2023-2024学年吉林省长春五中高二（下）第二学程数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省长春五中高二（下）第二学程数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，若P(ξ>2)=0.2，则P(0≤ξ≤1)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
2.已知变量x与y满足关系y=0.8x+9.6，变量y与z负相关．下列结论正确的是( )
A. 变量x与y正相关，变量x与z正相关B. 变量x与y正相关，变量x与z负相关
C. 变量x与y负相关，变量x与z正相关D. 变量x与y负相关，变量x与z负相关
3.已知小明射箭命中靶心的概率为35，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是( )
A. 36625B. 925C. 144625D. 216625
4.若(a−2b)20=x0a20+x1a19b+x2a18b2+⋯+x19ab19+x20b20，则x19=( )
A. −20B. −20×219C. −219D. 20×219
5.从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P(X=1)=( )
A. 715B. 1556C. 1528D. 328
6.设随机变量x的概率分布如下表所示，且E(X)=2.5，则b−a=( )
A. 34B. 38C. 316D. 332
7.(1+x)3(1−x+x2)2展开式中x3项的系数为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
8.2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为( )
附x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
A. 130B. 190C. 240D. 250
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
B. 已知随机变量X服从正态分布N(30,100)，则其期望E(X)=10
C. 已知随机变量X服从正态分布N(4,1)，且P(X≥5)=0.1587，则P(3D. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差是3，则数据4x1−1，4x2−1，4x3−1，4x4−1，4x5−1，4x6−1的标准差是12
10.第五届人口发展战略研讨会在南京召开，小张、小赵、小李、小孙、小王为五名志愿者.现有接待、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的是( )
A. 若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有54种
B. 若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案
C. 若安排5人排成一排拍照，小张必须站在小李的左侧，则有60种不同的站法
D. 若安排5人排成一排拍照，小张和小赵必须相邻，且小孙和小李不相邻，则有24种不同的站法
11.下列说法正确的有( )
A. 某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B. 若随机变量X的数学期望E(X)=2023，则E(X−1)=2023
C. 若随机变量X的方差D(X)=2，则D(2X+2023)=8
D. 随机变量X∼B(2023,0.5)则P(X≤1010)=P(X≥1011)
12.若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中不具有M性质的是( )
A. f(x)=2−xB. f(x)=x2C. f(x)=3−xD. f(x)=csx
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在对两个变量x、y进行线性回归分析时有下列步骤：
①对所求出的回归方程作出解释；
②收集数据(xi,yi)，i=1，2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可靠性要求能够得出变量x、y具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是______(填序号)．
14.从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．
15.某公司为了解某产品的研发费x(单位：万元)对销售量y(单位：百件)的影响，收集了该公司以往的5组数据，发现用函数模型y=aekx(e为自然对数的底数)拟合比较合适．令z=lny得到z=bx+4.06，经计算，x，z对应的数据如表所示：
则aek= ．
16.有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为6%，乙厂加工的次品率为5%，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的45%，55%.现从当地市场上任意买一件这种型号的零件，则买到的零件是次品，且是甲厂加工的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设{an}是等差数列，且a1=1，a2+a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求2a1+2a2+⋯+2an
18.(本小题12分)
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为23，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．
(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
19.(本小题12分)
随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数(单位：千人)，得到如下表格：
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程y​=b​x+a​；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴．
(i)若该省大学2022年毕业生人数为120千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
