2023-2024学年四川省成都市玉林中学高二（下）诊断数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省成都市玉林中学高二（下）诊断数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}满足an=1an−1+1(n ≥ 2,n∈N*)，若a4=53，则a1=( )
A. 1B. 32C. 2D. 85
2.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )
A. 24种B. 9种C. 3种D. 26种
3.已知某物体的运动方程是s=t39+t，则当t=3s时的瞬时速度是( )
A. 2m/sB. 3m/sC. 4m/sD. 5m/s
4.函数f(x)=lnx−4x+1的递增区间为( )
A. (14,+∞)B. (0,4)C. (0,14)D. (−∞,14)
5.已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，B为椭圆上一点，AF⋅BF=0，cs∠BAF=1213，则椭圆的离心率为( )
A. 713B. 34C. 13D. 712
7.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )
A. 33cmB. 10 33cmC. 16 33cmD. 20 33 cm
8.已知数列{an}满足a1=21，an+1−an=4n，则ann的最小值为( )
A. 2 42−2B. 454C. 10D. 11
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列{an}是递增数列，满足a7=3a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是( )
A. d>0B. a10时n的最小值为8
10.下列式子中正确的是( )
A. (3x2+csx)′=6x−sinxB. (lnx−2x)′=1x−2xln2
C. (2sin2x)′=2cs2xD. (sinxx)′=xcsx−sinxx2
11.已知函数f(x)=ex−x2，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在R上单调递增
B. f(x)在(−∞,ln2)上单调递减
C. 若函数y=f(x)−lnx+x2在x=x0处取得最小值，则x0∈(0,1)
D. ∀x∈(0,+∞)，f(x)>lnx−x2+2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有______种．
13.已知等比数列{an}的各项均为正数，若lg3a1+lg3a2+…+lg3a12=12，则a6a7等于______．
14.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)在R上恒成立，则不等式e2f(2x−1)−e3xf(1−x)>0的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在等差数列{an}中，a3=5，a17=3a6．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=2n(an+3)，求数列{bn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
设函数f(x)=x3+2x2−4x+1．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
17.(本小题15分)
已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn=2an−1．
(1)证明数列{an}是等比数列；
(2)设bn=(2n−1)an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB/​/CD，且CD=2，AB=1，BC=2 2，PA=2，AB⊥BC，N为PD的中点．
(1)求证：AN/​/平面PBC；
(2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值；
(3)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为4 515，求点M到平面PCD的距离．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx−x(a∈R)．
(1)求函数y=f(x)的单调区间；
(2)若函数y=f(x)在其定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
(3)若00，
∵x>0，∴1−4x>0，得0f(1−x)e1−x，
∴g(2x−1)>g(1−x)，
又g(x)在R上单调递增，则2x−1>1−x，解得x>23，
∴不等式e2f(2x−1)−e3xf(1−x)>0的解集是(23,+∞)．
故答案为：(23,+∞)．
由题意构造函数g(x)=f(x)ex，可得g(x)在R上单调递增，将所求不等式转化为g(2x−1)>g(1−x)，利用单调性可解不等式，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
已知：a3=5，a17=3a6，
所以a1+2d=5 a1+16d=3(a1+5d) ，解得a1=1 d=2 ，
