2023-2024学年山西省忻州市高一下学期5月月考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年山西省忻州市高一下学期5月月考数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数(2−i)(1+3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列结论正确的是( )
A. 平行向量的方向都相同B. 零向量与任意向量都不平行
C. 单位向量都相等D. 两个单位向量之和可能仍然是单位向量
3.已知m，n，l是三条不同的直线，α,β是两个不同的平面，m⊂α,n⊂β,α∩β=l,m⊥l,n//α，则下列命题正确的是( )
A. m//nB. l//nC. α⊥βD. m⊥β
4.2016年至2023年我国原油进口数量如图所示：
下列结论正确的是( )
A. 2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加
B. 2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨
C. 2016年至2023年我国原油进口数是的80%分位数为54239万吨
D. 2015年我国原油进口数量少于30000万吨
5.在正方形ABCD中，点E满足DE=2EC，点F满足BF=12BA+12BC，若EF=xAD+yAC，则x−y=( )
A. −12B. 12C. 32D. −16
6.有一组样本数据x1,x2,⋯,x6(其中x1是最小值，x6是最大值)的平均数为x，方差为s2，中位数为x′，则( )
A. 2x1+1,2x2+1,⋯,2x6+1的平均数为2x
B. 2x1+1,2x2+1,⋯,2x6+1的方差为s2
C. 2x1+1,2x2+1,⋯,2x6+1的中位数为2x′+1
D. 2x1+1,2x2+1,⋯,2x6+1的极差为x6−x1
7.如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60∘的方向，随后该船以20海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西75∘的方向，此时船与灯塔A间的距离为( )
A. 20 3海里B. 40 3海里C. 20 6海里D. 40 6海里
8.如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且∠BAC=30∘,OA=OS= 2，D为线段AB上的动点，则SD+CD的最小值为( )
A. 5+1B. 5−1C. 5+12D. 5−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=1, 3,b=3, 3，则下列说法正确的是( )
A. a+b=2 7B. b⋅b−a=6
C. a与b的夹角为π3D. a在b上的投影向量为12b
10.关于复数z，下面是真命题的是( )
A. 若zz∈R，则z∈RB. 若z2∈R，则z∈R
C. 若z2=z2，则z∈RD. 若z∈R，则z∈R
11.如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上．若MN= 2，则( )
A. AB=3 2
B. 该多面体外接球的表面积为(10+4 2)π
C. 直线MG与直线PQ的夹角为π4
D. 二面角G−NH−P的余弦值为− 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某社区有男性居民900名，女性居民600名，该社区卫生服务站为了解该社区居民的身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用等比例分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则样本中男性居民的人数为 ．
13.某同学将一张圆心角为π3的扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，已知OB=2OA=60cm，则制成的简易笔筒的高为 cm．
14.已知|a|=3,|b|=2,|c|=1，且a⋅b−(a−b)⋅c−1=0，则a⋅b的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC(acsB+bcsA)=c．
(1)求csC的值；
(2)若c=2 2，▵ABC的面积为 2，求▵ABC的周长．
16.(本小题15分)
