2024年中考数学压轴题型（浙江专用）压轴题03 二次函数代数类考点压轴题（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（浙江专用）压轴题03 二次函数代数类考点压轴题（含解析），共39页。试卷主要包含了已知二次函数，定义等内容，欢迎下载使用。

01 二次函数图象上点的坐标特征与二次函数图象性质的结合问题
1．（2024•东莞市校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x＝，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x＝＝，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴＜，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当﹣＜时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当＞时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
2．（2024•金华一模）已知二次函数．
（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 2或﹣2 ．
（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 b＞2或﹣3＜b＜﹣2 ．
【分析】（1）把点（b﹣2，c）代入即可求出b的值；
（2）根据题意即可得到|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，解不等式求得即可．
【解答】解：（1）把点（b﹣2，c）代入，得c＝（b﹣2）2﹣b（b﹣2）+c，
∴b＝±2，
故答案为：2或﹣2；
（2）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝b，
∵点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，
∴|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，
当b＞0时，b＞2，
当﹣6＜b＜0时，﹣3＜b＜﹣2，
当b＜﹣6时，不合题意，
∴b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
故答案为：b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
3．（2024•宁波一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（ ）
①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，则y1＜y2；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于．
A．1B．2C．3D．4
【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，根据Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，求得m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，可知直线y＝2x﹣4与直线y＝2x平行，求得两直线的距离即可判断④．
【解答】解：①当m＝0时，y＝x2﹣4，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴此抛物线图象关于y轴对称；
∴①正确；
②∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝m，
∵点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，且m﹣（m﹣2）＞m+1﹣m，
∴y1＞y2；
∴②错误；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，
整理得x2﹣（2m+1）x+m2+2m＝0，
Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，
解得m＝，
∴③错误；
④∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4＝（x﹣m）2+2m﹣4，
∴顶点为（m，2m﹣4），
∴抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，
∵直线y＝2x﹣4与直线y＝2x平行，
∴顶点到直线y＝2x的距离都相等，如图，
设直线y＝2x﹣4交x轴于A，交y轴于B，点O到AB的距离为OD，则A（2，0），B（0，﹣4），O
∴AB＝＝2，
∵S△AOB＝，
∴，
∴OD＝，
∴两直线间的距离为，
∴④正确．
故选：B．
4．（2024•鹿城区校级一模）已知A（m，0），B（﹣4，0）为x轴上两点，P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数y＝x2﹣mx+m+2图象上两点，当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，若﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1时，|y1﹣y2|≤16恒成立，则A、B两点的最大距离为 8 ．
【分析】利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得|y1﹣y2|的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求．
【解答】解：当x＝1时，y＝3，
抛物线y＝x2﹣mx+m+2的对称轴为直线x＝，
∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，
∴≥1，
∴m≥2．
∴m+1＞1，
当x＝﹣2时，y＝6+3m，当x＝时，y＝﹣+m+2，
∵﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1，
∴|y1﹣y2|的最大值为6+3m﹣（﹣+m+2）＝+2m+4，
∵|y1﹣y2|≤16恒成立，
∴+2m+4≤16．
∴﹣12≤m≤4，
∵m≥2，
∴2≤m≤4，
∴m的最大值为4，
∴A、B两点的最大距离为4﹣（﹣4）＝8．
故答案为：8．
5．（2024•宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y＝y1+y2．
（1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0．
（2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式．
（3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1﹣x2的值．
【分析】（1）把y1与y2相加得y＝ax2+（a+b）x+am+c，把点Q代入y，再计算即可．
