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2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题05 几何中的尺规作图（解答压轴题）（含解析）
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这是一份2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题05 几何中的尺规作图（解答压轴题）（含解析），共37页。试卷主要包含了 理解题目要求， 分析已知条件，确定作图步骤， 执行作图步骤， 检查答案等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
尺规作图的解题思路主要包括以下几个步骤：
1. 理解题目要求：首先，你需要清楚理解题目要求你做什么。这可能涉及到绘制特定的图形，如等边三角形、正方形或圆，或者可能涉及到构造特定的线段或角度。
2. 分析已知条件：接下来，你需要分析题目给出的已知条件。这可能包括特定的线段长度、角度大小或其他几何信息。这些信息将是你进行作图的基础。
3.确定作图步骤：基于题目要求和已知条件，你需要确定作图的步骤。这可能涉及到使用直尺和圆规来绘制线段、作角、作垂线等。
4. 执行作图步骤：在确定了作图步骤后，你需要按照步骤来执行。在执行过程中，你需要保持精确，确保每一步都符合题目要求和几何原理。
5. 检查答案：最后，你需要检查你的答案。这可能涉及到验证你的作图是否满足题目要求，或者验证你的作图是否符合几何原理。
1．（2023·江苏·中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)尺规作图：作 SKIPIF 1 < 0 ，使得圆心 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与边 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 （请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）作 SKIPIF 1 < 0 的角平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作 SKIPIF 1 < 0 ，即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，进而根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， SKIPIF 1 < 0 即为所求；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求出对角线 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)尺规作图：将四边形 SKIPIF 1 < 0 沿着经过 SKIPIF 1 < 0 点的某条直线翻折，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 边上的点 SKIPIF 1 < 0 处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)作图见解析
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，由勾股定理先求出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中再由勾股定理， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据轴对称性质，过点 SKIPIF 1 < 0 尺规作图作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线即可得到答案．
【详解】（1）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图所示：
【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．
3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，点M是 SKIPIF 1 < 0 上的一个定点．
(1)尺规作图：请在图1中作 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与射线 SKIPIF 1 < 0 相切于点M，同时与 SKIPIF 1 < 0 相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，则所作的 SKIPIF 1 < 0 的劣弧 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所围成图形的面积是_________．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，再过M点作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点O，接着过O点作 SKIPIF 1 < 0 于N点，然后以O点为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆，则 SKIPIF 1 < 0 满足条件；
（2）先利用切线的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据切线长定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据扇形的面积公式，利用 SKIPIF 1 < 0 的劣弧 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所围成图形的面积 SKIPIF 1 < 0 进行计算．
【详解】（1）解：如图， SKIPIF 1 < 0 为所作；
；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的劣弧 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所围成图形的面积
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
4．（2023·江苏盐城·中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)用直尺和圆规作图：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据边角边证明 SKIPIF 1 < 0 即可证明结论成立；
（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：所作图形如图，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键．
5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图， SKIPIF 1 < 0 分别表示门框和门所在位置，M，N分别是 SKIPIF 1 < 0 上的定点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度固定， SKIPIF 1 < 0 的大小可变．
(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置 SKIPIF 1 < 0 ．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中， SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，利用锐角三角函数求得结果；
（2）以点O为圆心、 SKIPIF 1 < 0 的长为半径画弧，与以点F为圆心、 SKIPIF 1 < 0 的长为半径的弧交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 得出门 SKIPIF 1 < 0 的位置；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时， SKIPIF 1 < 0 最大，即当垂线段为OM即垂足为M时， SKIPIF 1 < 0 最大，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）门的位置 SKIPIF 1 < 0 如图1中 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 所示．（画出其中一条即可）
（3）如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点O作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点H．
∵在门的开合过程中， SKIPIF 1 < 0 在不断变化，
∴当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 的值最大．
由图2可知，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 最大，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．
6．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①符合，图见详解；②图见详解
【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；
（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．
【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；环的“肉”的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴它们的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为 SKIPIF 1 < 0 的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径 SKIPIF 1 < 0 ，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接 SKIPIF 1 < 0 ，然后分别过点C、D作 SKIPIF 1 < 0 的平行线，交 SKIPIF 1 < 0 于点F、G，进而以 SKIPIF 1 < 0 为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．
7．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形 SKIPIF 1 < 0 ，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心 SKIPIF 1 < 0 作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段 SKIPIF 1 < 0 ，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ；
【问题再解】如图3，已知扇形 SKIPIF 1 < 0 ，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；
【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形 SKIPIF 1 < 0 所交的圆弧即为所求．