从某企业生产的某批次产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计该批次产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(3)在某批次产品的抽检中，若出现了质量指标值在x−3s,x+3s(x为样本平均数，s为样本标准差)之外的产品，则认为该批次产品的生产过程可能出现了异常情况，需对该批次产品的生产过程进行检查．试问该企业是否需对本批次产品的生产过程进行检查？
17.(本小题15分)
如图，在六面体ABCDEF中，DE//CF，正方形ABCD的边长为2，DE=2FC=2,AE=2 2,BE=2 3．
(1)证明：平面ADE//平面BCF．
(2)求直线EF与平面ABCD所成角的正切值．
(3)求多面体ABCDEF的体积．
18.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，∠DAB=90∘．
(1)若AD=AB= 2，∠ABE=150∘，∠C=30∘，求AE;
(2)若AD=AB=2，∠C=45∘，求AE的最大值．
19.(本小题17分)
如图①所示，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，D，E分别是AC，AB上的点，且DE//BC,AC=2BC=3DE=6.将▵ADE沿DE折起到▵A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示．M是线段A1D的中点，P是A1B上的点，EP//平面A1CD．
(1)求A1PA1B的值．
(2)证明：平面BCM⊥平面A1BE．
(3)求点P到平面BCM的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
利用复数的乘法求出积，再求出复数对应点的坐标即得．
【解答】
解：复数(2−i)(1+3i)=5+5i，
所以复数(2−i)(1+3i)在复平面内对应的点(5,5)在第一象限．
故选：A
2.【答案】D
【解析】【分析】
借助平行向量、单位向量、零向量的意义，逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，平行向量的方向可以相反，A错误；
对于B，零向量与任意向量都平行，B错误；
对于C，单位向量的模都相等，但方向可以不同，因此单位向量不一定相等，C错误；
对于D，共起点，夹角为120∘的两个单位向量的和是单位向量， D正确．
故选：D
3.【答案】B
【解析】【分析】
对于ACD：举反例说明即可；对于B：结合线面平行的性质定理分析判断．
【解答】
解：如图所示，

可知m，n不相互平行，α,β不相互垂直，m,β不相互垂直，故 ACD错误；
对于选项B：因为n//α，且l⊂β,α∩β=l，
由线面平行的性质定理可知l//n，故 B正确；
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
根据统计图的数据，依次分析选项即可得答案．
【解答】
解：2021年和2022年我国原油进口数量都比上一年少，A错误；
2016年至2023年我国原油进口数量的极差为18298万吨，B错误；
将数据从小到大排序：38101，41957，46190，50572，50828，51298，54239，56399，
由于8×80%=6.4，则2016年至2023年我国原油进口数量的80%分位数为为第7个数，即54239万吨，C正确；
设2015年我国原油进口数量为x万吨，38101−xx=13.6%，x=381011.136>360001.2=30000，
所以2015年我国原油进口数量超过30000万吨，D错误．
故选：C
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据给定条件，利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解即得．
【解答】
解：在正方形ABCD中，AB=DC=AC−AD，
由DE=2EC，得DE=23DC=23AB，又BF=12BA+12BC，
因此EF=ED+DA+AB+BF=−23AB−AD+AB+12BA+12BC
=13AB−AD−12AB+12AD=−16AC−AD−12AD=−13AD−16AC，
而EF=xAD+yAC，且AD,AC不共线，于是x=−13,y=−16,x−y=−16．
故选：D
6.【答案】C
【解析】【分析】
根据题意，结合平均数、方差的性质，以及中位数和极差的定义与计算，逐项判定，即可求解．
【解答】
解：对于A中，根据平均数的性质，可得2x1+1,2x2+1,⋯,2x6+1的平均数为2x+1，所以 A错误；
对于B中，根据方差的性质，可得2x1+1,2x2+1,⋯,2x6+1的方差为22×s2=4s2，所以 B错误；