（2）设A（t，0），代入y1得y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0）得y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk，
故y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，再计算即可．
（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），计算得x1＝k+1．
由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，计算得x2＝k．故x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．
【解答】解：（1）∵y1＝a（x+m），，
∴y＝y1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c，
∵点Q（0，q）在函数y的图象上，
∴q＝am+c，
即q﹣c＝am，
∵q＞c，
∴am＞0．
（2）设A（t，0），代入y1＝a（x+m）得：
0＝a（t+m），
∵a≠0，
∴t+m＝0，
∴m＝﹣t，
y1＝a（x﹣t）．
设B（k，0），又A（t，0），
∴y2＝a（x﹣t）（x﹣k）＝ax2﹣（at+ak）x+atk，
∴y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，
设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，
∴p+q＝＝t+k，pq＝＝tk，
∴＝（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝（t+k）2﹣4tk＝t2+k2﹣2tk，
即＝t2+k2﹣2tk＝（t﹣k）2，
∴d1＝，
设y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at两根为r、s，
∴r+s＝＝k+t﹣1，rs＝＝kt﹣t，
∴＝（r﹣s）2＝（r+s）2﹣4rs＝（k+t﹣1）2﹣4（kt﹣t）＝k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1，
∴﹣＝|（t2+k2﹣2tk）﹣（k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1）|＝|2（k﹣t）﹣1|＝±2d1﹣1，
答：d1，d2的数量关系式是：﹣＝±2d1﹣1．
（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），
得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），
∴a（x﹣t）（x﹣k）﹣a（x﹣t）＝0，
∴a（x﹣t）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x＝t，x＝k+1，
即A（t，0），x1＝k+1．
由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，
得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，
∴ax2﹣（at+ak）x+atk＝0，
∴x2﹣（t+k）x+tk＝0，
∴（x﹣t）（x﹣k）＝0，
∴x＝t，x＝k，
即A（t，0），x2＝k．
∴x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．
02 抛物线与一元二次方程的综合
1．（2024•杭州模拟）设函数y1＝x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别为α1，β1，函数y2＝x2+dx+e的图象与x轴交点的横坐标分别为α2，β2．当x＝α2和β2时，函数y1的值分别为A1，B1；当x＝α1和β1时，函数y2的值分别为A2，B2，则（ ）
A．A1B1＝A2B2B．A1+B1＝A2+B2
C．A1B2＝A2B1D．A1+B2＝A2+B1
【分析】利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得到α1+β1＝﹣b，α1•β1＝c，α2+β2＝﹣d，α2•β2＝e，分别求得A1，B1，A2，B2，利用因式分解的应用整理即可得出结论．
【解答】解：∵α1、β1是方程x2+bx+c＝0的两根，α2、β2是方程x2+dx+e＝0的两根，
∴α1+β1＝﹣b，α1•β1＝c，α2+β2＝﹣d，α2•β2＝e．
∵当x＝α2和β2时，函数y1的值分别为A1，B1，
∴A1＝+bα2+c＝﹣（α1+β1）α2+α1•β1＝（α2﹣α1）（α2﹣β1），
B1＝+bβ2+c＝﹣（α1+β1）β2+α1•β1＝（β2﹣α1）（β2﹣β1）．
∵当x＝α1和β1时，函数y2的值分别为A2，B2，
A2＝+dα1+e＝﹣（α2+β2）α1+α2•β2＝（α1﹣α2）（α1﹣β2），
B2＝+dβ1+e＝﹣（α2+β2）β1+α2•β2＝（β1﹣α2）（β1﹣β2），
∴A1B1＝（α2﹣α1）（α2﹣β1）（β2﹣α1）（β2﹣β1），
A2B2＝（α1﹣α2）（α1﹣β2）（β1﹣α2）（β1﹣β2）＝（α2﹣α1）（α2﹣β1）（β2﹣α1）（β2﹣β1），
∴A1B1＝A2B2．
故选：A．
2．（2023•杭州模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）．
（1）若该二次函数图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）．
①求二次函数的表达式：
②当t≤x≤2﹣t时，函数最大值为M，最小值为N．若M﹣N＝3，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（3，y2），当m≤x1≤m+1时，始终有y1≥y2．求m的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；
②利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），再利用t≤x≤2﹣t得t≤1，所以2﹣t≥1，根据二次函数的性质，当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，当x＝t或t＝2﹣t时，函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，则t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，然后解方程即可；
（2）先利用二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）得到b＝﹣2，则可求出抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，即|x1﹣1|≥|3﹣1|，解得x1≤﹣1或x1≥3，然后利用m≤x1≤m+1得到m+1≤﹣1或m≥3，从而得到m的范围．
【解答】解：（1）①把（2，c），（﹣1，0）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵t≤x≤2﹣t，