【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；
【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形 SKIPIF 1 < 0 所交的圆弧CD即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．
1．综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
(1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段 SKIPIF 1 < 0 ，将纸片沿线段 SKIPIF 1 < 0 折叠（如图2）
问题1：重叠部分的 SKIPIF 1 < 0 的形状______（是、不是）等腰三角形．
问题2：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则重叠部分 SKIPIF 1 < 0 的面积为______ SKIPIF 1 < 0
(2)折纸2：如图3，矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿着直线 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 的对应点 SKIPIF 1 < 0 落在边 SKIPIF 1 < 0 上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图 SKIPIF 1 < 0 中找出点 SKIPIF 1 < 0 的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)折纸3：如图4，矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 为射线 SKIPIF 1 < 0 上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿着直线 SKIPIF 1 < 0 折叠，折叠后点 SKIPIF 1 < 0 的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)是； SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
(3) SKIPIF 1 < 0 或15
【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理；
（1）①设纸片右下角的点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可；②过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点H，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 的长，再由三角形的面积公式计算，即可；
（2）以点B为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 长度为半径作圆交 SKIPIF 1 < 0 于点F，作 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，即可；
（3）分两种情况讨论：当点 SKIPIF 1 < 0 落在长方形纸片 SKIPIF 1 < 0 的外部时；当点 SKIPIF 1 < 0 落在长方形纸片 SKIPIF 1 < 0 的内部时结合锐角三角函数，即可求解．
【详解】（1）问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点，
∵纸片为矩形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
问题2：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 长度为半径作圆交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作图过程如下：
（3）当点 SKIPIF 1 < 0 落在矩形内部时，如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当点 SKIPIF 1 < 0 落在矩形外部时，如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 均落在格点上，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中线段 SKIPIF 1 < 0 上确定一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在图2中作出 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边上的高 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)在图3中作出 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，设 SKIPIF 1 < 0 与网格交于点 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角形的中位线定理解决问题即可；
（2）如图，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 即可；
（3）如图，取格点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】（1）解：如图，线段 SKIPIF 1 < 0 即为所求；
（2）解：如图，线段 SKIPIF 1 < 0 即为所求；
（3）解：如图，直线 SKIPIF 1 < 0 即为所求．
【点睛】本题考查作图，三角形的中位线定理，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以A为圆心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径作圆， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线与 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①试判断直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径为3，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，理由见解析；②6
【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①根据垂直平分线性质求得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切；
②在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 即可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）
如图， SKIPIF 1 < 0 为所作垂线；
（2）① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，理由如下∶
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切；
②在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
根据勾股定理，得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
4．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)尺规作图：在 SKIPIF 1 < 0 上找一点P，作 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都相切，与 SKIPIF 1 < 0 的切点为Q；（保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）结合切线的判定与性质，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径画圆即可．
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径画圆，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即为所求．
（2）解：由（1）可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
5．如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 相交于点O．
(1)给出下列信息：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是______，结论是_________．(填序号)
(2)在（1）的条件下，已知 SKIPIF 1 < 0 ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形 SKIPIF 1 < 0 ，顶点E，F分别在边 SKIPIF 1 < 0 上(保留作图痕迹，不要求写作法)．
【答案】(1)①②，③（答案不唯一）；见解析
(2)见解析
【分析】（1）条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，证明全等三角形，推出四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，即可证明结论成立；
（2）作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线分别交边 SKIPIF 1 < 0 于点E，F，则四边形为所作的 SKIPIF 1 < 0 菱形．
【详解】（1）解：条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，
选择：条件①②，结论③；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
选择：条件②③，结论①；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）解：菱形 SKIPIF 1 < 0 如图所示：
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，作线段的垂直平分线．掌握平行四边形的判定是解题的关键．
6．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．
(1)如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，请用无刻度直尺与圆规在 SKIPIF 1 < 0 边上作出一点O，使得 SKIPIF 1 < 0 过点C且与 SKIPIF 1 < 0 相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得 SKIPIF 1 < 0 过点C且与 SKIPIF 1 < 0 相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
②若此网格中每个小正方形边长为1，则 SKIPIF 1 < 0 的半径为________．（可利用图2备用图计算）
【答案】(1)见详解
(2)①见详解② SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；
