2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题09 解答题压轴题（几何综合（二)（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（安徽专用）专题09 解答题压轴题（几何综合（二)（含解析），共66页。试卷主要包含了十字架模型，动态问题中的线段长度最值，奔驰模型，线段长度等内容，欢迎下载使用。

通用的解题思路：
解决矩形翻折问题：
利用折叠和矩形性质找出对应线段关系；
在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解。
2、十字架模型：

3、动态问题中的线段长度最值
通常利用三点共线解决，关键在于找到与这条线段两个端点之间恒为定长的点。
4、奔驰模型：
解题方法是旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证全等，结合勾股定理的逆定理得到结论。
5、线段长度、比值及最值问题：
（1）特殊图形、全等、相似、勾股定理；
（2）圆中垂径定理。
1．（2023·安徽·中考真题）在中，是斜边的中点，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点旋转至 SKIPIF 1 < 0 位置，点在直线外，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)如图1，求的大小；
(2)已知点和边上的点满足．
（ⅰ）如图2，连接，求证：；
（ⅱ）如图3，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若，求的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据等边对接等角得出，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解；
（2）（ⅰ）延长交于点，证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是 SKIPIF 1 < 0 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；
（ⅱ）如图所示，过点作于点 SKIPIF 1 < 0 ，由，得出，，进而根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
在中，
∴
（2）证明：（ⅰ）证法一：
如图，延长，交于点，则，

∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵是的中点，，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，即，
∴，即点是斜边的中点．
∴．
证法二：
∵，是斜边的中点，
∴点 SKIPIF 1 < 0 在以为圆心，为直径的上．

∵，
∴垂直平分．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴．
证法三：
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵是的中点，，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
∴．
∵，是斜边的中点，
∴点 SKIPIF 1 < 0 在以为圆心，为直径的上．
∴．
（ⅱ）如图所示，过点作于点 SKIPIF 1 < 0 ，

∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析
【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；
（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；
（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
，
∴，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键．
3．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）如图2，若， SKIPIF 1 < 0 ，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）
【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证 SKIPIF 1 < 0 ，，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得；
（2）证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设 SKIPIF 1 < 0 ，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值．
【详解】（1）证明：，
；
SKIPIF 1 < 0 ，
，，
，
，，
，，
， SKIPIF 1 < 0 ，
四边形AFCD是平行四边形
SKIPIF 1 < 0
在与中．
，
（2），
，
在中，，
，
，
又，，
，
在与中．
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）延长BM、ED交于点G．
与均为等腰三角形，，
，
，
设 SKIPIF 1 < 0 ，，，
则，，
，
，
；
在与中，
，
；
．
；
，
，
，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
（舍），，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．
1．（2024·安徽·一模）问题情境：在中，，，，是边上的高，点为上一点，连接，过点作交于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边的中点时，试判断点是否为边的中点；
（2）如图2，连接，试判断与是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当时，试求线段的长．
【答案】（1）点是边的中点，理由见解析；（2）相似，理由见解析；（3）．
【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）由勾股定理求出，由面积求出，再由勾股定理求出，证明，得出，求出， SKIPIF 1 < 0 ，故可得点是的中点；
（2）由（1）知得，又，可得，即，且，从而可证 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（1）得，求出，且，由，代入，从而可求出的长．
【详解】解：（1）点是边的中点，理由：
在中，，，，
，
是边上的高，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
在中， SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
又，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
∴，
SKIPIF 1 < 0 ，
点是的中点，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得，，
SKIPIF 1 < 0 ，
，即点是边的中点；
（2）由（1）知，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又，
；
（3）由（1）知，
SKIPIF 1 < 0 ，
；
又，，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得，，
即线段的长为．
2．（2024·安徽六安·一模）如图，在中，，分别是，上的动点．
(1)已知，交的一边于点， SKIPIF 1 < 0 ．
①如图1，若点在上，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
②如图2，若点在上，且，，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
(2)如图3，，点在上，且，若，，求的值．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由， SKIPIF 1 < 0 得出，，由矩形的判定与性质得出，，推出，证明，得出，即可得证；②作于 SKIPIF 1 < 0 ，由， SKIPIF 1 < 0 得出，，由矩形的判定与性质得出，，推出，证明，得出，求出，，则，再由勾股定理求出，即可得解；
（2）在的延长线上找一点，连接，使，则四边形是等腰梯形，证明得出，结合，，计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：， SKIPIF 1 < 0 ，
，，
，，
，
，四边形是矩形，
，，
，
，
；
②如图，作于 SKIPIF 1 < 0 ，
， SKIPIF 1 < 0 ，
，，
，，
，
，四边形是矩形，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
四边形是矩形，，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，在的延长线上找一点，连接，使，
则四边形是等腰梯形，
，
，，
，
，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键，属于中考压轴题．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在正方形中，点F是的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，与的延长线交于点E，作的平分线交的延长线于点G，分别交，于点H，M．
(1)如图1，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，连接，，求证：．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）首先证明 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，易得，设，结合点F是的中点，可得，利用勾股定理解得，进而可得，即可获得答案；
（2）首先证明，由相似三角形的性质可解得，易得，利用“”证明，易得，然后利用“”证明即可；
（3）首先证明，结合相似三角形的性质可得，由（2）可知，结合相似三角形的性质可得，可证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
设，
∵点F是的中点，
∴，
在中，可有，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题关键．
4．（2024·安徽合肥·一模）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．
(1)求证：；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等边对等角得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到，由是的平分线，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明；
（2）取中点G，连接，利用三角形中位线的性质，易证，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而的得到，即可证明；
（3）同理（2）取中点G，连接，证明，设 SKIPIF 1 < 0 ，则，求出，由，得到，根据，由相似的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）解：取中点G，连接，
是边上的中线，即点E为的中点，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，即，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如（2）中图，可知，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
点是的中点，点E为的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则，
，
，
，
，
，即，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：或 SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．
5．（2024·安徽合肥·一模）如图①，在中，，，点为上一点，连接，点是的中点，连接，交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)如图②，连接 SKIPIF 1 < 0 ，解决以下问题：
①求的度数；
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）根据，证明即可．
（2）①根据，判定四点共圆，得．
②过点E作，交于点M，证明是等腰直角三角形，再证明，结合勾股定理即可得．
【详解】（1）∵，，点是的中点，
∴，
∵，
∴
∴．
（2）①∵，，点是的中点，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴．
②过点E作，交于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴,
∴．

