2023-2024学年四川省成都外国语学校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省成都外国语学校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设(1+x)n=a0+a1x+⋯+anxn(n∈N*)，若a1=a5，则n的值为( )
A. 4B. 6C. 7D. 8
2.某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有( )
A. 120种B. 240种C. 216种D. 256种
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=5a2+6a1，则公比q为( )
A. 1或5B. 5C. 1或−5D. 5或−1
4.已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y=xf′(x)的图像，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的增区间是(−2,0)，(2,+∞)
B. 函数f(x)的减区间是(−∞,−2)，(2,+∞)
C. x=−2是函数的极小值点
D. x=2是函数的极小值点
5.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
A. −12a+12b+c
B. 12a+12b+c
C. −12a−12b+c
D. 12a−12b+c
6.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率( )
A. 0.24B. 0.36C. 0.5D. 0.52
7.已知函数f(x)=x2+2lnx的图像在A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是( )
A. x1+x2=2B. x1+x2=103C. x1x2=2D. x1x2=103
8.已知椭圆C1：x2m2+y2n2=1(m>n>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1，F2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，那么e12+e22最小为( )
A. 2+ 34B. 2+ 32C. 3+2 24D. 3+2 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X、Y，且Y=3X+1，X的分布列如下：
若E(Y)=10，则( )
A. m=310B. n=15C. E(x)=3D. D(Y)=73
10.大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{an}满足a1=0，an+1=an+n+1,n为奇数an+n,n为偶数，则( )
A. a4=6
B. an+2=an+2(n+1)
C. an=n2−12,n为奇数n22,n为偶数
D. a1−a2+a3−a4+a5−a6+a7−a8=−20
11.已知函数f(x)=(x−1)3−ax−b+1，则下列结论正确的是( )
A. 当a=3时，若f(x)有三个零点，则b的取值范围为(−4,0)
B. 若f(x)满足f(2−x)=3−f(x)，则a+b=−1
C. 若过点(2,m)可作出曲线g(x)=f(x)−3x+ax+b的三条切线，则−50)的短轴长为2 3，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，R为椭圆上的一点，且△RF1F2的周长为6．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆交于E，F两点(点E在第一象限)，P，Q是椭圆C上位于直线l两侧的动点，始终保持∠QEF=∠PEF，求证：直线PQ的斜率为定值．
19.(本小题17分)
已知f(x)=eax−x−1，其中a∈R．
(1)当a=1时，证明：f(x)≥0；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(3)设n∈Z*，n≥2，证明：1+212+313+⋯+n1n>n+ln(n+2)−ln3．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题知，a1=Cn1,a5=Cn5，
所以a1=a5，所以Cn1=Cn5，所以n=1+5=6．
故选：B．
根据二项式系数和组合数的性质可得．
本题考查二项式定理的应用，属中档题．
2.【答案】B
【解析】解：利用捆绑法，把甲和乙看成一个整体，与其他4人进行全排列，
所以不同排法有A22⋅A55=240种．
故选：B．
利用“捆绑法”求解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了“捆绑法”的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=5a2+6a1，
∴a1+a1q+a1q2=5a1q+6a1，
整理得q2−4q−5=0，
解得公比q=−1或q=5．
故选：D．
利用等比数列的性质列方程，能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由图及题设，当00、x2>0、x1≠x2，即可得到x1x2=1，最后由基本不等式求出x1+x2的范围，即可判断．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设两曲线的半焦距为c，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs60°，
在椭圆中，|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1|⋅|PF2|(1+cs60°)，
得|PF1|⋅|PF2|=2n21+cs60∘=43n2，
在双曲线中，|F1F2|2=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1|⋅|PF2|(1−cs60°)，
得|PF1|⋅|PF2|=2b21−cs60∘=4b2，从而4n23=4b2，得n2=3b2，
则m2=n2+c2=3b2+c2，a2=c2−b2，即m2+3a2=4c2,m2c2+3a2c2=4，
即1e12+3e22=4，
所以e12+e22=14(e12+e22)(1e12+3e22)=14(4+e22e12+3e12e22)≥14×(4+2 3)=2+ 32，
当且仅当e22= 3e12=3+ 34时等号成立．
故选：B．
分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造1e12+3e22=4，利用基本不等式，即可求解．
本题考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：∵X的分布列如下：
∴E(X)=m+2×110+3×15+4n+5×310=m+4n+2310，m+110+15+n+310=1，
∵Y=3X+1，E(Y)=10，
则E(Y)=3E(X)+1=10，
∴E(X)=3，
∴m+4n+2310=3，m+n=25，
解得m=310，n=110，
∴D(X)=(1−3)2×310+(2−3)2×110+(3−3)2×15+(4−3)2×110+(5−3)2×310=2.6，
∴D(Y)=32D(X)=23.4．
故选：AC．
根据X的分布列可得：E(X)=m+2×110+3×15+4n+5×310=m+4n+2310，m+110+15+n+310=1，结合离散型随机变量的期望与方差及性质即可得出结论．
本题考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差及性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由a1=0，an+1=an+n+1,n为奇数an+n,n为偶数，可得a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，a4=a3+4=8，故A错误；
当n为奇数时，an+2=an+1+n+1=an+n+1+n+1=an+2(n+1)，
当n为偶数时，an+2=an+1+n+2=an+n+n+2=an+2(n+1)，故B正确；
当n(n≥3)为奇数时，an=a1+(a3−a1)+(a5−a3)+...+(an−an−2)=0+4+8+...+2(n−1)=12×2(n−1)⋅12(n+1)=n2−12(n=1也成立)；
当n(n≥2)为偶数时，an=a2+(a4−a2)+(a6−a4)+...+(an−an−2)=2+6+10+...+2(n−1)=12×2n⋅12n=12n2(n=2也成立)，故C正确；
a1−a2+a3−a4+a5−a6+a7−a8=0−2+4−8+12−18+24−32=−20，故D正确．
故选：BCD．
由数列的递推式，计算可判断A；讨论n为奇数和偶数，结合递推式和等差数列的求和公式，可判断BC；分别计算数列的前8项，可判断D．
本题考查数列的递推式和等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=(x−1)3−ax−b+1，f′(x)=3(x−1)2−a．
A.当a=3时，f′(x)=3(x−1)2−3=3x(x−2)，令f′(x)=0，解得x=0，2．
x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；x∈(0,2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．
∴0是函数f(x)的极大值点，2是函数f(x)的极小值点，
∵f(x)有三个零点，∴f(0)=−b>0f(2)=−4−b