2024年中考数学压轴题型（浙江专用）压轴题02 反比例函数综合压轴题（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（浙江专用）压轴题02 反比例函数综合压轴题（含解析），共30页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

01 反比例函数k的几何意义的综合
1．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 12 ，a的值为 9 ．
【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解答】解：设A（m，），
∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
2．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 24 ．
【分析】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解决．
【解答】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
3．（2023秋•赵县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线 上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．
①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为 （，﹣1） ；
②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为 12 ．
【分析】连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，由正方形的对角线相等且互相垂直平分，得OA＝OC＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝45°，易证Rt△AOM≌Rt△ODN，再依据全等三角形的性质得OM＝DN，AM＝ON．
①根据已知条件，求出点A坐标为（1，），即可求出点D的坐标．
②作EF⊥OA于点F，当CE平分∠ACD时，根据角平分线的性质易证ED＝EF，在Rt△AEF中，∠OAD＝45°，所以AE＝EF＝ED，因为AM⊥x轴，DN⊥x轴，易证△AME∽△DNE，，又因为OM＝DN，所以，设OM＝x，则AM＝x，x•x＝，解得x＝，所以OA＝，AC＝，OD＝，求得S正方形ABCD＝＝12．
【解答】解：连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝45°，
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AMO＝∠OND＝90°，
∵∠AOM+∠DON＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠DON＝∠OAM，
∴△AOM≌△ODN（AAS），
∴OM＝DN，AM＝ON，
①将A（1，m）代入，
得m＝，
∴A（1，），
∴OM＝DN＝1，AM＝ON＝，
∴D（，﹣1），
故答案为：（，﹣1）．
②作EF⊥OA于点F，
∵CE平分∠ACD，EF⊥OA，ED⊥CD，
∴ED＝EF，
在Rt△AEF中，∠OAD＝45°，
∴AE＝EF，
∴AE＝ED，
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AME＝∠DNE＝90°，
又∵∠AEM＝∠DEN，
∴△AME∽△DNE，
∴，
∵OM＝DN，
∴，
设OM＝x，则AM＝x，
∵点A在函数上，
∴x•x＝，
解得x＝，
∴OA＝，AC＝，OD＝，
∴S正方形ABCD＝＝12．
故答案为：12．
02 反比例函数与三角形相似
1．（2023•浙江模拟）如图，点P是反比例函数y1＝（x＞0）上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若OP＝2AB，∠OBA＝90°，则点P的坐标为 （，） ．
【分析】延长PA交x轴于C，延长PB交y轴于D，设点P（a，b），可表示出A和B两点坐标，计算得出＝，从而得出△PAB∽△PCD，进而推出AB∥CD，根据OP＝2AB，进而得出AB是△PCD的中位线，再证得△PAB∽△DBO，从而得出a，b的关系式，结合a•b＝3，从而求得a，b的值，进而得出结果．
【解答】解：如图，延长PA交x轴于C，延长PB交y轴于点D，
设点P（a，b），
∴A（a，），B（，b），a•b＝3，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠APB＝∠CPD，
