2023-2024学年云南省玉溪市通海一中、江川一中、易门一中三校高二（下）联考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省玉溪市通海一中、江川一中、易门一中三校高二（下）联考数学试卷（6月份）（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−x−6≤0}，B={x|2x−1≥1}，则A∩B=( )
A. {x|0≤x≤2}B. {x|1≤x≤2}C. {x|1≤x≤3}D. {x|2≤x≤3}
2.已知复数z满足(1+i)z=3−i，则复数|z−|=( )
A. 2B. 5C. 2 2D. 10
3.已知向量a，b满足|a|−|b|=a⋅b=2，|a−b|= 10，则cs〈a,b〉=( )
A. 25B. 12C. 23D. 45
4.已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M，N两点，若|MN|= 14，则|k|=( )
A. 12B. 1C. 2D. 2
5.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为34、第二局获胜的概率为23，第三局获胜的概率为23，则甲恰好连胜两局的概率为( )
A. 19B. 536C. 736D. 29
6.若函数f(x)的定义域为R且图象关于y轴对称，在[0,+∞)上是增函数，且f(−3)=0，则不等式f(x)a>bB. b>a>cC. a>b>cD. b>c>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(x+2x)7的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共7项B. x项系数为280
C. 所有项的系数之和为2187D. 所有项的二项式系数之和为128
10.函数f(x)= 2sin(ωx+φ)(00)的左焦点F(−c,0)(c>0)引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，若|MO|−|MT|=2a−c，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB−bcsA=b+c．
(1)求角A的值；
(2)若a=2 3,△ABC的面积为 3，求b，c．
16.(本小题15分)
某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额x1和年收入的附加额y1进行研究，得到相关数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：i=17xiyi=2976，i=17yi=42，i=17xi2=32800．
附：回归方程的斜率和极距的最小二乘估计公式分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−．
17.(本小题15分)
如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1，AB= 2AA1，D，E分别为棱A1B1，BC的中点．
(1)求证：A1B⊥平面AC1D；
(2)求二面角A−C1D−E的正弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长等于2 3，离心率e=12．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：|PF||AB|为定值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2+x−1ex，a∈R．
(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)当a>0时，求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若对于任意x∈[1,3]，不等式12≤f(x)≤1+1e2成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|2x−1≥1}={x|x−1≥0}={x|x≥1}，
∴A∩B={x|1≤x≤3}．
故选：C．
由题意首先解一元二次不等式、指数不等式，再由交集的概念即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：(1+i)z=3−i，
则z=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i，
所以z−=1+2i，
故|z−|=|1+2i|= 12+22= 5．
故选：B．
根据已知条件，结合复数模公式，共轭复数的概念，即可求解．
本题主要考查复数模公式，共轭复数的概念，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，a⋅b=2，|a−b|= 10，
所以|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=10，即|a|2+|b|2=14，
因为|a|−|b|=2，
所以(|a|−|b|)2=|a|2+|b|2−2|a||b|=4，
解得|a||b|=5，
∴cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=25．
故选：A．
利用向量的相关知识，计算出|a||b|=5，借助数量积公式计算即可．
本题考查平面向量数量积运算，考查夹角公式，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设坐标原点O到直线kx−y+1=0的距离为d，则d=1 k2+1，
由|MN|= 14，得2 4−1k2+1= 14，解得|k|=1．
故选：B．
由题意得坐标原点O到直线kx−y+1=0的距离为d=1 k2+1，利用弦长结合勾股定理即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，设甲第i局胜，i=1，2，3，且P(A1)=14,P(A2)=13,P(A3)=13，
则甲恰好连胜两局的概率P=P(A1A2A3)+P(A−1A2A3)=14×13×(1−13)+(1−14)×13×13=536．
故选：B．
根据题意，根据题意，设甲第i局胜，i=1，2，3，根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解，即可得答案．
本题相互独立事件和互斥事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为f(x)在[0,+∞)上是增函数且f(−3)=0，所以f(3)=0，
故f(x)c．
故选：B．
根据a，b，c的特点，构造函数f(x)=lnxx，判断其单调性，得到1e>ln44=ln22>ln55，从而求出结果．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：选项A：因为n=7，所以展开式共有8项，故A错误，
选项B：展开式的一次项为C73x4(2x)3=35×8x=280x，故B正确，
选项C：令x=1，则所有项的系数和为(1+2)7=2187，故C正确，
选项D：所有项的二项式系数和为27=128，故D正确．
故选：BCD．
选项A：根据二项式定理的性质即可判断，选项B：根据二项式展开式的通项特征即可判断，选项C：令x=1即可判断，选项D：根据二项式系数和公式即可判断．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：依题意，f(0)= 2sinφ=−1，即sinφ=− 22，
又−π20，
令f′(x)=0，
解得x1=−1a，x2=2，
此时−1a