（1）作出 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）①连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，交 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线于 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
②由 SKIPIF 1 < 0 可判定 SKIPIF 1 < 0 ，由全等三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可判定 SKIPIF 1 < 0 ，由相似三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是所求作的点；
（2）解：①如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是所求作的点；
②如图，
由图得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由作图过程得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故答案： SKIPIF 1 < 0 ．
7．问题探究：
（1）将一直角梯形 SKIPIF 1 < 0 放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形 SKIPIF 1 < 0 的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形 SKIPIF 1 < 0 分成面积相等的两部分；（画出一种即可）
（2）如图2， SKIPIF 1 < 0 ，点A、D在 SKIPIF 1 < 0 上，点B、C在 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交于点O，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．试说明： SKIPIF 1 < 0 ；
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形 SKIPIF 1 < 0 是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上， SKIPIF 1 < 0 边在x轴正半轴上， SKIPIF 1 < 0 平行于x轴， SKIPIF 1 < 0 的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在 SKIPIF 1 < 0 上找一点Q，使 SKIPIF 1 < 0 将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿 SKIPIF 1 < 0 修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出 SKIPIF 1 < 0 的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（3）①如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，平移 SKIPIF 1 < 0 ，使其经过点B，交x轴于点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点N，量出 SKIPIF 1 < 0 的中点Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 平分梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积，即可求解；
②由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据一次函数平移的规律可设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再把 SKIPIF 1 < 0 代入求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），
理由如下：如图，直线l分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点E、F，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为h，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）①如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，平移 SKIPIF 1 < 0 ，使其经过点B，交x轴于点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点N，
量出 SKIPIF 1 < 0 的中点Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置如图所示．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积，
∴ SKIPIF 1 < 0 平分五边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，
②由题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，故可设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
8．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点 SKIPIF 1 < 0 旋转一个角度 SKIPIF 1 < 0 ，再将旋转后的多边形以点 SKIPIF 1 < 0 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为 SKIPIF 1 < 0 ，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，顺 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；若逆时针旋转，记作 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，逆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
例如：如图①，先将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再将 SKIPIF 1 < 0 以点 SKIPIF 1 < 0 为位似中心缩小到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，这个变换记作 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，逆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)如图②， SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，顺 SKIPIF 1 < 0 ，2）得到 SKIPIF 1 < 0 ，用尺规作出 SKIPIF 1 < 0 ．（保留作图痕迹）
(2)如图③， SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，逆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，顺 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
(3)如图④，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 经过（2）中的变换得到的四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点 SKIPIF 1 < 0 （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①见解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）旋转 SKIPIF 1 < 0 ，可作等边 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 点和点 SKIPIF 1 < 0 对应点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而作出图形；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 位似， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位似得出对应角相等及对应边成比例，进而推出 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，从而推出四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（3）要使 SKIPIF 1 < 0 是正方形，应使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 的度数，得出 SKIPIF 1 < 0 的度数，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，于是作等边 SKIPIF 1 < 0 ，保证 SKIPIF 1 < 0 ，作直径 SKIPIF 1 < 0 ，保证 SKIPIF 1 < 0 ，这样得出作法．
【详解】（1）解：如图，
1．以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径画弧，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径画弧，两弧在 SKIPIF 1 < 0 的上方交于点 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径画弧，两弧交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
2．延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 就是求作的三角形；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 位似， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位似，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（3）解：如图，
1．以 SKIPIF 1 < 0 为边在 SKIPIF 1 < 0 上方作等边 SKIPIF 1 < 0 ，
2．作等边 SKIPIF 1 < 0 的外接圆 SKIPIF 1 < 0 ，作直径 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
3．作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
证明：由上知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 是正方形，应使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 作等边 SKIPIF 1 < 0 ，保证 SKIPIF 1 < 0 ，作直径 SKIPIF 1 < 0 ，保证 SKIPIF 1 < 0 ，这样得出作法；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，平行四边形的判定，尺规作图等知识，解决问题的关键是掌握并灵活运用相关知识．
