2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
1.将一枚均匀硬币抛3次，设正面朝上的硬币数为X，则P(X=2)=( )
A. 23B. 14C. 38D. 18
2.在(x−1)4的展开式中，x的系数为( )
A. 4B. −4C. 1D. −1
3.从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为( )
A. 36B. 24C. 18D. 12
4.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则第一张抽到奇数且第二张抽到偶数的概率是( )
A. 518B. 49C. 59D. 79
5.在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是( )
A. 0.56B. 0.24C. 0.94D. 0.84
6.由数字0，1，2，3，4，5组成三位数(允许重复)，各位数字之和等于6的有( )
A. 13个B. 15个C. 17个D. 20个
7.某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2：3，已知第一车间的一等品率为0.85，第二车间的一等品率为0.88.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为( )
A. 0.1325B. 0.112C. 0.868D. 0.8884
8.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
若0.1，x，0.3，y成等差数列，则E(ξ)=( )
A. 7.3B. 8.9C. 9D. 9.4
9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为( )
A. 7B. 9C. 11D. 13
10.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.试验一：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都放回，记取到白球的个数为X1；实验二：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都不放回，记取到白球的个数为X2.则下列判断正确的是( )
A. E(X1)E(X2)C. D(X1)>D(X2)D. D(X1)ai+1，i∈{1,2,…,n−1}，则称该排列满足性质T.对任意正整数n，记dn为满足性质T的排列a1，a2，…，an的个数．
(1)求d1，d2，d3的值；
(2)若n=4，求满足性质T的所有排列的情形；
(3)求数列{dn}的通项公式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可知，X～B(3,12)，
则P(X=2)=C32×(12)2×(1−12)=38．
故选：C．
由题意可知，X～B(3,12)，再利用二项分布的概率公式求解．
本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：展开式中含x的项的系数为C43x⋅(−1)3=−4x，
所以x的系数为−4．
故选：B．
利用二项式定理即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，
可以选择的方法种数为C21C32C21=12．
故选：D．
由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
4.【答案】A
【解析】解：随机抽取2次，共有9×8=72不同情况，
记第一张抽到奇数且第二张抽到偶数为事件A，
则事件A包含5×4=20不同情况，
所以P(A)=2072=518．
故选：A．
根据题意利用古典概率公式分析求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，设甲去博物馆为事件A，乙去博物馆为事件B，
则P(A)=0.8，P(B)=0.7，则P(A−)=0.2，P(B−)=0.3，
两人都不去博物馆的概率P(A−B−)=0.2×0.3=0.06，
则甲乙两人至少有一个去博物馆的概率P=1−P(A−B−)=0.94；
故选：C．
根据题意，设甲去博物馆为事件A，乙去博物馆为事件B，求出P(A−)、P(B−)的值，进而可得两人都不去博物馆的概率，由对立事件的概率性质分析可得答案．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率性质，注意相互独立事件的概率计算公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：各位数字之和等于6的有6种情况，
当3个数位上的数字为“0，1，5”时，
可组成三位数的个数为C21A22=4；
当3个数位上的数字为“0，2，4”时，
可组成三位数的个数为C21A22=4；
当3个数位上的数字为“0，3，3”时，
可组成三位数的个数为C21=2；
当3个数位上的数字为“1，2，3”时，
可组成三位数的个数为A33=6；
当3个数位上的数字为“1，1，4”时，
可组成三位数的个数为A33A22=3；
当3个数位上的数字为“2，2，2”时，
可组成三位数的个数为1，
即各位数字之和等于6的三位数有4+4+2+6+3+1=20个．
故选：D．
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可知，该产品是一等品的概率为：25×0.85+35×0.88=0.868．
故选：C．
直接结合全概率公式，即可求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由ξ的分布列可得x+0.1+0.3+y=1，即x+y=0.6，
又0.1，x，0.3，y成等差数列，∴x+0.3=0.1+y，即x−y=−0.2，
解得x=0.2，y=0.4，
则E(ξ)=7×0.2+8×0.1+9×0.3+10×0.4=8.9．
故选：B．
利用随机变量的分布列的性质及等差数列的性质即可得出关于x，y的方程组，进而得出结论．
本题考查了随机变量的分布列的性质及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：
①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有−6，−5，−4，−3，
②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，
③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有−3，−2，−1，0，2，
④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，
故M在数轴上可能位置的个数为−6，−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，
故选：D．
根据题意，分4种情况讨论，分别求出相对应的数据即可．
本题考查合情推理的问题，要求学生利用组合掌握用数轴表示实数及实数间的位置关系．
10.【答案】C
【解析】解：实验一：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为410=25，
则X1～B(3,25)，故E(X1)=3×25=65,D(X1)=3×25×(1−25)=1825；
实验二：从中随机地无放回摸出3个球，X2的可能取值是0，1，2，3，
则P(X2=0)=C40C63C103=16,P(X2=1)=C41C62C103=12，
P(X2=2)=C42C61C103=310,P(X2=3)=C43C60C103=130，
故随机变量X2的概率分布列为：
则数学期望为E(X2)=0×16+1×12+2×310+3×130=65，
方差为D(X2)=(0−65)2×16+(1−65)2×12+(2−65)2×310+(3−65)2×130=1425．
故E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2).