(ii)若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p−1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p的取值范围．
参考公式：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−⋅y−i=1nxi2−nx−2，α =y−−b x−．
20.(本小题12分)
某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下2×2列联表：
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
(1)请完成上面2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
(2)将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”.在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)；
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d
21.(本小题12分)
已知直线l：y=kx+m(m2=k2+1,k≠0)和椭圆T：x23+y2=1．
(1)证明：l与T恒有两个交点；
(2)若A，B为l与T的两个交点，过原点且垂直于l的直线交T于C，D两点，求|CD||AB|的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−lnx−1，g(x)=xex−ax2(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：f(x)+g(x)≥x．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，
∴正态曲线的对称轴是x=1，
∴P(0≤ξ≤1)=P(1≤ξ≤2)=0.5−P(ξ>2)=0.3．
故选：B．
根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P(ξ>2)=0.2，欲求P(0≤ξ≤1)，只须依据正态分布对称性，即可求得答案．
本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识．
2.【答案】B
【解析】解：变量x，y满足关系y=0.8x+9.6，
则变量y与x正相关，
又变量y与z负相关，
∴变量x与z负相关．
故选：B．
根据回归方程中，变量系数之间的关系，进行求解即可．
本题主要考查回归方程的应用，根据回归方程，以及变量之间的关系是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由已知命中的概率为35，不命中的概率为25，射击4次，命中两次，
故小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是P=C42(35)2×(25)2=216625．
故选：D．
利用二项分布的概率计算公式求解．
本题考查二项分布的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为(a−2b)20展开式的通项公式为Tr=C20ra20−r(−2b)r=(−2)rC20ra20−rbr(0≤r≤20,r∈N)，
所以x19=(−2)19C2019=−20×219，
故B正确．
故选：B．
利用二项式定理求得(a−2b)20展开式的通项公式，从而得解．
本题考查二项式定理及其应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，
则P(X=1)=C62C21C83=1528．
故选：C．
利用古典概型、排列组合能求出结果．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题有1×18+2a+3b=2.518+a+b=1，解得：a=14,b=58，
即b−a=38．
故选：B．
结合数学期望的公式及分布列的性质进行求解即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：(1+x)3(1−x+x2)2=(1+x)⋅[(1+x)(1−x+x2)]2=(1+x)(1+x3)2=(1+x)(1+2x3+x6)，
故它的展开式中x3项的系数为2，
故选：B．
先把(1+x)3(1−x+x2)2 利用立方和公式化为(1+x)(1+2x3+x6)的形式，可得展开式中x3项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：依题意，设男、女生的人数各为5x，建立2×2列联表如下所示：
由表中数据，计算K2=10x⋅(4x⋅2x−x⋅3x)25x⋅5x⋅7x⋅3x=10x21，
由题可知6.635≤10x21<10.828，
得139.335≤10x<227.388，结合选项可知，被调查的男、女学生总数量可能为190．
故选：B．
根据题意设男、女生的人数各为5x，建立2×2列联表，计算K2，列不等式求出x的取值范围，即可确定满足条件的选项．
本题考查独立性检验，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故A错误；
对于B，因为X服从正态分布N(30,100)，所以E(X)=30，故B错误；
对于C，因为X服从正态分布N(4,1)，则其正态分布曲线的对称轴为x=4，
所以P(X≥5)=P(X≤3)=0.1587，
所以P(3对于D，根据方差的性质可知4x1−1，4x2−1，4x3−1，4x4−1，4x5−1，4x6−1的方差为42×3=48，
故所求标准差为4 3，故D错误．
故选：ABD．
根据线性相关系数的概念可判断A，根据正态分布的概念及性质可判断BC，根据方差的性质可判断D．
本题主要考查正态分布曲线的性质，标准差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
根据分类计数原理和分步计数原理，借助排列、组合依次算出方法数．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
【解答】
解：A：若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有45种，故错误；
B：若每项工作至少安排一人，则有C52⋅A44=240种不同的方案，故正确；
C：若安排5人排成一排拍照，小张必须站在小李的左侧，则有A552=60种不同的站法，故正确；
D：若安排5人排成一排拍照，小张和小赵必须相邻，且小孙和小李不相邻，则有A22A44−A22A22A33=24种不同的站法，故正确．
故选BCD．
11.【答案】AC
【解析】解：A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确；
