初中数学人教版九年级上册24.4 弧长和扇形面积精品课时练习

这是一份初中数学人教版九年级上册24.4 弧长和扇形面积精品课时练习，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是( )度．
A. 120°
B. 135°
C. 150°
D. 160°
2.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240∘的扇形，则这个圆锥的底面半径是( )
A. 6cmB. 9cmC. 12cmD. 18cm
3.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P=120°，⊙O的半径为6cm，则图中CD的长为( )
A. πcmB. 2πcmC. 3πcmD. 4πcm
4.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是( )
A. 2π3B. 2 3−π3C. 2 3−2π3D. 4 3−2π3
5.如图，直径AB=6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A′，则图中阴影部分的面积是( )
A. π2B. 3π4C. πD. 3π
6.如图，从一个边长为2m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形CAE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为( )
A. 32m
B. 33m
C. 34m
D. 3m
7.如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB⌢上的点D处，且BD⌢与AD⌢的长度之比为1︰3.若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径与母线长的比为( )
A. 1︰3B. 1︰πC. 1︰4D. 2︰9
8.如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转2a，得到△AB′C′，连接B′C并延长，交AB于点D.当B′D⊥AB时，BB′⌢的长是( )
A. 23 3πB. 43 3πC. 89 3πD. 109 3π
9.如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB，交AB⌢于点D，C是半径OB上一动点．若OA=1，则阴影部分周长的最小值为( )
A. 2+π6B. 2+π3C. 2 2+π6D. 2 2+π3
10.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为BD⌢，则图中阴影部分的面积是( )
A. 143π−6B. 259πC. 338π−3D. 33+π
11.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，P是AD的中点，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，交BC于点E，以点C为圆心，CP的长为半径画弧，交BC于点F.若AB=3，则图中阴影部分的面积是( )
A. 3 2π4−2B. 9π2−4C. 3 2π4−9D. 9π2−9
12.如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积( )
A. 6
B. 12
C. 4π
D. 3.5π
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，四边形OABC是平行四边形，AB=1，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D.则图中阴影部分的面积为 ．
14.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以C为圆心，CO长为半径的弧交BC于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
15.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为______．
16.一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是 cm2．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC.过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4，CD= 3，求图中阴影部分的面积．
18.(本小题8分)
现有一圆心角为108°，半径为80 cm的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的容器，再用其它铁片做一个圆形盖子把容器底面密封．
(1)求该圆形盖子的直径；
(2)求制作这个密封容器所需铁片的面积．
19.(本小题8分)
已知圆锥的高为4，底面半径为3，求：
(1)圆锥的全面积；
(2)圆锥侧面展开图的圆心角．
20.(本小题8分)
如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9 cm．
(1)求扇形AOB的弧长和面积；
(2)若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．
21.(本小题8分)
如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠A=45°.求：
(1)BC⌢的长；
(2)图中涂色部分的面积．
22.(本小题8分)
如图①，某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD的长之比为1︰2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥的侧面时，AE，AF恰好重合．
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的度数；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分(图②中涂色部分)的面积(结果保留π)．
23.(本小题8分)
如图，一个圆锥的高AO为3 3 cm，侧面展开图是一个半圆．求：
(1)圆锥的母线长与底面圆的半径的比值；
(2) ∠BAC的度数；
(3)圆锥的侧面积．
24.(本小题8分)
如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB⌢上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠C=30°，CD=2 3，求BD⌢的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．先设圆锥的母线长为lcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式得到12×20π×l=240π，解得l=24，然后设这个扇形的圆心角的度数是n°，利用弧长公式得到nπ×24180=20π，最后解方程即可．
【解答】
解：设圆锥的母线长为lcm，
则12×20π×l=240π，
解得：l=24，
设这个扇形的圆心角的度数是n°，
则nπ×24180=20π，
解得n=150，
即这个扇形的圆心角的度数是150°．
故选C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】
解：圆锥侧面展开扇形的弧长为：240π×18180=24π，
∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12．
故选C．
3.【答案】B
【解析】解：连接OC，OD，
∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD=360°−∠OCP−∠ODP−∠CPD=360°−90°−90°−120°=60°，
∴CD的长=60π×6180=2π(cm)．
故选：B．
连接OC，OD，求出圆心角∠COD的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可．
本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，在底角为30°的等腰△BB′O′中，求得BB′=2 3，O′到BB′的距离为1，则图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)，即可求解．
【解答】
解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′在⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