故选：C．
对于实验一：利用二项分布求期望和方差；对于实验二：结合超几何分布求期望和方差；进而对比判断．
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．
11.【答案】13 29
【解析】解：∵随机变量ξ服从参数为13的两点分布，则E(ξ)=13，D(ξ)=(0−13)2×23+(1−13)2×13=29．
故答案为：13；29．
利用两点分布列的期望与方差计算公式即可得出结论．
本题考查了两点分布列的期望与方差计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.【答案】4
【解析】解：由二项式系数和公式可得2n=16，则n=4．
故答案为：4．
利用二项式系数和公式即可求解．
本题考查了二项式系数的性质，属于基础题．
13.【答案】716
【解析】解：投1次小球获得三等奖有三条线路，
又因为小球从每个叉口落入两个管道的可能性相等，
所以投1次小球获得三等奖得概率为12×12+12×12×12+12×12×12×12=14+18+116=716．
故答案为：716．
投1次小球获得三等奖有三条线路，根据小球从每个叉口落入两个管道的可能性相等，利用相互独立事件的概率乘法公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
14.【答案】124
【解析】解：∵他在一次投篮中得分的期望E(X)=2，
∴3a+2b+0×c=1，
∴3a+2b=1，a，b>0，
则1≥2 3a⋅2b，化为ab≤124，
当且仅当3a=2b，即a=16，b=14时取等号．
因此ab的最大值为124．
故答案为：124．
利用随机变量的分布列与期望可得a，b的关系式，利用基本不等式即可得出结论．
本题考查了随机变量的分布列与期望、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】332 16
【解析】解：(1)由题意可知：集合A的元素个数为4×4×4×4=256，集合B的元素个数为A44=24，
所以从A中任取一元素属于B的概率为P=24256=332，
(2)因为β=(a1,a2,a3,a4)∈B，a1，a2，a3，a4对应的排列及计算所得X值如下表所示，
可知X≤2共有4种情况，
所以P(X≤2)=424=16．
故答案为：(1)332；(2)16．
(1)分别求集合A、B的元素个数，结合古典概型分析求解；
(2)列表求a1，a2，a3，a4应的排列及计算所得X值，结合古典概型分析求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，
产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年，
∴从2013年～2020年中随机抽取一年，
该年生产的平均利润不小于100元/台的概率为P=68=0.75．
(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，
∴ξ的所有可能取值为1，2，3，
P(ξ=1)=C61C22C83=328，
P(ξ=2)=C62C21C83=1528，
P(ξ=3)=C63C20C83=514，
∴ξ的分布列为：
∴E(ξ)=1×328+2×1528+3×514=94．
(Ⅲ)a的最大值为13，最小值为7．
【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查超几何分布分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年，由此能求出从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不小于100元/台的概率．
(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．
(Ⅲ)a的最大值为13，最小值为7．
17.【答案】解：(1)设“可判断两个选项是错误的题目选对”为事件A，
“可判断一个选项是错误的题目选对”为事件B，
“不理解题意的题目选对”为事件C，
∴P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，
∴得60分的概率为p=12×12×13×14=148．
(2)ξ可能的取值为40，45，50，55，60．
P(ξ=40)=12×12×23×34=18；
P(ξ=45)=C21×12×12×23×34+12×12×13×34+12×12×23×14=1748；
P(ξ=50)=12×12×23×34+C21×12×12×13×34+C2112×12×23×14+12×12×13×14=1748；
P(ξ=55)=C2112×12×13×14+12×12×23×14+12×12×13×34=748；
P(ξ=60)=148．
∴ξ的分布列：
Eξ=40×648+(45+50)×1748+55×748+60×148=57512．
【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．
(1)设“可判断两个选项是错误的题目选对”为事件A，“可判断一个选项是错误的题目选对”为事件B，“不理解题意的题目选对”为事件C，由P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，能求出得60分的概率．
(2)ξ可能的取值为40，45，50，55，60，分别求出P(ξ=40)，P(ξ=45)，P(ξ=50)，P(ξ=55)和P(ξ=60)，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
18.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的前n项和和通项公式，属于基础题．
由S2=3，S4=15可求得q2=4，然后根据S2=a1+a2，S6−S4=a5+a6=(a1+a2)q4，代入数据计算即可．
【解答】
解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由S2=3，S4=15，可得a1(1−q2)1−q=3a1(1−q4)1−q=15,
解得q2=4，
又S2=a1+a2，S6−S4=a5+a6=(a1+a2)q4，
即S6−15=3×16，
解得S6=63．
故选C．
19.【答案】C
【解析】解：由题意得(a+1)2=b+5且2a=b+3，
所以(a+1)2=2a+2，
整理的a2=1，即a=1或a=−1，
当a=−1时，a+1=0，不符合题意，
故a=1，b=−1，则3，1，−1的公差为−2．
故选：C．
由已知结合等差数列与等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】B
【解析】解：对于方案一：回报的期望为80%×400+20%×800=480元；
对于方案二：回报为10×10+9×102×10=550元；
对于方案三：回报为0.5(1−210)1−2=511.5元；
因为480