2023-2024学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学鲲鹏班高二（下）第三次质检数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学鲲鹏班高二（下）第三次质检数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算C75+C74的值是( )
A. 252B. 70C. 56D. 21
2.若函数f(x)=x3−f’(1)x2+3，则f’(1)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知正项等比数列{an}中，a1a5a9=27，a6与a7的等差中项为9，则a10=( )
A. 332B. 181C. 96D. 729
4.若函数f(x)=x3−2ax2+4x+a不存在极值，则a的取值范围是( )
A. [− 3, 3]B. (− 3, 3)C. [−2,2]D. (−2,2)
5.春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )
A. 192B. 240C. 96D. 48
6.若函数f(x)=x−4x−alnx单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−4]C. [−4,4]D. (−∞,4]
7.已知函数f(x)=lnx，g(x)=12x+1，若f(x1)=g(x2)，则x1−x2的最小值为( )
A. 2−2ln2B. −2ln2−2C. 4−2ln2D. −2ln2−4
8.若过点(a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则( )
A. b>lnaB. bf(1 π)>f(12)
D. 若不等式k>f(x)+x2在(0,+∞)上恒成立，则k>e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=(x2−3)ex，则f(x)的极小值点为______．
13.(1+1x)(1+x)6的展开式中，x4的系数为______．
14.已知数列{an}满足an+1+(−1)nan=2n−1，若a1=1，则a3= ，前60项的和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=13,1a2+1a3=6a1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队．
(1)求1班至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)设X表示代表队中男生的人数，求X的分布列．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3−3kx+2，k∈R．
(1)若x=−2是函数f(x)的极值点，求k的值，并求其单调区间与极值；
(2)若函数f(x)在[0,2]上仅有2个零点，求k的取值范围．
18.(本小题17分)
已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1+an=3×2n，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=14(bn+1)2，且bn>0．
(1)求证：{an−2n}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)设cn=(an−2n)⋅4nbn⋅bn+1，求数列{cn}的前19项和．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax+1x−(a−1)lnx．
(1)当a=0时，求f(x)在[12,2]上的最值；(提示：ln2≈0.69)
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当a=2时，证明：i=1n[f(i)−i]≥n2+(17−8ln2)n8(n∈N*)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：C75+C74=C72+C73=7×62×1+7×6×53×2×1=56．
故选：C．
直接利用组合数公式求解即可．
本题考查组合数公式的应用，是基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
求导后，可求出f′(1)．
本题考查导数的运算，属于基础题．
【解答】
解：由题意可得f′(x)=3x2−2f′(1)x，则f′(1)=3−2f′(1)，解得f′(1)=1．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：在正项等比数列{an}中，由a1a5a9=27，得a53=27，可得a5=3，
又a6与a7的等差中项为9，∴a6+a7=18，即3q+3q2=18，
∴q2+q−6=0，解得q=−3(舍去)，或q=2．
∴a10=a5⋅q5=3×25=96．
故选：C．
由已知求得a5=3，再由a6与a7的等差中项为9求解q，则a10可求．
本题考查等比数列的通项公式与等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=x3−2ax2+4x+a，则f′(x)=3x2−4ax+4，
因为函数f(x)不存在极值，则f′(x)≥0在R上恒成立，
则Δ=16a2−4×3×4≤0，得− 3≤a≤ 3，即a∈[− 3, 3].