9．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边 SKIPIF 1 < 0 上，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称点P是点D的“和谐点”．
(1)如图2， SKIPIF 1 < 0 ．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边 SKIPIF 1 < 0 上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
(2)如图3，以点A为原点， SKIPIF 1 < 0 为x轴正方向建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，C SKIPIF 1 < 0 ，点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且点P是点D的“和谐点”．
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围是 ．
【答案】(1)①详见解析；②详见解析
(2)①点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）①由 SKIPIF 1 < 0 考虑平角 SKIPIF 1 < 0 ，只要证明 SKIPIF 1 < 0 即可；
②分别做线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中垂线，两条中垂线交于点O，则O为 SKIPIF 1 < 0 的外心，以O为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，点Q即为所求．用同弧所对的圆周角相等证明；
（2）①通过 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的长度，然后求出直线AC的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用B、P两点间的距离公式解方程求出点P；②求出两个临界状态时的 SKIPIF 1 < 0 ：一是当点P与点C重合时；二是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 恰有一个交点时,即可求解．
【详解】（1）①证明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P是点D的“和谐点”；
②解：如图，分别做线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中垂线，交于点O，则O为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆交 SKIPIF 1 < 0 于点Q．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴Q也是点D的“和谐点”；
（2）解：① SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②当点P与点C重合时， SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 恰有两个交点，如图：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由①知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 恰有一个交点时，如图：
此时 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
综上，若满足条件的点P恰有2个， SKIPIF 1 < 0 长的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题在新定义下考查了三角形相似，解直角三角形，圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，理解定义，紧扣 SKIPIF 1 < 0 ,找出两个临界状态时的 SKIPIF 1 < 0 ：一是当点P与点C重合时；二是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 恰有一个交点时，用方程思想和数形结合的思想是解题的关键.
10．尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)【圆的作图】点P是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，在图1中作 SKIPIF 1 < 0 ，使它与 SKIPIF 1 < 0 的两边相切，点P是其中一个切点；
(2)点P是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，在图2中作 SKIPIF 1 < 0 ，使它满足以下条件：
①圆心O在 SKIPIF 1 < 0 上；②经过点P；③与边 SKIPIF 1 < 0 相切；
(3)【不可及点的作图】如图3，从墙 SKIPIF 1 < 0 边上引两条不平行的射线 SKIPIF 1 < 0 （交点在墙 SKIPIF 1 < 0 的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据尺规作图角平分线、垂直平分线作出结果；
（2）根据尺规作图角平分线、垂直平分线、已知线段作出结果，有多种不同做法．
（3）根据尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线作出结果，有多种不同做法．
【详解】（1）解：
①过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
（2）法1：①过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
②在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，
③作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0
（或作 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ）；
④以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法2：①过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
（或过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；或作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ）；
④以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法3：①反向延长射线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ；
③过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
（或过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ）；
⑤以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法4：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作⊙ SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法5：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作⊙ SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
（3）法1：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），连接 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，两平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③同样方法，得点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作直线 SKIPIF 1 < 0 ；则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法2：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），连接 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，两平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，两平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作直线 SKIPIF 1 < 0 ；则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法3：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），连接 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，两平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
④过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ；
则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法4：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ；则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法5：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外）；
②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 反向延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作线段 SKIPIF 1 < 0 平分线 SKIPIF 1 < 0 ；则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法6: ①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ；
则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法7: ①在 SKIPIF 1 < 0 上任取两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作⊙ SKIPIF 1 < 0 ；
②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交⊙ SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ；
则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线，其中熟练运用作图方法并保留作图痕迹是解题关键．