∴△PAB∽△PCD，
∴∠PAB＝∠PCD，
∴AB∥CD，
∴△PBA∽△PDC，
∴＝，
∵∠PDO＝∠COD＝∠PCO＝90°，
∴四边形CODP是矩形，
∴AP＝CD，
∴＝＝，
∴B（，b），A（a，），
∵∠APB＝∠BDO＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝90°，
∴∠ABO＝90°，
∴∠DBO+∠ABP＝90°，
∴∠BOD＝∠ABP，
∴△BOD∽△ABP，
∴＝，
∴＝，
∴b2＝，
∵a•b＝3，
∴a＝，b＝，
故答案为：（，）．
2．（2023•余姚市校级模拟）如图，点A在y＝（x＞0）的图象上，点B，C在y＝（x＜0）的图象上（C在B左边），直线AB经过原点O，直线AC交y轴于点M，直线BC交x轴于点N．则＝ ；＝m，＝n，则＝ ．
【分析】作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，再设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），从而可以表示出AD＝a，OE＝﹣b CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，再根据三角形相似的判定定理得出△BEO∽△ODA，△CGM∽△ADM，△NCF∽△NBE，可分别表示出OA：OB，MC：MA，NB：NC，再由直线AB经过原点O，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．
【解答】解：如图所示，作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，
设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），
则AD＝a，OE＝﹣b，CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，
∵BE⊥x轴，
∴BE∥y轴，
∴∠EBO＝∠BOG，
∵∠BOG＝∠DOA，
∴∠EBO＝∠DOA，
∵AD⊥y轴，
∴∠BEO＝∠ODA＝90°，
∴△BEO∽△ODA，
∴OA：OB＝AD：OE＝﹣，
∵AD⊥y轴，CG⊥y轴，
∴△CGM∽△ADM，
∴＝＝﹣＝m，
∵BE⊥x，CF⊥x轴，
∴△NCF∽△NBE，
∴＝＝＝＝n，
∴＝＝﹣，
∵直线AB经过原点O，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
由图象可知，a＞0，c＜b＜0，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝﹣＝，＝﹣＝，
故答案为：；．
3．（2023•海曙区校级一模）如图，点A，B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，OB与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，AC∥y轴，AB⊥OB，则tan∠AOB＝ ．
【分析】如图，过点B作BF⊥AC于点F，作BE⊥x轴于点E，可证得△OBE∽△BCF，△BCF∽△ABF，设A（a，），B（b，），则C（a，），可得：AF＝﹣，BF＝b﹣a，CF＝﹣，BE＝，OE＝b，利用相似三角形性质可得：b＝2a，a2＝k，再由△ABF∽△OBE，可得＝＝＝＝＝，运用三角函数定义即可求得答案．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥AC于点F，作BE⊥x轴于点E，
∵AC∥y轴，BE⊥x轴，x轴⊥y轴，
∴AC∥BE，
∴∠ACB＝∠OBE，
∵∠OEB＝∠BEC＝90°，
∴△OBE∽△BCF，
∴＝，
∴BE•BF＝OE•CF，
∵AB⊥OB，
∴∠ABF+∠CBF＝90°
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ABF＝∠BCF，
∵∠CFB＝∠BFA＝90°，
∴△BCF∽△ABF，
∴＝，
∴BF2＝AF•CF，
设A（a，），B（b，），则C（a，），
∴AF＝﹣，BF＝b﹣a，CF＝﹣，BE＝，OE＝b，
∴，
解得：，
∴BF＝2a﹣a＝a，BE＝＝，
∵△OBE∽△BCF，△BCF∽△ABF，
∴△ABF∽△OBE，
∴＝＝＝＝＝，
在Rt△OAB中，tan∠AOB＝＝．
故答案为：．
03 反比例函数与特殊图形的综合
1．（2023春•北仑区校级月考）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，点A为x轴正半轴上一点，∠OBA＝45°，BC⊥x轴于点C，将△OBC沿OB翻折得到△OBD，点D正好落在y＝（x＜0）的图象上，已知C（4，0），A（10，0），则a＝ 48 ，b＝ ．