故选：A．
由题意函数f(x)不存在极值，则f′(x)≥0在R上恒成立，从而Δ≤0可解．
本题主要考查函数的极值，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：甲、乙、丙等七人恰好买到了七张连号的电影票，
若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，
若丙在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲、乙的顺序有A22种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有A44种情况，
故不同的坐法的种数为C41A22A44=192．
故选：A．
丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可．
本题考查了相邻问题的排列计算，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：依题意f′(x)=1+4x2−ax=x2−ax+4x2≥0，即x2−ax+4≥0对任意x>0恒成立，
即a≤4x+x恒成立，因为4x+x≥2 x×4x=4(当且仅当x=2时取“=”)，所以a≤4，
所以a的取值范围为(−∞,4]．
故选：D．
由f′(x)≥0恒成立分离常数a，利用基本不等式求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设f(x1)=g(x2)=t，则x1=et,x2=2t−2，
所以x1−x2=et−2t+2，
令h(t)=et−2t+2，
则h′(t)=et−2，
令h′(t)ln2，函数h(t)单调递增，
所以h(t)min=h(ln2)=eln2−2ln2+2=4−2ln2，
即x1−x2的最小值为4−2ln2．
故选：C．
由题意，设f(x1)=g(x2)=t，则x1−x2=et−2t+2=h(t)，利用导数讨论函数h(t)的性质求出h(t)min即可．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：设切点坐标为(x0,y0)，由y=lnx，得y′=1x，
因此切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)，又切线过点(a,b)，
则b−lnx0=a−x0x0，b+1=lnx0+ax0，
设f(x)=lnx+ax，函数定义域是(0,+∞)，
则直线y=b+1与曲线f(x)=lnx+ax有两个不同的交点，
f′(x)=1x−ax2=x−ax2，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；
当a>0时，若0lna+1，即b>lna．
故选：A．
设切点坐标为(x0,y0)，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(a,b)，得关于x0的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数的图象有两个交点，再利用导数求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：选项A，(2−x)10的展开式中奇数项的二项式系数之和为2n−1=210−1=29，即选项A正确；
选项B，要求|a0|+|a1|+…+|a10|，等价于求(2+x)10的展开式的所有系数之和，
令x=1，则|a0|+|a1|+…+|a10|=(2+1)10=310，即选项B正确；
选项C，在(2−x)10的展开式中，令x=0，则a0=210，
令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a10=1，
所以a1+a2+⋯+a10=1−210，即选项C错误；
选项D，因为n=10为偶数，
所以(2−x)10的展开式中二项式系数最大项为C10525⋅(−x)5=−C105⋅25⋅x5，即选项D正确．
故选：ABD．
根据二项式系数的性质可判断选项A和D；采用赋值法可判断选项B和C．
本题考查二项式定理，熟练掌握赋值法，二项式系数的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：记事件D：此人患了流感，事件E：此人来自A地区，事件F：此人来自B地区，事件G：此人来自C地区，
由题意可得P(E)=420=0.2，P(F)=920=0.45，P(G)=720=0.35，P(D|E)=0.05，P(D|F)=0.04，P(D|G)=0.03，
对于A，由全概率公式，可得：
P(D)=P(E)P(D|E)+P(F)P(D|F)+P(G)P(D|G)=0.2×0.05+0.45×0.04+0.35×0.03=0.0385．
所以P(D−)=1−P(D)=1−0.0385=0.9615>0.96，故A项正确；
对于B，等可能从这三个地区中选取一个人，即P(E)=P(F)=P(G)=13，
则P(D)=P(E)P(D|E)+P(F)P(D|F)+P(G)⋅P(D|G)=13×(0.05+0.04+0.03)=0.04，故B项错误；
对于C，由A项的结论，可知P(DF)=P(F)P(D|F)=0.45×0.04=0.018，故C项错误；
对于D，由条件概率公式，可得P(G|D)=P(DG)P(D)=P(G)P(D|G)P(D)=0.35×，故D项正确．
故选：AD．
根据题意，算出此人来自于A、B、C地区的概率与以及他在某地区患流感的概率，利用全概率公式算出此人患流感的概率，由对立事件的概率公式判断出A项的正误；等可能从三个地区中选取一人，利用全概率公式算出此人患流感的概率，从而判断出B项的正误；由A项的分析得出此人来自于B地区且患流感的概率，判断出C项的正误；根据条件概率公式算出此人患流感且此人来自于C地区的概率，从而判断出D项的正误．