通用的解题思路：
尺规作图的解题思路主要包括以下几个步骤：
1. 理解题目要求：首先，你需要清楚理解题目要求你做什么。这可能涉及到绘制特定的图形，如等边三角形、正方形或圆，或者可能涉及到构造特定的线段或角度。
2. 分析已知条件：接下来，你需要分析题目给出的已知条件。这可能包括特定的线段长度、角度大小或其他几何信息。这些信息将是你进行作图的基础。
3.确定作图步骤：基于题目要求和已知条件，你需要确定作图的步骤。这可能涉及到使用直尺和圆规来绘制线段、作角、作垂线等。
4. 执行作图步骤：在确定了作图步骤后，你需要按照步骤来执行。在执行过程中，你需要保持精确，确保每一步都符合题目要求和几何原理。
5. 检查答案：最后，你需要检查你的答案。这可能涉及到验证你的作图是否满足题目要求，或者验证你的作图是否符合几何原理。
1．（2023·江苏·中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)尺规作图：作 SKIPIF 1 < 0 ，使得圆心 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与边 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 （请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）作 SKIPIF 1 < 0 的角平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作 SKIPIF 1 < 0 ，即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，进而根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， SKIPIF 1 < 0 即为所求；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求出对角线 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)尺规作图：将四边形 SKIPIF 1 < 0 沿着经过 SKIPIF 1 < 0 点的某条直线翻折，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 边上的点 SKIPIF 1 < 0 处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)作图见解析
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，由勾股定理先求出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中再由勾股定理， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据轴对称性质，过点 SKIPIF 1 < 0 尺规作图作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线即可得到答案．
【详解】（1）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图所示：
【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．
3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，点M是 SKIPIF 1 < 0 上的一个定点．
(1)尺规作图：请在图1中作 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与射线 SKIPIF 1 < 0 相切于点M，同时与 SKIPIF 1 < 0 相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，则所作的 SKIPIF 1 < 0 的劣弧 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所围成图形的面积是_________．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，再过M点作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点O，接着过O点作 SKIPIF 1 < 0 于N点，然后以O点为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆，则 SKIPIF 1 < 0 满足条件；
（2）先利用切线的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据切线长定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据扇形的面积公式，利用 SKIPIF 1 < 0 的劣弧 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所围成图形的面积 SKIPIF 1 < 0 进行计算．
【详解】（1）解：如图， SKIPIF 1 < 0 为所作；
；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的劣弧 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所围成图形的面积
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
4．（2023·江苏盐城·中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)用直尺和圆规作图：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据边角边证明 SKIPIF 1 < 0 即可证明结论成立；
（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：所作图形如图，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键．
5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图， SKIPIF 1 < 0 分别表示门框和门所在位置，M，N分别是 SKIPIF 1 < 0 上的定点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度固定， SKIPIF 1 < 0 的大小可变．
(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置 SKIPIF 1 < 0 ．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中， SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，利用锐角三角函数求得结果；
（2）以点O为圆心、 SKIPIF 1 < 0 的长为半径画弧，与以点F为圆心、 SKIPIF 1 < 0 的长为半径的弧交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 得出门 SKIPIF 1 < 0 的位置；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时， SKIPIF 1 < 0 最大，即当垂线段为OM即垂足为M时， SKIPIF 1 < 0 最大，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）门的位置 SKIPIF 1 < 0 如图1中 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 所示．（画出其中一条即可）
（3）如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点O作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点H．
∵在门的开合过程中， SKIPIF 1 < 0 在不断变化，
∴当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 的值最大．
由图2可知，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 最大，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．
6．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①符合，图见详解；②图见详解
【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；
（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．
【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；环的“肉”的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴它们的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为 SKIPIF 1 < 0 的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径 SKIPIF 1 < 0 ，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接 SKIPIF 1 < 0 ，然后分别过点C、D作 SKIPIF 1 < 0 的平行线，交 SKIPIF 1 < 0 于点F、G，进而以 SKIPIF 1 < 0 为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．
7．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形 SKIPIF 1 < 0 ，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心 SKIPIF 1 < 0 作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段 SKIPIF 1 < 0 ，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ；
【问题再解】如图3，已知扇形 SKIPIF 1 < 0 ，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；
【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形 SKIPIF 1 < 0 所交的圆弧即为所求．
【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；
【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形 SKIPIF 1 < 0 所交的圆弧CD即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．
1．综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
(1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段 SKIPIF 1 < 0 ，将纸片沿线段 SKIPIF 1 < 0 折叠（如图2）
问题1：重叠部分的 SKIPIF 1 < 0 的形状______（是、不是）等腰三角形．