∴t≤2﹣t，
解得t≤1，
∴2﹣t≥1，
∴当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，即N＝﹣4，
当x＝t或t＝2﹣t时，函数值相等，此时函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，
∵M﹣N＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，
解得t1＝1+（舍去），t2＝1﹣，
∴t的值为1﹣；
（2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c），
∴4+2b+c＝c，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（x1，y1），B（3，y2）在抛物线上，且y1≥y2，
∴点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，
∴|x1﹣1|≥|3﹣1|，
∴x1≤﹣1或x1≥3，
∵m≤x1≤m+1，
∴m+1≤﹣1或m≥3，
解得m≤﹣2或m≥3．
03 二次函数图象交点问题
1．（2024•德阳模拟）现有y是关于x的二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，则下列描述正确的是 ①②③ ．
①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标为（，）；
②当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
③当m≠0时，函数图象总过定点；
④若函数图象上任取不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则当m＜0时，函数在x＞时一定能使＜0成立．
【分析】①把m＝﹣1代入y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，再化为顶点式即可；
②求得与x轴的交点，进而求得|x1﹣x2|的值，即可判断；
③由y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m＝（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，可知当2x2﹣x﹣1＝0时，y的值与m无关，然后求出x，y的对应值即可；
④m＜0时，抛物线的对称轴：x＝＞0，抛物线开口向下，只有当对称轴在x＝右侧时，y才随x的增大而减小，即可求解．
【解答】解：①当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+2x＝﹣2（x﹣）2+，
∴顶点坐标为（，），
故①正确；
②当m＞0时，由y＝0得：Δ＝（1﹣m）2﹣4×2m（﹣1﹣m）＝（3m+1）2，
∴x＝，
∴x1＝1，x2＝﹣﹣，
∴|x1﹣x2|＝+＞，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，
故②正确；
③当m≠0时，y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m＝（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，
当2x2﹣x﹣1＝0时，y的值与m无关，
此时x1＝1，x2＝﹣，
当x1＝1，y＝0；当x2＝﹣时，y2＝﹣，
∴函数图象总经过两个定点（1，0），（﹣，﹣），
故③正确；
④m＜0时，抛物线的对称轴：x＝＞0，抛物线开口向下，
故x＞时，只有当对称轴在x＝右侧时，y才随x的增大而减小，即＜0成立，
故④错误．
故答案为：①②③．
2．（2023•永嘉县校级二模）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，使喷水刚好落在水池边缘，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（AB，AC），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板AB所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为 y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10） ，n的值为 ．
【分析】由题意可写出当x＞0时，抛物线的顶点式解析式，用待定系数法求得其解析式，令x＝0，求得y值，则可得这个装饰物的高度；根据直线AB与抛物线相切，得到判别式Δ＝0，解方程求出n．
【解答】解：由题意可得，当x＞0时，抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6（0≤x≤10），
把（10，0）代入得：0＝a（10﹣4）2+6，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；
根据题意知，直线AB与抛物线相切，
∴x+n＝﹣（x﹣4）2+6，
整理得：x2﹣5x﹣20+6n＝0，
∴Δ＝52﹣4×（﹣20+6n）＝0，
解得：n＝，
故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；．
3．（2024•西湖区校级模拟）已知和（a≠b且ab≠0）是同一直角坐标系中的两条抛物线．
（1）当a＝1，b＝﹣3时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断这两条抛物线与x轴的交点的总个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点P（m，n）均有n≤2a+2b．当y2≥0时，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）把a，b的值代入配方找顶点即可解题；
（2）分别令y1＝0，y2＝0，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；
（3）现根据题意得到a＜0，且，然后得到b＝﹣3a＞0，借助图象求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝﹣3时，，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）3个，理由为：
令y1＝0，则ax2+（a+b）x+b＝0，
即（ax+b）（x+1）＝0，
解得：，x2＝﹣1，
令y2＝0，则bx2+（a+b）x+a＝0，
即（bx+a）（x+1）＝0，
解得：，x2＝﹣1，
又∵a≠b且ab≠0，
∴两条抛物线与x轴的交点总个数为3个；
（3）∵抛物线上的任意一点P（m，n）均有n≤2a+2b，
∴a＜0，且，
整理得：b＝﹣3a＞0，
∴的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为，x2＝﹣1，
如图所示，借助图象可知当x≥或x≤﹣1时，y2≥0．
4．（2024•浙江一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；