B选项：E(X−1)=E(X)−1=2022，故B错误；
C选项：D(2X+2023)=22D(X)=8，故C正确；
D选项：因X∼B(2023,0.5)所以P(X=k)=C2023k⋅0．5k⋅(1−0.5)2023−k=C2023k0．52023，
根据组合数的对称性可知，P(X≤1010)=P(X≥1013)，故D错误．
故选：AC．
A选项由超几何分布的定义可判断；
B选项，利用公式E(aX+b)=aE(X)+b可判断；
C选项，利用公式D(aX+b)=a2D(X)可判断；
D选项，利用二项分布和组合数的对称性可判断．
本题考查离散型随机变量的期望和方差的性质，是中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，ex⋅f(x)=ex⋅2−x=(e2)x在R上单调递增，故函数f(x)=2−x具有M性质，故A不符合题意；
对于B，exf(x)=ex⋅x2，令g(x)=ex⋅x2，则g′(x)=ex⋅x2+2ex⋅x=xex(x+2)，
所以当x<−2或x>0时，g′(x)>0，当−2所以exf(x)=ex⋅x2在(−∞,−2)和(0,+∞)上单调递增，在(−2,0)上单调递减，
故函数f(x)=x2不具有M性质，故B符合题意；
对于C，exf(x)=ex⋅3−x=(e3)x在R上单调递减，故函数f(x)=3−x不具有M性质，故C符合题意；
对于D，exf(x)=excsx，令h(x)=excsx，h′(x)=excsx−exsinx=ex(csx−sinx)，
当x∈(π4+2kπ,54π+2kπ)，k∈Z时，h′(x)<0，所以f(x)=csx不具有M性质，故D符合题意．
故选：BCD．
由指数函数单调性及导数与单调性的关系对选项逐一判断．
本题主要考查函数的新定义，利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】②⑤④③①
【解析】解：线性回归分析的步骤为：先要收集数据(xi,yi)，i=1，2，…，n，再根据所搜集的数据绘制散点图，
再求相关系数，求线性回归方程，最后对所求出的回归方程作出解释，
故正确的操作顺序是：②⑤④③①．
故答案为：②⑤④③①．
根据已知条件，结合线性回归分析的步骤，即可求解．
本题主要考查线性回归分析的步骤，属于基础题．
14.【答案】34
【解析】【分析】
本题考查了条件概率的计算，属于基础题．
根据剩下4个数的奇偶性得出结论．
【解答】
解：在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，
∴在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为34．
故答案为：34．
15.【答案】e4.18
【解析】【分析】
本题考查指数函数模型，属于基础题．
利用回归直线过样本中心点求出b的值，从而得到经验回归方程z=0.12x+4.06，再利用z=lny得出a，k的值．
【解答】
解：x−=5+8+12+15+205=12，
z−=4.5+5.2+5.5+5.8+6.55=5.5，
所以，5.5=b×12+4.06，解得b=0.12，
所以z=0.12x+4.06．
又因为z=lny，
所以y=ez=e0.12x+4.06=e4.06⋅e0.12x，
所以aek=e4.06⋅e0.12=e4.18．
故答案为：e4.18．
16.【答案】54109
【解析】解：根据题意，记A1为事件“零件为甲厂加工”，A2为事件“零件为乙厂加工”，B为事件“买一个零件为次品”，
则P(A1)=0.45，P(A2)=0.55．
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.45×0.06+0.55×0.05=0.0545．
所以P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=0.45×．
故答案为：54109．
根据题意，记A1为事件“零件为甲厂加工”，A2为事件“零件为乙厂加工”，B为事件“买一个零件为次品”，根据全概率公式及贝叶斯公式计算即可．
本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1=1，a2+a3=8，
所以a1+d+a1+2d=8，
解得d=2，
则an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1．
(2)2a1+2a2+⋯+2an
=21+23+25+…+22n−1
=2−22n−1×41−4=22n+1−23．
【解析】(1)根据{an}等差数列，求出d，得到{an}的通项公式；
(2)根据等比数列求和公式求解．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式应用问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率为：
P=C42C21C63×C30×(23)0×(13)3+C41C22C63×C31×23×(13)2=115．
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，
P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C63=15，
∴X的分布列为：
∴E(X)=1×15+2×35+3×15=2，
D(X)=15(1−2)2+35(2−2)2+15(3−2)2=25．
(3)设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，则Y～B(3,23)，
∴E(Y)=3×23=2，D(Y)=3×23×(1−23)=23，
∵E(X)=E(Y)，D(X)∴甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
∴应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
【解析】(1)甲、乙两名学生共答对2个问题为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得到答案；
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出E(X)，D(X)；
(3)设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能取值为0，1，2，3，由题意知Y～B(3,23)，从而求出E(Y)，D(Y)，由E(X)=E(Y)，D(X)本题考查相互独立事件概率乘法公式、排列组合、二项分布、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得x−=4+5+7+84=6，y−=0.3+0.3+0.4+0.64=0.4，
