湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（原卷及解析版）

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考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟．
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数为无理数的是（ ）
A. 0.618B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：由题意知，0.618，，，均为有理数，
是无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数．
2. 下列点的坐标在第四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
【详解】解：A．在第一象限，故不符合题意；
B．在第二象限，故不符合题意；
C．在第三象限，故不符合题意；
D．在第四象限，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
3. 若是关于x、y的方程2x﹣y+2a＝0的一个解，则常数a为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将代入2x﹣y+2a＝0解方程即可求出a．
【详解】将x=-1，y=2代入方程2x-y+2a=0得：-2-2+2a=0，
解得：a=2．
故选B．
4. 若，下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用不等式的性质即可解答；
【详解】A、
该选项不符合题意；
B、
该选项不符合题意；
C、
该选项符合题意；
D、
该选项不符合题意；
故选C
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
5. 下列调查方式合适的是（ ）
A. 为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式
B. 为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式
C. 调查全省七年级学生对新型冠状病毒传播途径的知晓率，采用抽样调查的方式
D. 对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间比较多，而抽样调查得到的结果比较近似解答．
【详解】A：为了解全国中学生的视力状况，采用抽样调查的方式，故本选项不符合题意；
B：为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用抽样调查的方式，故本选项不符合题意；
C：调查全省七年级学生对新型冠状病毒传播途径的知晓率，采用抽样调查的方式，故本选项符合题意；
D：对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用全面调查的方式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6. 如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ）

A. 两点之间线段最短B. 垂线段最短
C. 两定确定一条直线D. 三角形具有稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点．
【详解】解：如图所示：可知点O、A、B构成了一个三角形，利用了三角形具有稳定性的特点．
选项A：错误；选项B：错误；选项C：错误；选项D：正确．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．掌握相关结论即可．
7. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，列出方程组即可．
【详解】解：设木长为x尺，绳子长为y尺，根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
9. 如图，在中，，且外角，则外角的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：由三角形的外角的性质得，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
10. 以关于x、y的方程组的解为横纵坐标的点在第一象限，那么m的取值范围在数轴上应表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解方程组，用含m的代数式表示出x，y，再根据点在第一象限列不等式组求解即可．
【详解】解：，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
解得，
在数轴上表示为：

故选D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，用含m的代数式表示出x，y是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在四个数中，最小的实数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先计算出，再根据比较实数的大小法则即可．
【详解】解：，，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方的定义及比较实数的大小法则，熟练运用比较实数的大小法则是解题的关键．
12. 点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向下平移，纵坐标减，横坐标不变，向左平移，横坐标减，纵坐标不变进行求解即可．
【详解】解：根据题意，点Q的坐标是
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移与坐标与图形的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】多边形的外角和是，多边形的内角和是外角和的2倍，
它的内角和是，
设这个多边形的边数为，根据题意得
，
．
故答案为：．
14. 如图，已知，，，则的度数为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，进而利用三角形外角性质解答即可．
【详解】解：如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
15. 若三角形的两边长是a和b，且满足，则这个三角形的第三边c的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】求解二元一次方程组，根据三边关系定理确定第三边的取值范围．
【详解】解：，解得
根据三角形三边关系定理，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组求解，三角形三边关系定理，熟练二元一次方程组的求解是解题的关键．
16. 如图，已知P(3，3)，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA＋OB＝________．
【答案】6
【解析】
【详解】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，
∵P（3，3），
∴PN=PM=3，
∵，
∴∠MPN=360°-90°-90°-90°=90°，
则四边形MONP是正方形，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴∠APB=∠MON，
∴ ，
∴∠APM=∠BPN，
在△APM和△BPN中
，
∴△APM≌△BPN（ASA），
∴OA+OB=OA+ON+BN
=OA+ON+AM=ON+OM
=3+3=6
故答案是：6．
三．解答题（共9小题，第17~19题每题6分，第20~21题每题8分，第22~23题每题9分，第24~25题每题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据乘方、立方根、开方、绝对值的意义化简，再算加减即可．
【详解】解：原式，
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解答本题的关键．
18. 解不等式组：，并在数轴上表示此不等式组的解集．

【答案】
【解析】
【分析】令，根据解一元一次不等式的步骤，解出不等式方程，，然后求解集，即可．
【详解】
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．
19. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线便是的角平分线．请完成下列问题：