（2）设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），x1＜x2＜﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，求出m的取值范围．
【分析】（1）将（﹣1，﹣2）代入解析式求解．
（2）将x＝﹣2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得yp取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
（3）分别将点A，B坐标代入解析式求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2，
解得m＝﹣1，
∴y＝x2+2x﹣1．
（2）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得yP＝m2+4m+2＝（m+2）2﹣2，
∴m＝﹣2时，yp取最小值，
∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
∴x＜﹣2时，y随x增大而减小，
∵x1＜x2＜﹣2，
∴y1＞y2．
（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2），
∴抛物线随m值的变化而左右平移，
将（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2，
解得m＝2或m＝﹣2，
将（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2，
解得m＝0或m＝4，
∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，
2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点．
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
5．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A（﹣2，﹣4）和B（3，1）两点．
（1）求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）若该抛物线开口向下，且经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（3）已知点M（﹣6，5），N（2，5），若该抛物线与线段MN恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）先求出对称轴为：直线x＝2，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；
（3）分a＞0时，a＜0时，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得：；
（2）∵抛物线经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为：直线，
∵抛物线开口向下，
当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，
∴k﹣3≥2，即k≥5；
（3）①当a＞0时，x＝﹣6，y≥5，即a×（﹣6）2+（1﹣a）×（﹣6）﹣6a﹣2≥5，
解得：，抛物线不经过点 N，
如图①，抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象可知：；
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段MN上时，则＝＝5，
解得：a1＝﹣1，a2＝，
当a1＝﹣1时，＝＝1，
此时，定点横坐标满足﹣6≤﹣≤2，符合题意；
当a1＝﹣1时，如图②，抛物线与线段MN只有一个交点，
如图③，
当a2＝时，＝＝13，
此时顶点横坐标不满足﹣6≤≤2，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N时，把N（2，5）代入y＝ax2+（1﹣a）x﹣6a﹣2，得：
5＝a×22+（1﹣a）×2﹣6a﹣2，
解得：a＝，
当a＝时，如图④，抛物线和线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N，
结合图象可知：a＜时，抛物线与线段MN有一个交点，
综上所述：a的取值范围为：a≥或a＝﹣1或a＜
04 含参数类二次函数有关参数的取值范围的问题
1．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【分析】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
2．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；
（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
解得t＝；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
3．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．
【解答】解：（1）①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤﹣．
4．（2023•临平区二模）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．
（1）已知a＝1．
①若函数的图象经过（0，3）和（﹣1，0）两点，求函数的表达式；
②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．
（2）若函数图象经过（﹣2，m），（﹣3，n）和（x0，c），且c＜n＜m，求x0的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求出b，c的值，即可得出函数的表达式．
②写出平移后的函数解析式，根据函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，利用判别式Δ＝0，即b2﹣4（c﹣2）＝0，整理为，进而求出b+c，再配方，结合二次函数的性质即可求解．
（2）判定a＜0，由c＜n＜m，则|x0﹣x0|＞|x0+3|＞|x0+2|，即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝1，
∴y＝x2+bx+c．
①将（0，3）和（﹣1，0）两点代入y＝x2+bx+c．得，
，
解得：．
∴y＝x2+4x+3．
答：函数的表达式y＝x2+4x+3．
②函数向下平移两个单位得y＝x2+bx+c﹣2，此时该函数与x轴恰好有一个交点，
∴Δ＝0，
即b2﹣4（c﹣2）＝0，
b2﹣4c+8＝0，
，
∴b+c＝b+＝，
∴当b＝﹣2时，b+c的最小值为1．
答：b+c的最小值为1；
（2）当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，即抛物线和y轴的交点为：（0，c），