问题2：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则重叠部分 SKIPIF 1 < 0 的面积为______ SKIPIF 1 < 0
(2)折纸2：如图3，矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿着直线 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 的对应点 SKIPIF 1 < 0 落在边 SKIPIF 1 < 0 上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图 SKIPIF 1 < 0 中找出点 SKIPIF 1 < 0 的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)折纸3：如图4，矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 为射线 SKIPIF 1 < 0 上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿着直线 SKIPIF 1 < 0 折叠，折叠后点 SKIPIF 1 < 0 的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)是； SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
(3) SKIPIF 1 < 0 或15
【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理；
（1）①设纸片右下角的点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可；②过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点H，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 的长，再由三角形的面积公式计算，即可；
（2）以点B为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 长度为半径作圆交 SKIPIF 1 < 0 于点F，作 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，即可；
（3）分两种情况讨论：当点 SKIPIF 1 < 0 落在长方形纸片 SKIPIF 1 < 0 的外部时；当点 SKIPIF 1 < 0 落在长方形纸片 SKIPIF 1 < 0 的内部时结合锐角三角函数，即可求解．
【详解】（1）问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点，
∵纸片为矩形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
问题2：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 长度为半径作圆交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作图过程如下：
（3）当点 SKIPIF 1 < 0 落在矩形内部时，如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当点 SKIPIF 1 < 0 落在矩形外部时，如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 均落在格点上，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中线段 SKIPIF 1 < 0 上确定一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在图2中作出 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边上的高 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)在图3中作出 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，设 SKIPIF 1 < 0 与网格交于点 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角形的中位线定理解决问题即可；
（2）如图，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 即可；
（3）如图，取格点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】（1）解：如图，线段 SKIPIF 1 < 0 即为所求；
（2）解：如图，线段 SKIPIF 1 < 0 即为所求；
（3）解：如图，直线 SKIPIF 1 < 0 即为所求．
【点睛】本题考查作图，三角形的中位线定理，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以A为圆心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径作圆， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线与 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①试判断直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径为3，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，理由见解析；②6
【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①根据垂直平分线性质求得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切；
②在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 即可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）
如图， SKIPIF 1 < 0 为所作垂线；
（2）① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，理由如下∶
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切；
②在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
根据勾股定理，得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
4．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)尺规作图：在 SKIPIF 1 < 0 上找一点P，作 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都相切，与 SKIPIF 1 < 0 的切点为Q；（保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）结合切线的判定与性质，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径画圆即可．
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径画圆，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即为所求．
（2）解：由（1）可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
5．如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 相交于点O．
(1)给出下列信息：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是______，结论是_________．(填序号)
(2)在（1）的条件下，已知 SKIPIF 1 < 0 ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形 SKIPIF 1 < 0 ，顶点E，F分别在边 SKIPIF 1 < 0 上(保留作图痕迹，不要求写作法)．
【答案】(1)①②，③（答案不唯一）；见解析
(2)见解析
【分析】（1）条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，证明全等三角形，推出四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，即可证明结论成立；
（2）作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线分别交边 SKIPIF 1 < 0 于点E，F，则四边形为所作的 SKIPIF 1 < 0 菱形．
【详解】（1）解：条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，
选择：条件①②，结论③；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
选择：条件②③，结论①；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）解：菱形 SKIPIF 1 < 0 如图所示：
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，作线段的垂直平分线．掌握平行四边形的判定是解题的关键．
6．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．
(1)如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，请用无刻度直尺与圆规在 SKIPIF 1 < 0 边上作出一点O，使得 SKIPIF 1 < 0 过点C且与 SKIPIF 1 < 0 相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得 SKIPIF 1 < 0 过点C且与 SKIPIF 1 < 0 相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）
②若此网格中每个小正方形边长为1，则 SKIPIF 1 < 0 的半径为________．（可利用图2备用图计算）
【答案】(1)见详解
(2)①见详解② SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；
（1）作出 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）①连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，交 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线于 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
②由 SKIPIF 1 < 0 可判定 SKIPIF 1 < 0 ，由全等三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可判定 SKIPIF 1 < 0 ，由相似三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是所求作的点；