本题主要考查概率的乘法公式、对立事件的概率公式、条件概率公式与全概率公式的计算等知识，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，函数的零点，比较大小及利用导数研究恒成立问题，考查逻辑思维能力与数学运算能力等核心素养，属于较难题．
对A，根据f(x)的导数判断f(x)单调性求出极大值即可；对B，根据A的结果分析即可判断；对C，根据单调性即可判断大小；对D，构造函数，求出g(x)的最值可得结论．
【解答】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=−2xlnx+−x2x=−x(1+2lnx)，
令f′(x)=−x(1+2lnx)=0，
则1+2lnx=0，解得x=e−12=1 e，
当x∈(0,1 e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1 e,+∞)时，f′(x)0，且当x→0时，f(x)>0，当x→+∞时f(x)1 π>1 4=12，
所以f(1 e)>f(1 π)>f(12)，选项C正确；
不等式k>f(x)+x2在(0,+∞)上恒成立，即不等式k>−x2lnx+x2在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=−x2lnx+x2，则g′(x)=x−2xlnx=x(1−2lnx)，
令g′(x)=x(1−2lnx)=0，则1−2lnx=0，
解得x= e，当x∈(0, e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈( e,+∞)时，g′(x)e2，选项D错误．
故选：AC．
12.【答案】1
【解析】解：f(x)的定义域为R，f′(x)=2xex+(x2−3)ex=(x2+2x−3)ex=(x+3)(x−1)ex，
则在(−∞,−3)上f′(x)>0，f(x)单调递增；在(−3,1)上f′(x)0，f(x)单调递增．
∴x=1时，函数f(x)取得极小值．
故答案为：1．
首先求出导函数，然后根据极值点的定义即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的极值点，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】21
【解析】解：(1+1x)(1+x)6=(1+x)6+1x⋅(1+x)6，
(1+x)6展开式通项Tr+1=C6rxr，
(1+x)6展开式中x4的系数为C64，1x⋅(1+x)6展开式中x4的系数为C65，
则C64+C65=21，
故答案为：21．
已知式变形为(1+1x)(1+x)6=(1+x)6+1x⋅(1+x)6，根据二项式的展开式的通项公式可得答案．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
14.【答案】1；1830
【解析】【分析】
依次写出前几项，再由偶数项和奇数项的规律分析出从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题．
【解答】
解：数列{an}满足an+1+(−1)nan=2n−1，a1=1，∴a2−1=1，解得a2=2．
∴a3+2=3，解得a3=1．
∵an+1+(−1)n an=2n−1，
∴有a2−a1=1，a3+a2=3，a4−a3=5，a5+a4=7，a6−a5=9，a7+a6=11，…a50−a49=97．
从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
∴{an}的前60项和为15×2+(15×8+15×142×16)=1830，
故答案为：1；1830．
15.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q>0，
由已知得，1a1q+1a1q2=6a1，即6q2−q−1=0，解得q=12或q=−13(舍去)，
则an=13×(12)n−1．
(2)数列{nan}的前n项和Sn=13×(12)0+13×2×(12)1+…+13×n×(12)n−1，①，
12Sn=13×(12)1+13×2×(12)2+…+13×n×(12)n，②，
上面两式相减可得12Sn=13+13×(12)1+…+13×(12)n−1−13×n×(12)n=13×1−12n1−12−13×n×(12)n=13(2−n+22n)．
所以Sn=23(2−n+22n)．
【解析】(1)利用等比数列的通项公式即可求解；
(2)由错位相减法及等比数列前n项和公式即可求解．
本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)根据题意，设1班至少有1名学生入选代表为事件A，则A−为1班没有入选学生，
则P(A−)=C54C84，
P(A)=1−C54C84=1−570=1314；
(2)X的所有可能取值为1，2，3，4．
P(X=1)=C51C33C84=114,P(X=2)=C52C32C84=37，
P(X=3)=C53C31C84=37,P(X=4)=C54C84=114．
因此X的分布列为：

【解析】(1)根据题意，先求出1班没有入选学生的概率，即可利用对立事件的概率求解，
(2)根据超几何的概率公式求解概率即可求解．
本题考查随机变量的分布列，涉及古典概型的计算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−3k，∵x=−2是函数f(x)的极值点，
∴f′(−2)=12−3k=0，解得k=4，
∴f′(x)=3(x+2)(x−2)，
可知：x=−2是函数f(x)的极大值点，满足题意．∴k=4．
令f′(x)>0可得x>2或x1⇒−1a−1>0⇒a+1a