而（x0，c），则抛物线的对称轴为x＝x0，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵函数图象经过（﹣2，m），（﹣3，n）且n＜m，
∴x＝﹣3比直线x＝﹣2离抛物线对称轴更近，
∴抛物线的对称轴在x＝﹣的左侧，
则c＞m和题设矛盾，故a＜0，
∵c＜n＜m，
则|x0﹣x0|＞|x0+3|＞|x0+2|，
解得：﹣5＜x0＜﹣3．
综上，满足条件的x0＝0或﹣5＜x0＜﹣3．
05 区间范围内二次函数的最值问题
1．（2024•拱墅区二模）已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0．
（1）当t＝0时．
①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？
②当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，求m，n之间的关系式．
（2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①把O（0，0），A（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，可求出y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x；而y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，故当x为4时，y有最大值，最大值为4；
②根据当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，可得﹣（m﹣4）2+4＝﹣（n﹣4）2+4，即可求出m+n＝8；
（2）把二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），，可求出y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，故抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为直线x＝；①当≥8，即t≥8时，﹣×82+×8＝18，解得t的值即可知当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18；②当＜8，即0＜t＜8时，有＝18，可解得：t＝﹣12﹣8（小于0，舍去）或t＝12﹣8（大于8，舍去）．
【解答】解：（1）当t＝0时，A（8，0），
①把O（0，0），A（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x；
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，
∴当x为4时，y有最大值，最大值为4；
②∵当x＝m和x＝n时（m≠n），函数值相等，
∴﹣（m﹣4）2+4＝﹣（n﹣4）2+4，
∴（m﹣n）（m+n﹣8）＝0，
∵m﹣n≠0，
∴m+n＝8；
（2）在0≤x≤8范围内，y存在最大值18，理由如下：
∵二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为直线x＝；
①当≥8，即t≥8时，
x＝8，y＝﹣x2+x取得最大值，
∴﹣×82+×8＝18，
解得：t＝9，
∴当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18；
②当＜8，即0＜t＜8时，
y＝﹣x2+x在顶点处取最大值，
∴＝18，
解得：t＝﹣12﹣8（小于0，舍去）或t＝12﹣8（大于8，舍去），
综上所述，当t的值为9，x的值为8时，y取得最大值18．
2．（2024•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范围．
【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；
②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，进而得出或，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；
（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的对称轴为x＝t，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵t﹣1≤x1≤t+2，
∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，
∵y1的最小值是﹣2，
∴t＝2，
∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，
∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，
即y1的最大值为2；
②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上，
∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，
∵对于x1，x2，都有y1＜y2，
∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，
∴或，
Ⅰ、当时，
由①知，x2＞x1，
∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，
∴1﹣t＞t+2，
∴t＜﹣，
由②知，x2+x1＞2t，
∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，
∴0≤x2+x1≤3，
∴2t＜0，
∴t＜0，
即t＜﹣；
Ⅱ、当时，
由③知，x2＜x1，
∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，
∴1﹣t＜t﹣1，
∴t＞1，
由④知，x2+x1＜2t，
∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，
∴0≤x2+x1≤3，
∴2t＞3，
∴t＞，
即t＞；
即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞．
3．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；
（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）求出c＝﹣7a，得到抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），即可求解；
（3）由MH2＝AH•DH，即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，
则该函数的顶点坐标为：（﹣3，﹣6），
则该顶点关于（1，0）的对称点为（5，6），
则“中心对称”函数的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，则顶点坐标为：（﹣1，c﹣a），
则“中心对称”函数的顶点坐标为：（3，a﹣c），
则“中心对称”函数的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c，