【分析】因为∠OBA＝45°，可构造一个圆心为P的圆，使∠OPA＝90°，则点B在圆P上，借助垂径定理可求出点B坐标．过点B作y轴垂线，借助于全等和勾股定理可求出点D的坐标．
【解答】解：在直线x＝5上取点P（5，5），以P为圆心作⊙P，且经过O，A两点，
连接OP，AP，因为A（10，0），且P（5，5），
所以∠OPA＝90°，
又∠OBA＝45°，
所以点B在⊙P上．
连接PB，过点P作PE⊥BC于E，
则EC＝5．
又PB＝PO＝，
在Rt△BEP中，PE＝1，PB＝，
所以BE＝7，则BC＝7+5＝12，
故B（4，12）．
所以a＝4×12＝48．
过点B作y轴垂线，垂足为H，记BD与y轴交点为F．
则∠ODF＝∠BHF＝90°，
又BH＝OD＝4，且∠DFO＝∠BFH
所以△ODF≌△BHF，则BF＝OF．
在Rt△BHF中，
42+HF2＝（12﹣HF）2，得HF＝．
则DF＝，OF＝．
过点D作y轴垂线，垂足为M．
则由面积法可知：，得DM＝．
在Rt△ODM中，由勾股定理求得：MO＝．
所以D（，）．
所以b＝＝．
故答案为：48，．
2．（2023春•兰溪市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（2，b），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．

（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（3）若点M是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5得：a＝2，b＝3；进而把A（3，2）代入得k＝6，即可求解；
（2）根据CD∥AB，设CD的解析式为y＝﹣x+m，依题意得出D的坐标为（1，0），进而可得CD解析式为y＝﹣x+1，进而得出，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），故△BEC和△COD都等腰直角三角形，得出∠BCD＝90°，即可得出结论；
（3）①当∠MAD＝90°时，根据图形可得M（5，1.2），②当∠AMD＝90°时，由图得M（3+n，n），代入反比例数解析式n（（3+n）＝6，解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：（1）把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5得：a＝2，b＝3；
把A（3，2）代入得k＝6，
∴所求反比例函数解析式为，
（2）∵CD∥AB，
∴设CD的解析式为y＝﹣x+m，
又∵OD＝1，D在x轴的正半轴上，
∴D的坐标为（1，0），
以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：
CD解析式为y＝﹣x+1，
∴C（0，1），
∴A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
∴，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），故△BEC和△COD都等腰直角三角形，如图1，
∴∠ECB＝∠OCD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴▱ABCD是矩形；
（3）①当∠MAD＝90°时，由图2得：M（5，n），
∴5n＝6，则n＝1.2，
∴M（5，1.2）；
②当∠AMD＝90°时，由图3得M（3+n，n），
∴n（（3+n）＝6，
解得：（舍去），
∴M（，），
综上所述：M的坐标为（5，1.2），（，）．
04 反比例函数与新定义
1．（2023春•东阳市期末）定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．
（1）已知点A（﹣2，0）
①若点B的坐标为（3，2），则点A，B的“关联矩形”的周长为 14 ．
②若点C在直线y＝4上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线AC的解析式．
（2）已知点M（1，﹣2），点N（4，3），若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，求k的取值范围．
【分析】（1）①画出点A，B的“关联矩形”，确定长和宽，最后确定周长；
②画出点A，C的“关联矩形”为正方形的图形，点C有两个位置，分别求直线AC的解析式；
（2）画出点M、N的“关联矩形”，若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，观察函数中k的变化，找到k的临界值，即函数的图象过点N（4，3、（4，﹣2）时，进而求出k的取值范围．