对于C中，根据中位数的定义和计算方法，可得2x1+1,2x2+1,⋯,2x6+1的中位数为2x′+1，所以 C正确；
对于D中，根据极差的计算方法，可得2x1+1,2x2+1,⋯,2x6+1的极差为2(x6−x1)，所以 D错误．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
根据给定条件，利用正弦定理解三角形即得．
【解答】
解：依题意，在▵ABC中，∠ABC=60∘,∠ACB=75∘，则A=45∘，而BC=40，
由正弦定理得AC=BCsin60∘sin45∘=40 3 2=20 6，
所以船与灯塔A间的距离为20 6海里．
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】
将△ABC,△SAB绕AB旋转至同一平面，分析可知当且仅当S,D,C三点共线时，SD+DC取到最小值，利用余弦定理运算求解．
【解答】
解：由题意可知：AB⊥BC,AC=2 2,BC= 2,AB= 6,SA=SB=2，
将△ABC,△SAB绕AB旋转至同一平面，如图所示，
可知：当且仅当S,D,C三点共线时，SD+DC取到最小值，
取AB的中点M，可知SM⊥AB，
可得SM= SB2−AB22= 102，sin∠SBA=SMSB= 104，
则cs∠SBC=csπ2+∠SBA=−sin∠SBA=− 104，
在△SBC中，由余弦定理可得SC2=SB2+BC2−2SB⋅BCcs∠SBC=6+2 5，
即SC= 5+1，所以SD+DC的最小值为 5+1．
故选：A．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
对于A：先求a+b，进而可求a+b，即可判断；对于B：先求b−a，进而根据数量积的坐标表示分析判断；对于C：先求a⋅b,a,b，结合向量的夹角公式分析判断；对于D：根据投影向量的定义结合选项C分析判断．
【解答】
解：因为a=1, 3,b=3, 3，
对于选项A：因为a+b=4,2 3，所以a+b= 42+2 32=2 7，故 A正确；
对于选项B：因为b−a=2,0，所以b⋅b−a=6，故 B正确；
对于选项C：因为a⋅b=6,a=2,b=2 3，则cs a,b=a⋅b|a|⋅|b|= 32，
且a,b∈[0,π]，所以a与b的夹角为π6，故 C错误；
对于选项D：结合选项C可知：a在b上的投影向量为a⋅bb2b=12b，故 D正确；
故选：ABD．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
对于AB：举反例说明即可；对于C：根据复数的乘法以及复数的模长公式结合复数相等分析求解；对于D：根据复数的相关概念结合共轭复数分析判断．
【解答】
解：设z=a+bi,a,b∈R，则z=a−bi,z= a2+b2，
对于选项A：例如z=i,z=−i，则zz=−1∈R，符合题意，但z∉R，故 A错误；
对于选项B：例如z=i，则z2=−1∈R，符合题意，但z∉R，故 B错误；
对于选项C：若z2=z2，则a+bi2=a2−b2+2abi=a2+b2，
可得a2−b2=a2+b22ab=0，解得b=0a∈R,
可知z∈R，故 C正确；
对于选项D：若z=a+bi∈R，可知b=0，
此时z=a,z=a∈R，故 D正确；
故选：CD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
作出平面MNF截面该多面体及对应的正方体截面，利用正八边形的性质，结合球的截面小圆性质、异面直线夹角、二面角逐项计算判断即可．
【解答】
解：依题意，平面MNF截该多面体得正八边形，截对应正方体得正方形，该正方形边长即为正方体的棱长，如图，
对于A，AB=2⋅NFcsπ4+MN=2 2⋅ 22+ 2=2+ 2， A错误；
对于B，正方形MGHN的外接圆半径r=1，显然该多面体外接球球心是对应正方体的中心，
球心到平面MGHN的距离d=12AB=2+ 22，因此球半径R，有R2=d2+r2=14(10+4 2)，
所以该多面体外接球的表面积为4πR2=(10+4 2)π， B正确；
对于C，显然MG//NH//FP，而∠FPQ=3π4，因此直线MG与PQ的夹角为直线FP与PQ的夹角π4， C正确；
对于D，显然NH⊥GH,NH⊥PH，则∠GHP是二面角G−NH−P的平面角，
且∠GHP=3π4，其余弦值为− 22．
故选：BCD
12.【答案】60
【解析】【分析】
根据题意，结合分层抽样的概念与计算方法，即可求解．
【解答】
解：根据题意，结合分层抽样的概念及计算方法，可得样本中男性居民的人数为100×900900+600=60．
故答案为：60．
13.【答案】5 35
【解析】【分析】
根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高．