（2）解：①如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是所求作的点；
②如图，
由图得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由作图过程得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故答案： SKIPIF 1 < 0 ．
7．问题探究：
（1）将一直角梯形 SKIPIF 1 < 0 放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形 SKIPIF 1 < 0 的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形 SKIPIF 1 < 0 分成面积相等的两部分；（画出一种即可）
（2）如图2， SKIPIF 1 < 0 ，点A、D在 SKIPIF 1 < 0 上，点B、C在 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交于点O，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．试说明： SKIPIF 1 < 0 ；
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形 SKIPIF 1 < 0 是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上， SKIPIF 1 < 0 边在x轴正半轴上， SKIPIF 1 < 0 平行于x轴， SKIPIF 1 < 0 的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在 SKIPIF 1 < 0 上找一点Q，使 SKIPIF 1 < 0 将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿 SKIPIF 1 < 0 修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出 SKIPIF 1 < 0 的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（3）①如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，平移 SKIPIF 1 < 0 ，使其经过点B，交x轴于点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点N，量出 SKIPIF 1 < 0 的中点Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 平分梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积，即可求解；
②由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据一次函数平移的规律可设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再把 SKIPIF 1 < 0 代入求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），
理由如下：如图，直线l分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点E、F，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为h，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）①如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，平移 SKIPIF 1 < 0 ，使其经过点B，交x轴于点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点N，
量出 SKIPIF 1 < 0 的中点Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置如图所示．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积，
∴ SKIPIF 1 < 0 平分五边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，
②由题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，故可设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
8．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点 SKIPIF 1 < 0 旋转一个角度 SKIPIF 1 < 0 ，再将旋转后的多边形以点 SKIPIF 1 < 0 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为 SKIPIF 1 < 0 ，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，顺 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；若逆时针旋转，记作 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，逆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
例如：如图①，先将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再将 SKIPIF 1 < 0 以点 SKIPIF 1 < 0 为位似中心缩小到原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，这个变换记作 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，逆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)如图②， SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，顺 SKIPIF 1 < 0 ，2）得到 SKIPIF 1 < 0 ，用尺规作出 SKIPIF 1 < 0 ．（保留作图痕迹）
(2)如图③， SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，逆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，顺 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
(3)如图④，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 经过（2）中的变换得到的四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点 SKIPIF 1 < 0 （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①见解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）旋转 SKIPIF 1 < 0 ，可作等边 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 点和点 SKIPIF 1 < 0 对应点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而作出图形；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 位似， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位似得出对应角相等及对应边成比例，进而推出 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，从而推出四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（3）要使 SKIPIF 1 < 0 是正方形，应使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 的度数，得出 SKIPIF 1 < 0 的度数，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，于是作等边 SKIPIF 1 < 0 ，保证 SKIPIF 1 < 0 ，作直径 SKIPIF 1 < 0 ，保证 SKIPIF 1 < 0 ，这样得出作法．
【详解】（1）解：如图，
1．以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径画弧，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径画弧，两弧在 SKIPIF 1 < 0 的上方交于点 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径画弧，两弧交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
2．延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 就是求作的三角形；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 位似， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位似，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（3）解：如图，
1．以 SKIPIF 1 < 0 为边在 SKIPIF 1 < 0 上方作等边 SKIPIF 1 < 0 ，
2．作等边 SKIPIF 1 < 0 的外接圆 SKIPIF 1 < 0 ，作直径 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
3．作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
证明：由上知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 是正方形，应使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 作等边 SKIPIF 1 < 0 ，保证 SKIPIF 1 < 0 ，作直径 SKIPIF 1 < 0 ，保证 SKIPIF 1 < 0 ，这样得出作法；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，平行四边形的判定，尺规作图等知识，解决问题的关键是掌握并灵活运用相关知识．
9．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边 SKIPIF 1 < 0 上，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称点P是点D的“和谐点”．
(1)如图2， SKIPIF 1 < 0 ．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边 SKIPIF 1 < 0 上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