【解答】解：（1）①点A，B的“关联矩形”的长为3﹣（﹣2）＝5，宽为2﹣0＝2，
∴周长为（5+2）×2＝14．
故答案为：14．
②点A，C的“关联矩形”为正方形时点C有两个，C1（2，4），C2（﹣6，4），如图所示：
设直线AC1的解析式为y＝k1x+b1，则
，
∴，
∴直线AC1的解析式为y＝x+2；
设直线AC2的解析式为y＝k2x+b2，则
，
∴，
∴直线AC2的解析式为y＝﹣x﹣2；
∴直线AC的解析式为y＝x+2或y＝﹣x﹣2．
（2）如图所示：当k＞0时，若函数的图象过点N（4，3），则k＝12，所以0＜k≤12；
当k＜0时，若函数的图象过点（4，﹣2），则k＝﹣8，所以﹣8≤k＜0；
∴若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，k的取值范围为﹣8≤k＜0或0＜k≤12．
2．（2023•婺城区一模）定义：在平面直角坐标系中，直线x＝m与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x＝m的“迭代函数“．例如：图1是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“迭代函数“的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数“的解析式为y＝．
（1）写出函数y＝x+1关于直线x＝1的“迭代函数“的解析式为 y＝ ．
（2）若函数y＝﹣x2+4x+3关于直线x＝m的“迭代函数“图象经过（﹣1，0），则m＝ ．
（3）已知正方形ABCD的顶点分别为：
A（a，a），B（a，﹣a），C（﹣a，﹣a），D（﹣a，a），其中a＞0．
①若函数y＝关于直线x＝﹣2的“迭代函数“的图象与正方形ABCD有3个公共点，则a＝ 3 ；
②若a＝6，函数y＝关于直线x＝n的“迭代函数“的图象与正方形ABCD有4个公共点，则n的取值范围为 0＜n＜1或﹣1＜n＜0或n＜﹣ ．
【分析】（1）根据“迭代函数”的定义画出函数y＝x+1的“迭代函数”的图象，设点A的横坐标为2，求出点A关于直线x＝1的对称点，可得出结论；
（2）根据题意可得，（﹣1，0）关于直线x＝m的对称点在原抛物线上，代入即可得出m的值；
（3）①根据题意，作出此“迭代函数”，结合图象可得出结论；
②根据题意，作出此“迭代函数”，结合图象可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，设点C为直线x＝1与函数的交点，点A（2，3），
∴C（1，2），点A关于直线x＝1的对称点为B（0，3），
设BC所在直线的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝；
故答案为：y＝；
（2）根据题意可得，（﹣1，0）关于直线x＝m的对称点（2m+1，0）在原抛物线上，
∴﹣（2m+1）2+4（2m+1）+3＝0，
解得m＝；
故答案为：；
（3）①如图2﹣1，当正方形的边BC过点（﹣2，﹣3）时，a＝3，此时正方形ABCD与此迭代函数有三个交点；
如图2﹣2，当a＞3时，正方形ABCD与此迭代函数有四个交点，当a继续增大，交点超过4个，不符合题意；
故答案为：3；
②如图3﹣1，当n＝﹣1时，此迭代函数与正方形ABCD有5个交点，
如图3﹣2时，当﹣1＜n＜0时，此迭代函数与正方形ABCD有4个交点，符合条件；
如图3﹣3时，当0＜n＜1时，此迭代函数与正方形ABCD有4个交点，符合题意；
当n＝1时，此迭代函数与正方形ABCD有3个交点，其中一个交点坐标为（1，6）；
如图3﹣4，当n＝﹣时，此迭代函数过点D，迭代函数与正方形ABCD有5个交点，
当n＜﹣时，迭代函数与正方形ABCD有5个交点，符合题意；
故答案为：0＜n＜1或﹣1＜n＜0或n＜﹣．
1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，DB⊥x轴于点B，AC所在直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，已知直线AC的解析式为y＝x+b，矩形ABCD的面积为120，则k的值是（ ）
A．﹣20B．C．﹣40D．
【分析】过点A作AM⊥BD于点M，设AC与y轴交于点G，根据题意可知，△EAM∽△EFB，△GOF∽△EBF，可得EM：AF＝EB：FB＝GO：FO，由直线AC的解析式为y＝x+b，可得G（0，b），F（﹣b，0），则OG＝b，OF＝﹣b，所以EM：AF＝GO：FO＝，设EM＝3a，则AM＝4a，由矩形的性质可得AE＝EB＝5a，根据矩形ABCD的面积为120，列出方程，可得a2＝3；根据题意，点A，E同时在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则E（，5a），A（﹣4a，5a﹣3a），即A（﹣4a，2a），所以k＝（﹣4a）•2a，由此可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，设AC与y轴交于点G，