将（﹣1，c﹣a）代入上式得：c﹣a＝﹣a（﹣1﹣3）2+a﹣c，
解得：c＝﹣7a，
则抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），
当时，即﹣5≤x≤2，
则抛物线在x＝﹣5时，取得最大值为2，
即a（25﹣10﹣7）＝2，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣；
（3）如下图：
设点A、D的横坐标分别为：x1，x2，Δ＝b2﹣4ac，
则点M的坐标为：（﹣，），x1＝，
根据点的对称性，点D的横坐标x2＝2﹣x1，
由点A、H的坐标得，AB＝﹣，
则BP＝1﹣，
若AB＝2BP，即＝2﹣×2，
整理得：2a+b＝2，
当四边形AMDN为矩形时，则∠AMD＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
在Rt△ADM中，tan∠MDH＝＝tan∠AMH＝，
则MH2＝AH•DH，
而MH＝﹣，AH＝﹣﹣（）＝，DH＝（2﹣xA﹣xH），
则（﹣）2＝×（2﹣xA﹣xH），
整理得：＝（2b+4a+），
将2a+b＝2代入上式得：＝×（5），
解得：Δ＝20，
即b2﹣4ac＝20．
4．（2024•镇海区校级模拟）已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）．
（1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由；
（2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【分析】（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；
（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．
（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．
【解答】解：（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：
4﹣2b+3b＝4，
解得b＝0，
∴此函数表达式为：y＝x2，
当x＝2时，y＝4，
∴图象经过点（2，4）；
（2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），
∴﹣＝m，＝n，
∴b＝﹣2m，
把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．
即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．
（3）把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，
∵抛物线不经过第三象限，
∴3b≥0，即b≥0，
∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，
∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），
∵﹣≤0，
∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，
解得b≤12，
∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，
解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．
当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，
解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．
综上所述，b＝4或6．
1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，定义函数是它的相关函数．若一次函数y＝x+1与二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．D．2
【分析】画出一次函数y＝x+1与二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数的图象，利用数形结合的思想解答即可．
【解答】解：直线y＝x+1与y轴的交点为（0，1），
二次函数y＝x2﹣4x+c的相关函数为y＝，
一次函数y＝x+1与函数y＝恰有两个交点，如图所示：
由图象知，当c≥1时，y＝x+1与y＝x2﹣4x+c（≥0）恰有两个交点，
∴方程x2﹣4x+c＝x+1有两个不相等的实数根，
即x2﹣5x+c﹣1＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4（c﹣1）＞0，
∴c＜，
∴c的取值范围为1≤c＜，
∴c可能的值为2，
故选：D．
2．如图，抛物线y＝﹣﹣x+c（﹣6≤x≤0）与x轴交于点A（﹣6，0）．点P（t，y1），Q（t+3，y2）是抛物线上两点，当t≤x≤t+3时，二次函数最大值记为y最大值，最小值记为y最小值，设m＝y最大值﹣y最小值，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．≤m≤1D．
【分析】首先根据抛物线解析式求得对称轴方程；然后分类讨论：当点P，Q均在对称轴x＝﹣2左侧时，当点P在对称轴x＝﹣2左侧，Q在对称轴x＝﹣2右侧，利用抛物线的性质作答即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣﹣x+c（﹣6≤x≤0）的对称轴为：x＝﹣＝﹣2．
当点P，Q均在对称轴x＝﹣2左侧时，有﹣6≤t＜﹣5，，
，
则，
∵m随t的增大而减小，﹣6≤t＜﹣5，
∴．
当点P在对称轴x＝﹣2左侧，Q在对称轴x＝﹣2右侧时，
①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有﹣5≤t＜﹣3.5，，
，
则，
对称轴：t＝﹣2，在对称轴左侧m随t的增大而减小，
∴
②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当﹣3.5≤t≤﹣3时，，，
则，
对称轴t＝﹣5，在对称轴左侧m随t的增大而增大，
∴；
∵﹣6≤t≤0，
∴点P，Q不可能均在对称轴x＝﹣2右侧．
综上可得：，
故选：D．
3．已知抛物线y＝﹣x2﹣2mx+3与直线y＝2x+10m在﹣4＜x＜0范围内有唯一公共点，则m的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，当y＝﹣x2﹣2mx+3与直线y＝2x+10m在﹣4＜x＜0范围内有唯一公共点时，Δ＝0，进一步分析求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2mx+3与直线y＝2x+10m在﹣4＜x＜0范围内有唯一公共点，
∴令﹣x2﹣2mx+3＝2x+10m，
即x2+（2m+2）x﹣3+10m＝0，
当Δ＝0时，则（2m+2）2﹣4（﹣3+10m）＝0，
解得m1＝4+2，m2＝4﹣2，
当m＝4+2时，
x2+（10+4）x+37+20＝0，
解得：x1＝x2＝﹣5﹣2＜﹣4（不合题意，舍去）；
当m＝4﹣2时，x2+（10﹣4）x+37﹣20＝0，
