2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题03 代数与几何最值题（选择填空压轴题）（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题03 代数与几何最值题（选择填空压轴题）（含解析），共15页。试卷主要包含了 代数方法， 几何方法， 综合方法等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
代数与几何最值题是数学中常见的题型，涉及的知识点广泛，解题思路灵活多样
1. 代数方法：
配方法：通过配方将表达式转化为完全平方的形式，从而找到最值。
判别式法：利用二次方程的判别式判断函数值，从而找到最值。
不等式法：利用基本不等式来求解最值。
换元法：通过换元简化表达式，便于求解最值。
2. 几何方法：
图形性质：利用图形的几何性质（如对称性、凸凹性等）来求解最值。
坐标法：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后利用代数方法求解最值。
面积法：通过计算图形的面积来求解最值，常用于三角形、四边形等图形。
角度法：通过计算角度或利用角度的性质来求解最值，常用于与角度有关的几何问题。
3. 综合方法：
数形结合：将代数与几何相结合，利用代数方法简化几何问题，或利用几何方法直观解释代数问题。
分类讨论：根据问题的不同情况进行分类讨论，分别求解最值后再进行比较。
特殊值法：通过取特殊值来简化问题或验证答案的正确性。
在解题过程中，还需要注意以下几点：
理解题意：首先要准确理解题目的要求和条件，避免误解或遗漏信息。
转化问题：尝试将问题转化为更熟悉或更简单的形式，便于求解。
检验答案：求解完成后，要检验答案是否符合题目的要求和条件，确保答案的正确性。
总之，代数与几何最值题的解题思路多种多样，需要根据具体问题的特点选择合适的方法。同时，还需要注重基础知识的积累和解题经验的总结，不断提高解题能力。
1．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若线段 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．10
【答案】B
【分析】
过点C作 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，需使 SKIPIF 1 < 0 最小，显然要使得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 越小越好，则点F在线段 SKIPIF 1 < 0 的之间，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：过点C作 SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
需使 SKIPIF 1 < 0 最小，显然要使得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 越小越好，
∴显然点F在线段 SKIPIF 1 < 0 的之间，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．
2．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】连接CF、CG、AE，证 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，最小，
SKIPIF 1 < 0
∴d1＋d2＋d3的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．
3．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作 SKIPIF 1 < 0 ．若对于符合条件的任意实数k，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 总有两个公共点，则r的最小值为 ．
【答案】2
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 的图像经过第一、二、四象限，可知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，可知当圆经过 SKIPIF 1 < 0 时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 的图像经过第一、二、四象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，
∵ SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当圆经过 SKIPIF 1 < 0 时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，
∴r的临界点是2，
∴r的最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（2023·江苏连云港·中考真题）若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为实数），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】运用配方法将 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据非负数的性质求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 为实数，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值．
5．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且实数m，n满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P到原点O的距离的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由已知得到点P的坐标为( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，求得PO= SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P的坐标为( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，
∴PO= SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，有最小值，
且最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴PO的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
1．如图， SKIPIF 1 < 0 的三边 SKIPIF 1 < 0 的长度分别用 SKIPIF 1 < 0 表示，且 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 落在点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而由勾股定理的逆定理可得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，又由折叠可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此判断出点 SKIPIF 1 < 0 在以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，由三角形三边关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解，判断出点 SKIPIF 1 < 0 在以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上是解题的关键．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 在以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，如图，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线上两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，二次函数最大值记为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值记为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先求出二次函数的对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，结合开口方向再分类讨论，当点P，Q均在对称轴 SKIPIF 1 < 0 左侧；当点P在对称轴 SKIPIF 1 < 0 左侧，Q在对称轴 SKIPIF 1 < 0 右侧时；若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，分别列式计算，即可作答．
【详解】解：抛物线对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
当点P，Q均在对称轴 SKIPIF 1 < 0 左侧时，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵m随t的增大而减小， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
当点P在对称轴 SKIPIF 1 < 0 左侧，Q在对称轴 SKIPIF 1 < 0 右侧时
①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴： SKIPIF 1 < 0 ，在对称轴左侧m随t的增大而减小，
∴ SKIPIF 1 < 0
②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴： SKIPIF 1 < 0 ，在对称轴右侧m随t的增大而增大，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P，Q不可能均在对称轴 SKIPIF 1 < 0 右侧．
综上可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为D．
3．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心、 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上有一个动点 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】本题考查求最值问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理．在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，先证 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【详解】解：如图，在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
4．如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 边长为4，点 SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 点， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而由角的关系可知 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆 SKIPIF 1 < 0 上移动，如图2，连 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为线段 SKIPIF 1 < 0 的长度，如图3，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆 SKIPIF 1 < 0 上移动，
如图，连 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，

∵正方形 SKIPIF 1 < 0 边长为4，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 的最小值为线段 SKIPIF 1 < 0 的长度，
如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，

∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 的最小值为线段 SKIPIF 1 < 0 的长度，由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 或4B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或4D． SKIPIF 1 < 0 或4
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为：直线 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
6．把二次函数： SKIPIF 1 < 0 的图象作关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称变换，所得图象的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 取最小值，则此时 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质．
由变换后解析式可得变换前解析式，再展开，对应b和c，进而求解．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 变换后图象解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 原函数图象解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为：2．
7．如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为对角线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，点H是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，正确判断点G的轨迹是解题关键．根据正方形的性质，证明 SKIPIF 1 < 0 ，进而推断点G的轨迹是射线 SKIPIF 1 < 0 ，根据垂线段最短可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，根据特殊角的正弦函数值求出 SKIPIF 1 < 0 的长即可．
【详解】解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点G的轨迹是射线 SKIPIF 1 < 0 ，
根据垂线段最短可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点C在x轴上运动，点D在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则四边形 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是 ．

【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】本题主要考查轴对称的性质及坐标中两点之间的距离，勾股定理等，理解题意，作出相应图象是解题的关键．作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 关于x轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 x轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据轴对称的性质得到四边形 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理算出 SKIPIF 1 < 0 ，即可解题．
【详解】解：作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 关于x轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 x轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 两点之间线段最短，即 SKIPIF 1 < 0 最短，
由轴对称的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 为平面上一个动点， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点．根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的外接圆 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，同样可证 SKIPIF 1 < 0 也为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ，最后 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：如图所示．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的外接圆 SKIPIF 1 < 0 （因求 SKIPIF 1 < 0 最小值，故圆心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧），连接 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的值最小．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，
SKIPIF 1 < 0 最小为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．代数式 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了完全平方公式和非负数性质的应用能力，通过将原式变形为 SKIPIF 1 < 0 ，再运用非负数的性质进行求解，关键是能对原式进行准确变形配方．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．