∵DB⊥x轴，
∴AM∥FB，DB∥GO，
∴△EAM∽△EFB，△GOF∽△EBF，
∴EM：AM＝EB：FB，GO：FO＝EB：FB，
∴EM：AM＝GO：FO，
∵直线AC的解析式为y＝x+b，
∴G（0，b），F（﹣b，0），
∴OG＝b，OF＝b，
∴EM：AM＝GO：FO＝，
设EM＝3a，则AM＝4a，
∴AE＝5a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AE＝EB＝5a，
∵矩形ABCD的面积为120，
∴2×BD•AM＝120，即10a•4a＝120，
解得a2＝3，
根据题意，点A，E同时在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
则E（，5a），A（﹣4a，5a﹣3a），即A（﹣4a，2a）．
∴k＝（﹣4a）•2a，
解得k＝﹣＝﹣40．
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，点B（a，b）是反比例函数在第三象限图象上的一个动点，以B为顶点，原点为对称中心作矩形ABCD，AB⊥x轴于点E，过点O的直线MQ分别交AD、BC边于点M、Q，以MQ为一边作矩形MNPQ，且直线PN恰好经过点E，如果点B在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形MNPQ的面积的大小变化情况是（ ）
A．先减小后增大B．先增大后减小
C．一直不变D．一直减小
【分析】连接EM、EH，先证明四边形AEOG是矩形，再利用反比例函数的性质得到矩形BHOE的面积，△OQE的面积，从而推出四边形MNPQ的面积即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD与y轴交于点G，BC与y轴交于点H，连接EM、EQ，
∵四边形ABCD是以原点为对称中心的矩形，
∴OM＝OQ，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，OG＝OH，OF＝OE，
∵AB⊥x轴，
∴∠OEA＝∠OEB＝∠GOE＝90°，
∴∠OEA+∠A＝180°，∠AEO+∠GOE＝180°，
∴AB∥y轴，AD∥x轴，
∴四边形AEOG是矩形，
同理可证：四边形BHOE，四边形HCFO，四边形FDGO都是矩形，
∵点B在反比例函数图象上，
∴S矩形BHOE＝4，
∴S△OQE＝S矩形BHOE＝2，
∵OM＝OQ，
∴S△EQM＝2S△OQE＝4，
∵四边形MNPQ是矩形，
∴矩形MNPQ的面积2S△EQM＝8，
∴矩形MNPQ的面积大小不变．
故选：C．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于原点O，已知点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，若BD＝2AC，则k＝ ﹣1 ．
【分析】过点B作BE⊥x轴，过点A作AF⊥x轴，证明△BEO～△AFO，推导出＝，再利用面积比结合k的几何意义，计算出k的值．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴，过点A作AF⊥x轴，如图：
∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于原点O，
∴OB⊥OA，∠AOB＝90°，
∵∠AOF+∠FAO＝90°，∠AOF+∠BOE＝90°，
∴∠FAO＝∠BOE，
∴△BEO～△AFO，
又∵BD＝2AC，
∴＝，
∴＝，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴|xy|＝4，
∴S△BOE＝|xy|＝2，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴|xy|＝|k|，
∴S△AOF＝|k|，
∴＝＝，
∴|k|＝1，
∴k＝1（舍）或k＝﹣1，
故答案为：k＝﹣1．
4．如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A，另有一次函数y＝﹣x+b与y1、y2图象分别交于B、C两点（点C在直线OA的上方），且OB2﹣BC2＝，则k＝ ．
【分析】设直线BC与y轴交于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥BE于点F，由此可得△OBD是等腰三角形，△BCF含30°的直角三角形，设BF＝t，则可表达点C的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点C在反比例函数上，可得出结论．