解得：x1＝x2＝﹣5+2满足要求，
所以m＝4﹣2；
当Δ＞0时，y＝x2+（2m+2）x﹣3+10m在﹣4＜x＜0范围内有一个根，
则x＝﹣4与x＝0时的两个函数值必须异号，
当x＝﹣4时，y＝2m+5，
当x＝0时，y＝10m﹣3，
∴（10m﹣3）（2m+5）＜0，
∵（10m﹣3）（2m+5）＝0时，
m＝或m＝﹣且开口向上，
则（10m﹣3）•（2m+5）≤0的解为﹣，
综上所述：m＝4﹣2或﹣．
故选：A．
4．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或B．或C．或D．
【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
【解答】解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；
∴直线l：y＝x+．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，
当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，
当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；
②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 ①②③ （填写序号）．
【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝2．
∴﹣＝2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴a﹣（﹣4a）+c＝0．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如图：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
6．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（，），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为3可得×|b|×|﹣b|＝3，求解即可；
（3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，
解得：x＝，
∴A（，），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴×|b|×|﹣b|＝3，
当b＜0时，b2﹣2﹣24＝0，
解得b＝﹣2，
当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，
∴方程b2﹣2+24＝0没有实数根，
当b≥2时，b2﹣2﹣24＝0，
解得：b＝4，
综上所述，b的值为﹣2或4；
（3）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜﹣，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或﹣1＜m＜2．
7．定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
（1）如图，函数l的解析式为y＝﹣x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ y＝x﹣4（x＜﹣1） ．
（2）函数l的解析式为y＝﹣，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；
（2）先写出图象F的解析式，再分别将y＝﹣2代入，解得x值，即可得出该点的横坐标；
（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象F的解析式，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当F2经过点（m，2）时，当F1经过点（m，2）时，当F1经过点A（0，2）时，当F1经过点B（6，2）时，综合得出结论即可；
②由n的最小值始终保持不变，结合抛物线对称轴为直线x＝2，可得出m≤2，再由m﹣2≤x≤5，结合二次函数增减性列不等式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，将函数l的解析式为y＝﹣x+2的图象沿直线y＝﹣1翻折，设所得函数l′的解析式为y＝kx+b，
在y＝﹣x+2（x＜﹣1）取两点（﹣2，3），（﹣4，4），可得到这两点关于直线y＝﹣1的对称点（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6），
把（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6）分别代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴函数l′的解析式为y＝x﹣4（x＜﹣1）．
（2）根据题意，可得图象F的解析式为：y＝，
当y＝﹣2时，＝﹣2，＝﹣2，
解得：x＝，x＝﹣，
∴该点的横坐标为或﹣；
（3）①根据题意，得图象F的解析式为：y＝，
当F2经过点（m，2）或当y＝2时，x2﹣4x+3＝2，
解得：m＝x＝2±；
当F1经过点（m，2）或当y＝2时，﹣（m﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝1或5；
当F1经过点A（0，2）时，﹣（﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝；
当F1经过点B（6，2）时，﹣（6﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝；
随着m的增大，图象F2的左端点先落在AB上（两个交点），F1的端点落在AB上（一个交点），图象F1经过点A（两个交点），图象F2的左端点再次落在AB上（一个交点），图象F1的端点落在AB上（无交点），图象F1经过点B（一个交点），
∴m的取值范围为：2﹣＜m≤1，＜m≤2+或5＜m≤．
②∵n的最小值始终保持不变，
∴m≤2，
∵m﹣2≤x≤5，
∴﹣（m﹣2﹣2）2+2m+1≥﹣1，整理得：（m﹣5）2﹣11≤0，
令（m﹣5）2﹣11＝0，
解得：m1＝5﹣，m2＝5+，
∴5﹣≤m≤2．
应对此类问题，严格谨记以下几个关键考点：
①二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴公式： SKIPIF 1 < 0 、
②顶点公式 SKIPIF 1 < 0 、
③增减性的应用：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数有最小值，抛物线上的各点，谁离对称轴越近，谁的y越小；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数有最大值，抛物线上的各点，谁离对称轴越近，谁的y越大。
二次函数牵涉到的计算主要都是一元二次方程的计算，而一元二次方程的根的判别式、韦达定理等性质也可以在二次函数的题目中应用。
求交点就是联立解析式。
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…