（1）这种做法的依据是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）请证明平分．
【答案】（1）④ （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据全等三角形的性质与判定可进行求解．
【小问1详解】
解：由题意可知这种做法的依据是；
故答案为④；
【小问2详解】
证明：由题可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20. 智能手机等高科技产品正越来越严重地伤害青少年的眼睛，保护视力，刻不容缓．长沙市某校为了解学生的视力状况，培养学生保护视力的意识，对该校部分学生做了一次主题为“保护视力爱眼护眼”的调查活动，根据近视程度的不同将学生分为A、B、C、D、E五类，其中A表示视力良好、B表示轻度近视（度以下）、C表示中度近视（度～度）、D表示高度近视（度～度）、E表示超高度近视（度以上）．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你结合图中信息，解答下列问题：

（1）参与本次调查活动的学生有 人，
（2）补全条形统计图；
（3）求“视力良好”对应扇形的圆心角度数；
（4）该校共有名学生，请你估计该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）人
【解析】
【分析】（1）用B的人数除以B所占的百分比即可得；
（2）用总人数减去A、B、D、E的人数即可得；
（3） 乘“视力良好”的人数占名学生的百分比，即可得；
（4）用该校学生人数乘“高度近视”和“超高度近视”的学生占名学生的百分比即可得．
【小问1详解】
解：（人）
故答案为：；
【小问2详解】
解：C类人数：（人），
如图所示：
【小问3详解】
解：“视力良好”对应扇形的圆心角度数：，
答：“视力良好”对应扇形的圆心角度数为；
【小问4详解】
解：（人）
答：估计该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数为人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
21. 如图，中，是的中线，是的角平分线，是的高．
（1）若的面积为8，，求的长；
（2）若，求的度数
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理及三角形的外角性质是解此题的关键．
（1）由三角形面积公式可得，可求得，最后可求得；
（2）先求得，由是的角平分线可得，最后可得结果．
【小问1详解】
解： 由题意可得：，
即，
∴，
又为的中线，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的高，，
∴，
，
又是的角平分线，
∴，
∴．
22. 在一次高速铁路建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
【答案】（1）一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨；（2）有三种方案，第一种方案：大型运输车辆，小型运输车辆；第二种方案：大型运输车辆，小型运输车辆；第三种方案：大型运输车辆，小型运输车辆．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；
（2）根据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案．
【详解】解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，
，
解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨；
（2）由题意可得，
设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为辆、辆，
，
解得，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车辆，小型运输车辆；
第二种方案：大型运输车辆，小型运输车辆；
第三种方案：大型运输车辆，小型运输车辆．
【点睛】本题考查一元一次不等式组应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23. 如图，，，，经过点D．

（1）求证：；
（2）和有何数量和位置关系？请说明理由；
（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2），且，见解析
（3）18
【解析】
【分析】（1）由证，运用求证；
（2）由得，且，可证得,得；
（3）由得，所以．
【小问1详解】
∵，

∴，
∴．
在和中，

∴（）．
【小问2详解】
解：，且，理由如下：
由（1）知且
在Rt中，,
∴,
即,
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的两个锐角互余，由全等三角形推得线段间、角之间的相等关系是解题的关键．
24. 我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“美美与共方程”．
（1）在一元一次方程①；②；③中，不等式组的“美美与共方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程 是不等式组的“美美与共方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x方程 是关于x的不等式组的“美美与共方程”，且此时该不等式组有7个整数解，若，求M的取值范围．
【答案】（1）①③ （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“美美与共方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
（3）解方程得，再求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，再结合已知条件即可求出的取值．
【小问1详解】
解①，得；
解②，得；
解③，得；
解不等式组得；
由题意得：①③是不等式组的“美美与共方程”；
故答案为：①③；
【小问2详解】
解得，
解得，
由题：，
解得：；
【小问3详解】
解得，
解得，
由题意得：①且②，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴，
解得，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“美美与共方程”是解题的关键．
25. 如图，四边形在平面直角坐标系中，，在x轴正半轴上有一点P，过点P作，交延长线于点Q．

（1）求点C的坐标；
（2）当时，求证：；
（3）当点P在点D右侧时，连接，在的延长线上存在一点F，使得，求之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），见解析
【解析】
分析】（1）过点C作轴于点H，证明，推出即可；
（2）利用垂直推出，证明，即可得到结论；
（3）在上截取，连接，根据四边形内角和证得，由此证明，推出，得到，再证明，得到，进而得到结论．
【小问1详解】
解：过点C作轴于点H

由题意得：
在和中

，即
∴；
【小问2详解】
证明：由题意得：

同理：
又
，
即
在和中

；
【小问3详解】
，理由如下：
如图，在上截取，连接，

又
在和中

易得
，即
在和中

．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和，等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．