又i=14xiyi=8×0.6+7×0.4+5×0.3+4×0.3=10.3，
∴i=14xiyi−4x−⋅y−=10.3−4×6×0.4=0.7
∵i=14xi2=82+72+52+42=154，
∴i=14xi2−4x−2=154−4×36=10，
∴b =i=14xiyi−4x−⋅y−i=14xi2−4x−2=0.710=0.07，
所以a =y−−b x−=0.4−0.07×6=−0.02，
故得y关于x的线性回归方程为y =0.07x−0.02；
(2)(i)将x=120代入y =0.07x−0.02得y =0.07×120−0.02=8.38，
∴该省要发放补贴的总金额为8.38×1000×0.6=5028(万元)；
(ii)设小江、小沈两人中选择考研的人数为X，则X的所有可能值为0、1、2，
P(X=0)=(1−p)(2−2p)=2(1−p)2，
P(X=1)=p(2−2p)+(1−p)(2p−1)=−4p2+5p−1，
P(X=2)=p(2p−1)=2p2−p，
∴E(X)=0×2(1−p)2+1×(−4p2+5p−1)+2×(2p2−p)=3p−1，
E(0.6X)=0.6×(3p−1)≤0.75，可得p≤34，
又因为0≤p≤10≤2p−1≤1，可得12≤p≤1，
故12≤p≤34．
【解析】(1)利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程；
(2)(i)直接将将x=120代入(1)中所求的线性回归方程计算即可；
(ii)先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围．
本题考查线性回归方程与概率的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意可得2×2列联表如下；
零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算可得χ2=60(7×16−23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1；
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P=560=112，
所以X～B(20,112)，
故E(X)=20×112=53，D(X)=20×112×1112=5536．
【解析】(1)先根据题意完成2×2列联表，代入公式计算χ2，比较其与临界值的大小即可得到结论；
(2)依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，结合二项分布期望及方差公式可得结论．
本题考查了独立性检验及离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：联立方程y=kx+m,x23+y2=1,消去y并化简得，(1+3k2)x2+6kmx+3m2−3=0，
Δ=36k2m2−4(1+3k2)(3m2−3)=24k2>0，故l与T恒有两个交点．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知x1+x2=−6km1+3k2,x1x2=3m2−31+3k2，
所以|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2⋅ (−6km1+3k2)2−4⋅3m2−31+3k2= 1+k21+3k2⋅ 24k2．
由题意知直线CD的方程为y=−1kx，
由y=−1kxx23+y2=1，消去y得x2=3k2k2+3,y2=1k2x2=3k2+3，
所以|CD|=2 x2+y2=2 3k2+3k2+3．
所以|CD||AB|=2 3k2+3k2+3 1+k21+3k2⋅ 24k2= 22× 9k4+6k2+1k4+3k2= 22× 9(k4+3k2)−21k2+1k4+3k2= 22× 9−21k2−1k4+3k2．
设t=21k2−1，则t>−1，要求|CD||AB|的最小值，则只需考虑t>0的情况，
此时k2=t+121,k4=(t+121)2，
所以|CD||AB|= 22× 9−t(t+121)2+3×t+121= 22× 9−441t+64t+65≥ 22× 9−4412 t⋅64t+65=43，
当且仅当t=64t，即t=8=21k2−1,k2=37时，等号成立，
所以|CD||AB|的最小值为43．
【解析】(1)将直线和椭圆进行联立，根据根的判别式可判断交点个数；
(2)将直线l和直线CD表示出来，分别与椭圆进行联立，通过弦长公式表示出线段|AB|，|CD|的长，比值化简再用基本不等式求最小值．
本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=2ax−1x=2ax2−1x，
①当a≤0时，f′(x)=2ax−1x=2ax2−1x<0恒成立，
②当a>0时，f′(x)=2ax−1x=2ax2−1x>0，解得x> 12a，
综上：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a>0时，f(x)在(0, 2a2a)上单调递减，在( 2a2a,+∞)上单调递增；
(2)证明：f(x)+g(x)=xex−lnx−1，
要证f(x)+g(x)≥x，即证xex−lnx−1−x=ex+lnx−lnx−x−1≥0恒成立，
令t=x+lnx，即证et−t−1≥0，
令k(t)=et−t−1，
所以k′(t)=et−1>0，解得t>0，
所以k(t)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，
则k(t)≥k(0)=0，
所以et−t−1≥0，
则f(x)+g(x)≥x恒成立，得证．
【解析】(1)求导数，分类讨论，即可讨论f(x)的单调性；
(2)由题意可化为证明xex−lnx−1−x=ex+lnx−lnx−x−1≥0恒成立，令t=x+lnx，即证et−t−1≥0，令k(t)=et−t−1，求导，可求k(t)≥k(0)=0，即可证明f(x)+g(x)≥x恒成立．
本题考查了导数与函数单调性，考查了运算能力，属于中档题．X
1
2
3
P
18
a
b
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
研发费x
5
8
12
15
20
z=lny
4.5
5.2
5.5
5.8
6.5
A大学
B大学
C大学
D大学
2022年毕业人数x(千人)
8
7
5
4
2022年考研人数y(千人)
0.6
0.4
0.3
0.3
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
喜欢网络课程
不喜欢网络课程
总计
男生
4x
x
5x
女生
3x
2x
5x
总计
7x
3x
10x
X
1
2
3
P
15
35
15
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60