【点睛】本题考查了三角形相似，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形相似，四点共圆，三角形全等是解题的关键．
6．（2024·安徽宿州·一模）如图，四边形的两条对角线交于点O，，．
(1)如图1，若；
①求证：；
②点E在边上，且平分 SKIPIF 1 < 0 ，，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，与的延长线交于点E，若，求的度数．
【答案】(1)（1）①见解析；②见解析
(2)．
【分析】（1）①利用证明，推出，得到，利用等边对等角求得，推出，即可证明；
②由平行线的性质结合角平分线的定义求得，推出，得到，由于，则四边形为平行四边形，据此即可证明结论成立；
（2）作交的延长线于点，作于点 SKIPIF 1 < 0 ，先后证明，，推出，得到，据此求解即可．
【详解】（1）证明：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：作交的延长线于点，作于点 SKIPIF 1 < 0 ，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
7．（2023·安徽·模拟预测）在中，点分别在射线和上，连接和相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当，但时，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)如图3， SKIPIF 1 < 0 ，直接写出的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据，结合，判定四边形是正方形，利用正方形的性质，证明即可．
（2）作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为点M，N，根据，结合，判定四边形是菱形，利用菱形的性质，证明即可．
（3）作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为点M，N，利用平行四边形的性质，证明，结合勾股定理计算即可．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
．
在中，
，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又，
．
（2）（1）中结论仍然成立．
理由：如图1，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为点
．
，
．
由（1）可证，
，
．
图1
（3）如图2，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为点
．
，
SKIPIF 1 < 0 ．由（1）可证，
图2
．
在中，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
8．（2024·上海虹口·二模）在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．
(1)如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；
(2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．
①当时，求和 SKIPIF 1 < 0 的长；
②当点为弧的中点时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；；②
【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得 SKIPIF 1 < 0 的长；
②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵梯形中，，，
∴，，，
又∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵，
∵，则
∴
∴
∵
∴
又∵
∴，
如图所示，过点作于点，连接，
∵，
∴，则，，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴，
在中，
∴
∴，
∵为直径
∴
∴，
∴，，则，
∵
∴
∴
②过点作于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵
∴
∵
∴
设，，则
∵，则
设，则
∴
∵
∴
设，则，
∴，
在中，
∴
又∵
∴
∴
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2024·云南·模拟预测）菱形的对角线相交于点O，，点G是射线上一个动点，过点G作交射线于点E，以为邻边作矩形．