【解答】
解：依题意，圆台上底面圆周长为π3⋅OA=10π，则圆台上底半径r1=5，
圆台下底面圆周长为π3⋅OB=20π，则圆台下底半径r2=10，
圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为10,20，腰长为30，
所以圆台的高，即等腰梯形的高为 302−(10−5)2=5 35(cm)．
故答案为：5 35
14.【答案】[−2 3,2 3]
【解析】【分析】
利用给定的向量等式，结合向量数量积的定义建立不等式求解即得．
【解答】
解：由a⋅b−(a−b)⋅c−1=0，得a⋅b−1=(a−b)⋅c=|a−b||c|cs⟨a−b,c⟩，
则|a⋅b−1|=|a−b||cs⟨a−b,c⟩|≤|a−b|，当且仅当a−b,c共线时取等号，
两边平方得(a⋅b)2−2a⋅b+1≤a2+b2−2a⋅b，即(a⋅b)2+1≤32+22，解得−2 3≤a⋅b≤2 3，
所以a⋅b的取值范围是[−2 3,2 3]．
故答案为：[−2 3,2 3]
15.【答案】解：(1)因为3csC(acsB+bcsA)=c，
由正弦定理可得：3csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC，
且sinAcsB+sinBcsA=sinA+B=sinC，可得3sinCcsC=sinC，
且C∈0,π，可知sinC≠0，可得csC=13．
(2)由(1)可知：C∈0,π，csC=13，则sinC= 1−cs2C=2 23，
因为▵ABC的面积为S△ABC=12absinC=12ab×2 23= 2，可得ab=3，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC=a+b2−2ab−2abcsC，
即8=a+b2−6−2×3×13，可得a+b=4，
所以▵ABC的周长为a+b+c=4+2 2．

【解析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得csC的值；
(2)利用三角形的面积列方程，求得ab的值，结合余弦定理求得a+b的值，进而求得三角形ABC的周长．
16.【答案】解：(1)根据频率分布表中的数据，求得每段的频率分别为0.06,0.28,0.34,0.24,0.08，
再求得相应的每个矩形的高度为0.006,0.028,0.034,0.024,0.008，
可得其频率分布直方图，如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为
x=80×0.06+90×0.28+100×0.34+110×0.24+120×0.08=100，
质量指标值的样本方差为
s2=(−20)2×0.06+(−10)2×0.28+0×0.34+102×0.24+202×0.08=108，
所以该批次产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为108．
(3)由x−3s,x+3s，即100−18 3,100+18 3，
因为100−18 3125，
所以样本数据中没有质量指标值在x−3s,x+3s之外的产品，
因此该企业不需要对本批次产品的生产过程进行检查．

【解析】(1)根据频率分布表中的数据，求得每段的频率，得到矩形的高度，作出频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图的平均数和方差的公式，准确计算，即可求解；
(3)由x−3s,x+3s，即100−18 3,100+18 3，结合题意，即可得到结论．
17.【答案】解：(1)由DE//CF，CF⊂平面BCF，DE⊄平面BCF，得DE//平面BCF，
由正方形ABCD，得AD//BC，又BC⊂平面BCF，AD⊄平面BCF，得AD//平面BCF，
而AD∩DE=D,AD,DE⊂平面ADE，
所以平面ADE//平面BCF．
(2)连接BD，在正方形ABCD中，AD=2，则BD=2 2，而DE=2,AE=2 2,BE=2 3，
即有AD2+DE2=8=AE2,BD2+DE2=12=BE2，于是DE⊥AD,DE⊥BD，
而AD∩BD=D,AD,BD⊂平面ABCD，则DE⊥平面ABCD，由DE//CF，
得CF⊥平面ABCD，因此EF在平面ABCD内的射影是CD，
令直线EF与平面ABCD所成的角为θ，在直角梯形CDEF中，tanθ=DE−CFCD=12，
所以直线EF与平面ABCD所成角的正切值为12．
(3)由(2)知，CF⊥平面ABCD，而BC⊂平面ABCD，则BC⊥CF，又BC⊥CD，
CD∩CF=C,CD,CF⊂平面CDEF，于是BC⊥平面CDEF，
