果错误，请直接写出正确的结果．
21．如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时向终点站C出发，甲、乙两车的速度之和为，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．
(1)若甲车的速度为，分别求、与x之间的函数表达式；
(2)若甲车的速度为，甲、乙两车同时到达终点站C，求a的值．
22．如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，，，两个反光镜，直线之间的距离为，．与平行的一束光线经两个反光镜反射后沿射出，其中．（参考值：，，，，，）
(1)当G、A、I三点共线时，求反光镜的长度；（结果保留一位小数）
(2)已知米，求点A到直线的距离．
23．如图，内接于，，，垂足为D．
(1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由；
(2)若，，求的长．
24．如图1，是一张等腰三角形纸片，，小明用该等腰三角形纸片进行折纸探究活动．将过点B所在直线折叠，使得翻折至处，折痕为交于点F．
操作发现：经过若干次操作尝试，小明发现折叠后的可以与平行，如图2；
质疑探究：是否存在一种等腰三角形纸片使得与既平行又相等，小明运用所学过的数学知识通过探究发现这样的等腰三角形是存在的，如图3．
(1)请在操作发现的情形下，证明：；
(2)请在质疑探究的情形下，求的值．
25．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点A、C在反比例函数的图像上，点B、D在反比例函数的图像上，顺次连接这四个点得到四边形．
(1)若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为．
①求证：四边形为平行四边形；
②求的面积；
(2)如图2，四边形为平行四边形，平行于x轴，求、的交点坐标；
(3)如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点O．
26．【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．
（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
解析：解：∵
∴的倒数是，
故选：D．
2．C
解析：解：A、原式错误，不符合题意；
B、 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
C、该选项正确，符合题意；
D、原式错误，不符合题意；
故选：C．
3．D
解析：解：从上向下看，是一个矩形．
故选：D．
4．B
解析：解：没有水分，种子发芽是不可能的，因此选项A不正确；
3个人分成两组，有2个人分在一组，这是必然事件，因此选项B正确；
购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项C不正确；
某篮球运动员投篮一次就命中，这是随机事件，因此选项D不正确；
故选：B．
5．C
解析：解：如图，过点C作与直尺平行，
∴，
∵多边形为正六边形，
∴，
∴．
故选：C
6．D
解析：解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n，
∴，
∴
∵，
∴．
故选：D．
7．
解析：解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
8．
解析：解：．
故答案为：．
9．
解析：，
故填
10．假
解析：解：假设，则满足，
但，
因此，这个命题是假命题．
故答案为：假．
11．
解析：解：根据根与系数的关系得方程的两根之积为．
故答案为：．
12．乙
解析：解：根据统计图可得：乙的成绩波动范围是，甲的成绩波动范围是，乙的成绩波动小，数据更稳定，则两人成绩较为稳定的是乙．
故答案是：乙．
13．##
解析：解：，
，
是的切线，
，
在中，，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
14．
解析：解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
则，
故答案为：．
15．##
解析：解：将代入得，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
16．11
解析：解：如图，以B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系
设，
过F作，
∵矩形，
∴，而，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点F在线段上，
当时，，当时，，
过D作，
此时为等腰直角三角形，
∴，
∴当F在与H之间时，，DF为整数有5、6；
∵矩形，，，
∴；
当F在与H之间时，，
为整数有5、6、7、8、9、10、11、12、13，
∴满足条件的点F共有11个．
故答案为：
17．(1)
(2)
解析：（1）解：原式．
（2）解：不等式①的解集为：，
不等式②的解集为：，
不等式组的解集为：．
18．(1)105，108
(2)全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过90分钟的约有7225人．
(3)③
解析：（1）解：由题意可知，样本容量为：，
组的学生人数为：（人；
组在扇形统计图的圆心角为：，
故答案为：105，108；
（2）样本中一天做家庭作业所用时间不超过90分钟所占比例为：，
（人，
答：全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过90分钟的约有7225人；
（3）由题意可知，中位数在组用时最多的一个学生和组用时最小的一个学生的平均数，故①说法错误；
众数是出现次数最多的数，因此不能确定众数所在的组是哪一组，故②说法错误；
因为大多数人一天做家庭作业所用时间不超过75分钟，可推断平均数不超过75分钟，故③说法正确．
故答案为：③．
19．(1)
(2)
解析：（1）解：把这四张卡片背面朝上洗匀后，小聪从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率为；
故答案为：
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中两人抽到同一张卡片的情况共4种，
∴两人抽到同一张卡片的概率．
20．(1)12．
(2)不正确；
解析：（1）解：由题意得：，
解得： ，
即函数解析式为：，
当时，；
故被污染的数据为12；
（2）解：小颖的解答不正确；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，函数取得最小值3；
当时，函数值随自变量的增大而减小，
当时，，此时；
当时，函数值随自变量的增大而增大，
当时，，此时；
综上，当时，．
21．(1)，
(2)
解析：（1）解：∵甲、乙两车的速度之和为，甲车的速度为，
∴乙车的速度为，
∴，
，
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴a的值为．
22．(1)
(2)
解析：（1）解：过K作，垂足为S，
∵，，
∴，，
由题意：，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
答：反光镜的长度约为．
（2）解：过A作，垂足为T，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴．
答：点A到直线的距离为．
23．(1)图见解析，理由见解析
(2)
解析：（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
理由：连接，
∵，
∴
又，
∴
∴
又∵，
∴垂直平分，
由垂径定理：点P是的中点，
∴平分．
（2）解：过点O作，垂足为H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵
∴，
∴
又
∴
∴．
24．(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，，则，
由（1）得：，
解得：（舍去），，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
25．(1)①见解析；②
(2)
(3)见解析
解析：（1）解：①将函数与联立方程组得
，
解得，，
，，
同法求得：，；
方法一：过点A作轴，过点作轴，垂足分别为M、N，
，
，
在和中，
，
()，
∴，
同理可证：，
∴四边形为平行四边形．
方法二：
，
同理可求： ，
，
四边形为平行四边形．
②如图，过点作轴交于，
，
．
（2）解：四边形为平行四边形，平行于x轴，
，，
可设，，，；
方法一： ，
，
，
，
，
，
，
，，，，
设直线的表达式为：，则有
，
解得，
直线的表达式为：，其函数图像经过原点，
同理：直线BD的表达式为：，其函数图像也经过原点．
、的交点坐标为．
方法二：设的表达式为：，则有
，
解得，
的表达式为：，
同理可求：的表达式为：，
联立方程组得：，
，，
，
同方法一求得：，
、的交点坐标为．
（3）解：如图，过作轴，过作轴，交于，过作轴，过作轴，交于，连接，

，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
()，
，
，
设，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，，，
同理可求的解析式为：，其函数图像经过原点，
的解析式为：，其函数图像经过原点，
、的交点坐标为．
26．定义理解：；拓展提升：（1）；（2）①见解析；②是定值，
和相似，根据相似三角形对应边成比例，得到，从而算出定值．
解析：定义理解：
解：，
又，，
，
，
．
（1）方法一：，
，
又四边形BDEC是倍对角四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，是倍角，
，
，
是等边三角形，
，
，
等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
方法二：延长、交于点H，易证、是等边三角形，
，，
也是等边三角形，
，
．
（2）①∵四边形BDEC是倍对角四边形，，
，
等边三角形，
，
，
，，
又，
，
．
②延长、交于点H，同①可证：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
…
7
4
3
4
7
■
…