宁夏银川一中2024届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题（Word版附解析）

这是一份宁夏银川一中2024届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，已知非零向量，，若，则，我们知道等内容，欢迎下载使用。

文科数学试题卷
( 银川一中第四次模拟考试 )
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，若，则
A．2B．1C．D．
2．若复数满足，则的虚部为
A． B． C．D．
3．设D为△ABC所在平面内一点，则
A．B．
C．D．
4．数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是
A．，都有最小值B．，都有最大值
C．，都无最小值D．，都无最大值
5．圆心为，且与直线相切的圆在x轴上的弦长为
A．2B．4C．D．
6．设函数的图像与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
7．已知非零向量，，若，则
A．B．C．D．
8．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，
通过类比的方法，若在空间中，点到平面的距离为4，则
满足条件的实数m的所有的值之和为
A．B．1C．2D．3
9．已知函数的部分图象如图所示，其中一个最
高点的坐标为，与轴的一个交点的坐标为．
设M，N为直线与的图象的两个相邻交点，且
，则的值为
A．B．C．D．
10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为
A．B．C．D．
11．已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是
A．B．
C．D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为
A．B．或C．或D．或
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则 .
14．设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当
取得最大值时， .
15．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 .
16．已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥内部最大球的半径为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）
设函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)，，分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知，，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（12分）
某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：
甲：95 82 88 81 93 79 84 78
乙：83 92 80 95 90 80 85 75
(1)哪个工人的成绩较好？
(2)甲、乙成绩位于内的分别有多少次？(表示平均数，s表示标准差)
19．（12分）
如图，在三棱柱中，，，
且，是的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与所成角的余弦值．
20．（12分)
已知双曲线的离心率为，虚轴长为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值．
21．（12分)
已知函数有两个零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)如果，求此时的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标．
(1)将曲线的参数方程化为普通方程；
(2)过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
银川一中2024届高三第四次模拟数学(文科)参考答案
1．【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2．【答案】B【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
3．【答案】A
【分析】由向量等式判断点在线段的延长线上，结合图形，将用和线性表示即得.
【详解】
如图，由可知，点在线段的延长线上,由图可得，
=.
故选:A．
4．【答案】A
【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案．
【详解】因为，所以当时，且单调递减；
当时，，且单调递减，故当时，为最小值；
又因为当时，；当时，，故可得最小，
综上可知，都有最小值．
故选：A
5．【答案】B
【分析】根据直线与圆相切的位置关系，圆心到直线的距离为圆的半径，求出圆的标准方程，令，求出，进而得到圆在x轴上的弦长.
【详解】圆心到直线的距离为，即圆的半径，
所以圆的方程为，
令，则或4，故圆在轴上的弦长为4，
故选：B.
6．【答案】C
【分析】令可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.
【详解】令，即，即，解得，
故，，则，
则其切线方程为：，即.
故选：C.
7．【答案】D
【分析】利用两个向量平行的性质可得，化简可得，利用齐次式即可得到答案.
【详解】因为，为非零向量，所以，即
因为，所以，则，
即，
即，由于，所以两边同除，
可得：，解得：或(舍去),
所以.
故选：D
8．【答案】C
【分析】利用平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式进而可以求解.
【详解】平面内点到直线的距离公式，
类比平面内点到直线的距离公式，
可得空间中点到平面的距离为，
解得或5，则满足条件的实数m的所有的值之和为.
故选：C.
9．【答案】A
【分析】先确定，，然后根据线段的长度确定它们与中间对称轴之间的距离，再由此推出它们的函数值.
【详解】由图可知，的最小正周期，
所以，即.
而是图象的最高点，所以，
从而.
由于，故的横坐标一定位于的相邻两个零点之间.
而，故到它们之间的对称轴的距离都是，而对称轴的横坐标一定满足，所以.
故选：A.
10．【答案】C
【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.
【详解】设甲船到达泊位的时间为，乙船到达泊位的时间为，则，
这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则，
画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分，
，
则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为.