(1)如图①，当点F在线段上时，求证：；
(2)若延长与边交于点H，将沿直线翻折得到．
①如图②，当点M在上时，求证：四边形为正方形；
②如图③，当为定值m时，设，k为大于0的常数，当且仅当时，点M在矩形的外部，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）证明四边形，四边形是平行四边形即可得到结论；
（2）①由折叠得可证明 SKIPIF 1 < 0 ，，再证明可得，再由四边形为矩形则可证明结论；②由四边形为菱形以及折叠可得，当且仅当时，M点在矩形的外部，则时，M点在矩形上，当点M在EF上时，设，求得，过点D作于点N，证明求得，在中运用勾股定理列出方程求解即可；当点M在上时，由折叠的性质可得，解直角三角形得到，进而得到，则．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
∴，即
，
四边形，四边形都是平行四边形，
，，
；
（2）证明：①由折叠得，
，，
，，
四边形为菱形，
，
，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，，
，点M在 SKIPIF 1 < 0 上，
，
，
四边形为矩形，
矩形为正方形；
②如图，
四边形为菱形，
，
，
，
由折叠得，
，
（m为定值），
∴是定值
∵，
点M始终在固定射线上并随k的增大向上运动，
当且仅当时，M点在矩形的外部，
时，M点在矩形上，
如下图所示，当点M在上时
设，
，，，
，，
，
过点D作于点N，
，又，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
（负值舍去），
，
；
如下图所示，当点M在上时，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