【解答】解：如图，设直线BC与y轴交于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
令x＝0，
∴y＝b，
∴D（0，b），
令y＝x＝﹣x+b，
∴x＝b，
∴B（b，b），
∴DE＝OE＝b，
∴△OBD是等腰三角形，
∵OE＝b，BE＝b，
∴OB＝b，
∴∠BOE＝∠BDE＝30°，
∴∠EBD＝∠ABE＝60°，
过点C作CF⊥BE于点F，
∴∠BCF＝30°，
设BF＝t，则CF＝t，BC＝2t，
∴C（b﹣t，b+t），
∵OB2﹣BC2＝，
∴（b）2﹣4t2＝，
则t2＝b2﹣，
∵点C（b﹣t，b+t）在反比例函数y＝上，
∴k＝（b﹣t）（b+t）＝（b2﹣3t2）＝；
故答案为：．
5．如图1，直线y1＝ax+4经过点A（2，0），交反比例函数y2＝的图象于点B（﹣1，m），点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数y2的表达式；
（2）过点P作PC∥x轴交直线AB于点C，连接AP，BP，若△ACP的面积是△BPC面积的2倍，请求出点P坐标；
（3）平面上任意一点Q（x，y），沿射线BA方向平移个单位长度得到点Q'，点Q'恰好在反比例函数y2＝的图象上：
①请写出Q点纵坐标y关于Q点横坐标x的函数关系式y3＝ ﹣+2 ；
②定义min{a，b}＝，则函数Y＝min{y1，y3} 的最大值为 8 ．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据△ACP的面积是△BPC面积的2倍，分点P在B下方时和下方两种情况分析得到点P坐标即可；
（3）①根据平移规律可得Q′（x+1，y﹣2），代入y2＝﹣，即可求得答案；
②画出y1＝﹣2x+4和y3＝﹣+2的图象，结合图象即可求得答案．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入直线的表达式得：0＝2a+4，
解得：a＝﹣2，
则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+4，
当x＝﹣1时，y＝﹣2x+4＝6＝m，即点B（﹣1，6），
将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝﹣1×6＝﹣6，
则反比例函数的表达式为：y＝﹣；
（2）当点P在B下方时，
若△ACP的面积是△BPC面积的2倍时，
则yC＝yB＝×6＝4，
当y＝4＝﹣，
解得：x＝﹣，
则点P（﹣，4）；
当P在点B上方时，同理可得：
点P（﹣，12），
综上，点P的坐标为（﹣，4）或（﹣，12）；
（3）①根据题意直线AB解析式为y＝﹣2x+4，点Q（x，y）沿射线BA方向平移个单位长度得到点Q'，相当于点Q向右平移1个单位，向下平移2个单位得到Q′，
∴Q′（x+1，y﹣2），
∵点Q′恰好在反比例函数y2＝﹣的图象上，y﹣2＝﹣，
∴Q点纵坐标y关于Q点横坐标x的函数关系式y3＝﹣+2，
故答案为：﹣+2；
②在同一坐标系中画出y1＝﹣2x+4和y3＝﹣+2的图象，如图，
由图象可知：min（y1，y3）＝，
∴函数Y＝min{y1，y3} 的最大值为8，
故答案为：8．
6．已知：一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象在第一象限内交于点A（m，2），B（3，n）两点，且m，n满足，直线l经过点A且与y轴平行，点C是直线l上一点，过点C作CD⊥y轴于点D，交反比例函数图象于点E．
（1）求一次函数与反比例函数的函数表达式．
（2）如图1，当点C在点A上方时，连接OC，OA，且OC平分∠AOD，求的值．
（3）如图2，当点C在点A下方时，点H是DC的中点，点G在x轴上，若四边形ABGH是平行四边形．求出点G的坐标．
【分析】（1）根据非负数的性质先求解，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）证明AO＝AC，求解，可得，求解，从而可得答案；
（3）由四边形ABGH是平行四边形．可得AB∥HG，设，G（x，0），而H为CD的中点，可得，由平移的性质可得：，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，
解得：，
∴，B（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数解析式为：，
把，B（3，1）代入y＝ax+b可得：
，
解得：，
∴一次函数为；
（2）∵直线l经过点A且与y轴平行，
∴∠DOC＝∠ACO，
∵OC平分∠AOD，
∴∠DOC＝∠AOC，
∴∠AOC＝∠ACO，
∴AO＝AC，
∵，
∴，而，
∴，
∵E在上，
∴，可得，即，
∴．
（3）∵四边形ABGH是平行四边形．
∴AB∥HG，
设，G（x，0），而H为CD的中点，
∴，
由平移的性质可得：，
∴．
反比例函数k的几何意义常用规律：