故an=2n−1；
(2)由(1)得：bn=2n(an+3)=22n(n+1)=1n−1n+1，
所以Sn=1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
(2)利用裂项相消法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵f(x)=x3+2x2−4x+1，∴f′(x)=3x2+4x−4，
∴f′(1)=3+4−4=3，f(1)=1+2−4+1=0，
∴所求的切线方程为y=3(x−1)，即y=3x−3．
(2)令f′(x)=0，则x=23或−2．
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
∴f(x)的极大值为f(−2)=(−2)3+2×(−2)2−4×(−2)+1=9，
极小值为f(23)=(23)3+2×(23)2−4×23+1=−1327．
【解析】(1)求导得f′(x)=3x2+4x−4，然后计算出f′(1)和f(1)，再根据点斜式写出切线方程．
(2)令f′(x)=0，则x=23或−2，再列表写出f′(x)，f(x)随x的变化情况，根据函数的单调性即可得解．
本题考查利用导数研究函数的切线方程、极值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
17.【答案】(1)证明：当n=1时，a1=S1=2a1−1，所以a1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(2an−1)−(2an−1−1)，
所以an=2an−1，
所以数列{an}是以a1=1为首项，以2为公比的等比数列；
(2)解：由(1)知，an=2n−1，
所以bn=(2n−1)2n−1，
所以Tn=1+3×2+5×22+…+(2n−3)⋅2n−2+(2n−1)⋅2n−1(1)2Tn=1×2+3×22+…+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n(2)
(1)−(2)得：−Tn=1+2(21+22+…+2n−1)−(2n−1)⋅2n
=1+2×2−2n−1×21−2−(2n−1)2n=(3−2n)2n−3，
所以Tn=(2n−3)2n+3．
【解析】本题考查由数列的递推关系化简证明数列为等比数列，错位相减法求和的方法，考查运算化简的能力，属于中档题．
(1)求出a1=1，通过当n≥2时，an=Sn−Sn−1，转化证明数列{an}是以a1=1为首项，以2为公比的等比数列；
(2)求出an=2n−1，然后利用错位相减法求解数列的和即可．
18.【答案】(1)证明：记CD的中点为E，连结AE，因为AB/​/CD，CE=12CD=1=AB，所以四边形ABCE是平行四边形，则AE=1，
因为AB⊥BC，所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB，
因为PA⊥平面ABCD，AE，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，PA⊥AB，则PA，AE，AB两两垂直，
故以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0)，B(0,1,0)，E(2 2,0,0)，D(2 2,−1,0)，C(2 2,1,0)，P(0,0,2)，
因为N为PD的中点，所以N( 2,−12,1)，则AN=( 2,−12,1)，
设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z)，而BP=(0,−1,2)，BC=(2 2,0,0)，
则m⋅BP=−y+2z=0m⋅BC=2 2x=0，令z=1，则m=(0,2,1)，
所以AN⋅m−=−12×2+1=0，则AN⊥m−，
又AN⊄平面PBC，所以AN/​/平面PBC．
(2)解：设平面PAD的一个法向量为n=(a,b,c)，而AP=(0,0,2)，AD=(2 2,−1,0)，
所以AP⋅n=2c=0AD⋅n=2 2a−b=0，令a=1，则n=(1,2 2,0)，
设平面PCD的一个法向量为u=(r,s,t)，而CD=(0,−2,0)，PC=(2 2,1,−2)，
所以CD⋅u=−2s=0PC⋅u=2 2r+s−2t=0，令r=1，则u=(1,0, 2)，
记平面PAD与平面PCD夹角为α，则00时，函数y=f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，
∴f(x)max=f(a)=alna−a，
又函数y=f(x)有两个零点，
∴f(a)=alna−a=a(lna−1)>0，∴a>e，
又f(1)=−1e，
∴g′(a)0，当x∈(e,+∞)，g′(x)0，从而x1lnx10分类讨论，利用导数即可求出函数y=f(x)的单调区间；
(2)法一：当a≤0时，函数y=f(x)至多有一个零点，不符合题意，当a>0时，f(x)max=f(a)=alna−a，f(a)>0，求出a>e，∃x1∈(1,a)，使得f(x1)=0，由f(a2)=a(2lna−a)，设g(a)=2lna−a，利用导数即可求出实数a的取值范围．
法二：将函数y=f(x)在其定义域内有两个不同的零点转化为方程1a=lnxx有两个不同的解，设g(x)=lnxx(x>0)，则g′(x)=1−lnxx2，利用导数即可求出实数a的取值范围．
(3)x1，x2(00，设h(t)=2tlnt−lnt−t+1，利用导数可得h(t)的单调性，即可证明x1lnx1