综上所述，m的值为或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查四边形的综合问题，涉及矩形和菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．
10．（2024·江苏苏州·一模）已知矩形中，是的中点，于点．
(1)如图，若，求的值；
(2)如图，连接交于点，若，求的值；
(3)如图，延长交于点，若点恰好为的中点，过作交于，设的面积为，的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则的值为 ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）证明，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（）延长交的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，连接，证明，得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到四边形是菱形，得到，， SKIPIF 1 < 0 ，得出，即可得，得到 SKIPIF 1 < 0 ，据此得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（）过作于，交于，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，证明，得到，推导出四边形是正方形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得， SKIPIF 1 < 0 ，由三角形面积得到，证明，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得到，，由 SKIPIF 1 < 0 ，设，则，证明，得到，由 SKIPIF 1 < 0 可得方程 SKIPIF 1 < 0 ，解方程得，即 SKIPIF 1 < 0 ，再由三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴；
（2）解：延长交的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵是的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴；
（3）解：过作于，交于，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则，，，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，， SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∴四边形是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设，则，
∵，，
∴， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
又∵，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵的面积为，的面积为，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2024·重庆·模拟预测）在等腰中，，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
(1)如图1，当点落在边的延长线上时，连接，，求；
(2)如图2，取的中点，连接， SKIPIF 1 < 0 ，求证：；
(3)如图3，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得到，连接 SKIPIF 1 < 0 、，若，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）延长交于 SKIPIF 1 < 0 ，先证 SKIPIF 1 < 0 ，由等腰直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解；
（2）如图2，延长到，使，连接，，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得结论；
（3）通过证明，可得，则，即当点A，点C，点M三点共线时，有最小值为的长，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：如图，延长交于 SKIPIF 1 < 0 ，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
，，
，
，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：如图2，延长到，使，连接，，
点是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
又，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3），，
，
，
∵
∴
∴，
，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，，
如图3，在上取一点，使，连接，
将沿着翻折得到△，
，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
又，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当点，点，点三点共线时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为的长，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在正方形中，P是边上的动点，交延长线于点E， SKIPIF 1 < 0 交于点F，连接．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当点P运动到的中点时，试探究线段与的关系，并说明理由；
(3)当的面积最大时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质；
（1）根据角的等量代换，推出，进而证明，即可证明；
（2）过点作 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，先推出，，由（1）知：，，进而推出，推出是等腰直角三角形，，，进而即可证明；
（3）连接，，设它们交于点，连接，交于点，是等腰直角三角形，求出，点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动，即点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，当点运动弧的中点时，点到的距离最大，此时面积的最大，设， SKIPIF 1 < 0 ，进而求出，推出，，进而求出，及比值．
【详解】（1）在正方形中，，，
∴，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
∵，
∴，
又∵，（对顶角相等），
∴，
在和中，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2），．理由：
如图，过点A作交于点H，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，．
（3）连接，，设它们交于点O，连接，交于点G，如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
∴点E在以为弦，所含圆周角为135°的圆弧上运动，
即点E在以正方形的中心O为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，
当点E运动弧的中点时，点E到的距离最大，此时面积的最大，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴，，
∴，
∵,
∴，,
∴,
∴,
∴，即,
∴,
∴，,
∴．
13．（2024·江苏苏州·一模）（1）问题解决：如图1，点在一条直线上，，求证：；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点为的中点，求证：；
（3）拓展运用：如图2，在中，，点是的内心，若，求的长．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）5
【分析】（1）根据三角形外角的性质得，即可证明结论；
（2）由，得，可说明，进而证明结论成立；
（3）过点O作交于点E，交于点F，可知是等腰直角三角形，再说明，可得 SKIPIF 1 < 0 和的长，最后利用勾股定理求出BC的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点C为的中点
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点O作交于点E，交于点F，
∵点O是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
14．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，．为边上的一个动点，沿翻折，点落在点处．
(1)如图1，若，且点与点重合时，交于点．
①求 SKIPIF 1 < 0 的长；
②若点在射线上，且，求的值．
(2)连接，在边上存在两个不同位置的点，使得，则的取值范围是____．
【答案】(1)①；② SKIPIF 1 < 0 ；
(2)．
【分析】（1）①根据折叠的性质和矩形的性质可证明，得到，，设，则，，在中，由勾股定理即可求解；②连接交于点，过点作于点，可证明，得到，求出、，进而求出，证明，得到，推出，结合，求出，最后根据，即可求解；
（2）当落在直线上面时，过作于 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意得到，推出，结合折叠的性质可得，在中，，可求出的一个范围；当落在直线下面时，过作于，同理推出，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，在中，，即可求解．
【详解】（1）①四边形是矩形，
，，
由折叠知，， SKIPIF 1 < 0 ，
，，
在和中，
，
，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则；
②如图，连接交于点，过点作于点，
，
（对顶角），
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，，
则，
，（对顶角），
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
；
（2）当落在直线上面时，如图，过作于 SKIPIF 1 < 0 ，
，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
，
由翻折可知，
在中，，
，
又，
在中，，
此时只要，点在边上，
；
当落在直线下面时，如图，过作于，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
在中， SKIPIF 1 < 0 ，，，
，
，
，
在中，，
此时要在边上，则即可，即，
综上，．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
15．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，在正方形中，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，与的延长线交于点．

(1)求证：；
(2)如图2，连接，与相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：①；② SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，结合对等角相等，，得到，解答即可；
（2）①先证明，得到，再证明，证明即可；②证明得到，结合证明即可；
（3）根据计算即可．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）∵正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴．
（2）①的角平分线交于点，
∴，
∵，
∵
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∵
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵正方形，
∴， SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵正方形，，
∴，
根据前面的证明，得，
∴．
16．（2023·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）综合运用
(1)如图1，在中，，的平分线与边于点，过点作，交于点，过点作，交于点，点在边上，过点作，交于点．求证：．
(2)如图2，在中，，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，点在边的延长线上，连接，过点作，交射线于点．已知，，，求的值．
(3)如图3，在中，，点在边的延长线上，点在边上不与点，重合，连接，以为顶点作，的边交射线于点．若，，是常数，求的值．用含，的代数式表示)
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明四边形是正方形，进而证明即可；
（2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出；
（3）勾股定理求得，作 SKIPIF 1 < 0 于点N，证明，得出．证明，得出，求出．
【详解】（1）证明：∵，平分，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴．
（2）解：∵， SKIPIF 1 < 0 ，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
如图3，作 SKIPIF 1 < 0 于点N，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，正方形的性质与判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．