(2)如图3，以点A为原点， SKIPIF 1 < 0 为x轴正方向建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，C SKIPIF 1 < 0 ，点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且点P是点D的“和谐点”．
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围是 ．
【答案】(1)①详见解析；②详见解析
(2)①点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）①由 SKIPIF 1 < 0 考虑平角 SKIPIF 1 < 0 ，只要证明 SKIPIF 1 < 0 即可；
②分别做线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中垂线，两条中垂线交于点O，则O为 SKIPIF 1 < 0 的外心，以O为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，点Q即为所求．用同弧所对的圆周角相等证明；
（2）①通过 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的长度，然后求出直线AC的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用B、P两点间的距离公式解方程求出点P；②求出两个临界状态时的 SKIPIF 1 < 0 ：一是当点P与点C重合时；二是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 恰有一个交点时,即可求解．
【详解】（1）①证明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P是点D的“和谐点”；
②解：如图，分别做线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中垂线，交于点O，则O为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆交 SKIPIF 1 < 0 于点Q．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴Q也是点D的“和谐点”；
（2）解：① SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②当点P与点C重合时， SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 恰有两个交点，如图：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由①知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 恰有一个交点时，如图：
此时 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
综上，若满足条件的点P恰有2个， SKIPIF 1 < 0 长的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题在新定义下考查了三角形相似，解直角三角形，圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，理解定义，紧扣 SKIPIF 1 < 0 ,找出两个临界状态时的 SKIPIF 1 < 0 ：一是当点P与点C重合时；二是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆与线段 SKIPIF 1 < 0 恰有一个交点时，用方程思想和数形结合的思想是解题的关键.
10．尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)【圆的作图】点P是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，在图1中作 SKIPIF 1 < 0 ，使它与 SKIPIF 1 < 0 的两边相切，点P是其中一个切点；
(2)点P是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，在图2中作 SKIPIF 1 < 0 ，使它满足以下条件：
①圆心O在 SKIPIF 1 < 0 上；②经过点P；③与边 SKIPIF 1 < 0 相切；
(3)【不可及点的作图】如图3，从墙 SKIPIF 1 < 0 边上引两条不平行的射线 SKIPIF 1 < 0 （交点在墙 SKIPIF 1 < 0 的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据尺规作图角平分线、垂直平分线作出结果；
（2）根据尺规作图角平分线、垂直平分线、已知线段作出结果，有多种不同做法．
（3）根据尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线作出结果，有多种不同做法．
【详解】（1）解：
①过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
（2）法1：①过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
②在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，
③作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0
（或作 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ）；
④以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法2：①过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
（或过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；或作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ）；
④以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法3：①反向延长射线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ；
③过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
（或过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ）；
⑤以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法4：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作⊙ SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法5：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作⊙ SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作圆；
则⊙ SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
（3）法1：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），连接 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，两平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③同样方法，得点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作直线 SKIPIF 1 < 0 ；则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法2：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），连接 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，两平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，两平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作直线 SKIPIF 1 < 0 ；则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法3：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），连接 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，两平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
④过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ；
则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法4：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ；则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法5：①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外）；
②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 反向延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作线段 SKIPIF 1 < 0 平分线 SKIPIF 1 < 0 ；则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法6: ①在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；
③作 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ；
则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
法7: ①在 SKIPIF 1 < 0 上任取两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （除 SKIPIF 1 < 0 外），以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作⊙ SKIPIF 1 < 0 ；
②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交⊙ SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④作线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 ；
则直线 SKIPIF 1 < 0 为所求的图形．
【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线，其中熟练运用作图方法并保留作图痕迹是解题关键．
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