故选：C
11．【答案】C
【分析】设点，点是函数的图象上任意一点，由中点坐标公式得点关于点的对称点，则点也在函数的图象上. 解方程组即得点坐标.
【详解】设点，点是函数的图象上任意一点，则点关于点的对称点也在函数的图象上.
由，联立方程组，
，两式相加得
，
，
即，
，.
故选：．
12．【答案】C
【分析】由直线的斜率得和，由得和，中，由余弦定理列方程求椭圆的离心率.
【详解】由题知在轴上方，直线的斜率为，则，．
由，，得，
所以由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理得，
整理得，得，即，
解得或，
故椭圆的离心率为或．
故选：C.
13．【答案】2
【详解】因为，所以，所以.
14．【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再借助通项公式及前n项和公式求出，进而求得答案.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，
由、、成等比数列，得，解得，
因此，
则，当且仅当时取等号，
所以.
15．【详解】函数的定义域内R，则恒成立，
令，则，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
时，，则有，得，
所以实数m的取值范围是.
16．【详解】设母线长为，依题意，解得，
所以圆锥的高为，
作出圆锥轴截面图象，
设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为，
由于，则，
可得，解得.
17．（12分）【答案】(1)； (2)．
【分析】（1）辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；
（2）由，得，由的面积为，得，，余弦定理求出，可求的周长．
【详解】（1），
令，解得，
所以函数的单调增区间为．
（2）由得．
，，
，又，则，
由余弦定理得，，
的周长为．
18．（12分）【答案】(1)甲的成绩较好； (2)4个，5个.
【分析】（1）根据给定数据，求出甲乙工人成绩的平均数和方差，再比较大小作答.
（2）求出标准差及指定区间，再观察数据即得.
【详解】（1）甲工人成绩的平均数，
乙工人成绩的平均数，
甲工人成绩的方差
，
乙工人成绩的方差
，
显然，所以甲的成绩较稳定，较好.
（2）由（1）知，，
甲的成绩位于区间，即内的有4个，
乙的成绩位于区间，即内的有5个.
19．（12分）【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）如图所示，连接，
因为在和中，，且，
所以，，
则，所以，又是的中点，所以，
又，
所以．
（2）设，
因为，，所以，
在中，由余弦定理，得，
因为，
所以把三棱柱补为一个底面为正方形的四棱柱，
连接．
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，则就是异面直线与所成的角，
在正方形ABDC中，，则，
所以，所以，
所以在中，．
20．（12分)【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得到双曲线的方程；
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直曲联立表示出，再表示出原点O到直线l的距离，即三角形的高，进而求出的面积为，从而证得结论成立.
【详解】（1）因为虚轴长为，所以，
因为，且，所以，
故双曲线C的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为，
此时，
当直线l的斜率存在时，不设直线，且，
联立方程组得，
由，得，
不妨设l与的交点为P，则，得，
同理可得，
所以，
因为原点O到直线l的距离，
所以，
因为，所以，
综上，的面积为定值，定值为．
21．（12分)【答案】(1) (2)
【分析】（1）令，可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，利用换元法表示，通过构造函数法，利用导数证得，结合（1）求得的取值范围.
【详解】（1）令，即，
令，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且时，当时，
又与有两个交点，所以.
（2）由（1）可得，，
又，
所以，即，
令，，则，
所以，，
记，，则，
令，，则，
所以在上，即单调递减，
由于，
所以当时，，所以，
所以函数在区间上单调递减，
故，即，
而，在区间上单调递增，
故且，
即．
22．【详解】（1）解：因为曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得：，将点代入可得，所以曲线的普通方程为：；
（2）由已知得：，的斜率存在且不为0，
设的斜率为，方程为，则的方程为：，
联立方程可得：，同理可得：，
设，所以所以，
所以即为点轨迹的普通方程．
23．【详解】（1）∵，只需证，即证，
即，显然成立，故原式得证．
（2）由（1）知：，故
，
仅当，时取等号，不等式成立.