四棱锥B−CDEF的体积VB−CDEF=13SCDEF⋅BC=13×12(2+1)×2×2=2，
由DE⊥平面ABCD，得三棱锥E−ABD的体积VE−ABD=13S▵ABD⋅DE=13×12×2×2×2=43，
所以多面体ABCDEF的体积V=VE−ABD+VB−CDEF=103．

【解析】(1)根据给定的条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理即得．
(2)借助勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定证得DE⊥平面ABCD，进而确定直线EF在平面ABCD的射影即可求解．
(3)利用(2)中信息，利用割补法，结合锥体的体积公式计算即得．
18.【答案】解：(1)连接BD．
在△ABD中，AD=AB= 2，∠DAB=90∘，所以BD=2，∠ABD=45∘．
因为∠ABE=150∘，所以∠CBD=105∘，∠BDC=180∘−∠C−∠CBD
=45∘．
在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC=BDsin∠C，解得BC=2 2，所以BE= 2．
在△ABE中，AE= AB2+BE2−2AB⋅BEcs∠ABE= 4+2 3= 3+1．
(2)设∠DBC=θ∈(0,3π4)
在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠C=BCsin∠BDC，
所以BC=4sin(θ+π4)，BE=2sin(θ+π4)，
在△ABE中，由余弦定理知AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcs∠ABE
=4+4sin2(θ+π4)−2×2×2sin(θ+π4)cs(θ+π4)
=4+2−2cs(2θ+π2)−4sin(2θ+π2)
=6+2sin2θ−4cs2θ
=6+2 5sin(2θ−φ)，其中tanφ=2．
当2θ−φ=π2时，(AE2)max=6+2 5=( 5+1)2，即AEmax= 5+1．
故AE的最大值为 5+1．

【解析】本题考查了余弦定理、正弦定理，是中档题
(1)连接BD，先求得∠ABD，∠CBD，∠BDC，正由余弦定理、正弦定理可得答案
(2)设∠DBC=θ∈(0,3π4)，在△ABE中，由余弦定理知AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcs∠ABE，化简后结合正弦函数性质可得答案
19.【答案】解：(1)令平面PED交棱A1C于点N，连接PN,DN，由DE//BC，BC⊂平面A1BC，DE⊄平面A1BC，
则DE//平面A1BC，而平面PED∩平面A1BC=PN，DE⊂平面PED，于是PN//DE，
又EP//平面A1CD，平面PED∩平面A1CD=DN，EP⊂平面PED，于是EP//DN，
因此四边形DEPN是平行四边形，PN=DE，而BC=3,DE=2，PN//BC，
所以A1PA1B=PNBC=23．
(2)在图①的Rt▵ABC中，由DE//BC,AC=2BC=3DE=6，得AD=4,CD=2，
于是A1D=4,CD=2，而A1C⊥CD，则A1C= A1D2−CD2=2 3，∠CA1D=30∘，
又M是线段A1D的中点，则MC=MA1，∠A1CM=∠CA1D=30∘，
由(1)得A1NA1C=NPBC=23，则A1N=4 33,CN=2 33，tan∠CND=CDCN= 3，
则有∠CND=60∘，∠CND+∠NCM=90∘，因此DN⊥CM，
显然DE⊥CD,DE⊥A1D，CD∩A1D=D,CD,A1D⊂平面A1CD，则DE⊥平面A1CD，
而DE//BC，因此BC⊥平面A1CD，又DN⊂平面A1CD，则DN⊥BC，
又BC∩CM=C,BC,CM⊂平面BCM，从而DN⊥平面BCM，又EP//DN，
则EP⊥平面BCM，而EP⊂平面A1BE，
所以平面BCM⊥平面A1BE．
(3)由(1)知PN//BC，又BC⊂平面BCM，PN⊄平面BCM，则PN//平面BCM，
即点P到平面BCM的距离等于点N到平面BCM的距离h=CNsin30∘=12×2 33= 33，
所以点P到平面BCM的距离为 33．

【解析】(1)令平面PED交棱A1C于点N，利用线面平行的性质证明四边形DEPN是平行四边形，再利用平行推比例式即可得解．
(2)在△A1CD中证明DN⊥CM，再利用线面垂直的判定、性质证明DN⊥BC，然后利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理即得．
(3)利用(2)中信息，求出点N到平面BCM的距离即可．
质量指标值分组
75,85
85,95
95,105
105,115
115,125
频数
6
28
34
24
8