又BO′=O′B′=2，
在底角为30°的等腰△BB′O′中，BB′=2 3，O′到BB′的距离为1，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)
=12×1×2 3−(60⋅π×22360−12×2× 3)=2 3−2π3．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．
由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积−空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】
解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，
∴S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′−S半圆AB
=S扇形ABA′
=62π⋅30360
=3π，
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2m，
∴AB=BC=2m，∠B=∠BCD=120°，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴BM=1m，AM=CM= 3m，
∴AC=2 3m，
∠ACE=120°−30°−30°=60°，
∴弧AE的长为60π×2 3180=2 33π(m)，
设圆锥的底面半径为r m，
则2πr=2 33π，
即r= 33(m)，
故选：B．
根据正六边形的性质可求出AB=BC=2m，∠B=∠BCD=120°，进而求出阴影部分扇形的半径AC和圆心角的度数，利用弧长公式求出弧AE的长，再根据圆的周长公式求出底面半径．
本题考查正六边形，掌握正六边形的性质以及正六边形与圆的相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是正确解答的前提．
7.【答案】D
【解析】连接OD.由折叠，可得AO=AD.又∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD=60°.∵BD⌢与AD⌢的长度之比为1︰3，∴易得∠AOB=80°.设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则80πl180=2πr，∴r︰l=2︰9．
8.【答案】B
【解析】略
9.【答案】A
【解析】如图，作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，AE与OB的交点即为点C，此时，阴影部分周长最小．在扇形AOB中，∵∠AOB=60°，OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠BOD=30°.由轴对称的性质，可知∠EOB=∠BOD=30°，OE=OD=OA，CE=CD，∴AC+CD=AC+CE=AE，∠AOE=90°.∴△AOE是等腰直角三角形．∵OA=1，∴AE= 12+12= 2，AD⌢的长为30π×1180=π6.∴阴影部分周长的最小值为 2+π6．
10.【答案】B
【解析】由题意，得S△ADE=S△ABC，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ADB−S△ABC=S扇形ADB=40π×52360=259π．
11.【答案】D
【解析】解：如图，过点P作PM⊥BC于点M．
由题意可知，∠PBM=45∘，BM=PM=AB=3，BP=3 2，
∴S扇形PBE=45π×(3 2)2360=9π4，S△BPM=12×3×3=92，
∴阴影部分的面积=2(S扇形PBE−S△BPM)=2×(9π4−92)=9π2−9．
故选D．
先根据直角三角形中的勾股定理求得BP=3 2，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分=2(S扇形PBE−S△BPM)，将相关量代入求解即可．
本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．
12.【答案】B
【解析】解：取CD中点O，连接OF，
∵正方形的边长为4，
∴CD=4，
∴OC=OD=2，
∵扇形OFC的面积=90π×22360=π，△OFC的面积=12OF⋅OC=12×2×2=2，
∴弓形CMF的面积=扇形OFC的面积−△OFC的面积=π−2，
∵△ABC的面积=12AB⋅BC=12×4×4=8，半圆的面积=12π×22=2π，S1=S2，
∴阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2=8+2π−2(π−2)=12．
故选：B．
取CD中点O，连接OF，由阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2，求出△ABC的面积，半圆的面积，弓形CMF的面积，即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是得到阴影的面积=△ABC的面积+半圆的面积−弓形CMF的面积×2．
13.【答案】4−π8
【解析】【分析】
连接OB，根据切线的性质可得∠OBA=90°，根据平行四边形的性质可得AB=OC=OB=1，从而可得∠AOB=45°，然后利用阴影部分的面积=△AOB的面积−扇形DOB的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．
【解答】
解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA=90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB=OC=1，
∴AB=OB=1，
∴∠AOB=∠OAB=45°，
∴阴影部分的面积=△AOB的面积−扇形DOB的面积
=12AB⋅OB−45π×12360
=12×1×1−π8
=4−π8，
故答案为：4−π8．
14.【答案】2−12π
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=2，
∴OC= 22BC= 2，
∴阴影部分的面积=S△BCD−S扇形ECF
=12×2×2−90π×( 2)2360
=2−12π．
故答案为：2−12π．
由图可知，阴影部分的面积是△BCD和扇形ECF的面积之差．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】6 2+π3
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】
解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′= OC2+OD′2= 22+22=2 2，
CD的长l=30π×2180=π3，
∴阴影部分周长的最小值为2 2+π3=6 2+π3．
故答案为：6 2+π3．
16.【答案】6π
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积计算和弧长的计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．
【解答】
解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，
∴135π×R180=3π，
解得：R=4，
所以此扇形的面积为135π×42360=6π(cm2)，
故答案为6π．
17.【答案】(1)证明：连接OC，
∵EC=BC，
∴∠CAD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠CAD=∠ACO，
∴AD/​/OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：连接OE，连接BE交OC于F，
∵EC=BC，
∴OC⊥BE，BF=EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠FED=∠D=∠EFC=90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF=CD= 3，
∴BE=2 3，
∴AE= AB2−BE2= 42−(2 3)2=2，
∴AE=12AB，
∴∠ABE=30°，
∴∠AOE=60°，
∴∠BOE=120°，
∵EC=BC，
∴∠COE=∠BOC=60°，
连接CE，
∵OE=OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO=∠BOC=60°，
∴CE/​/AB，
∴S△ACE=S△COE，
∵∠OCD=90°，∠OCE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴DE= 33CD=1，
∴AD=3，
∴图中阴影部分的面积=S△ACD−S扇形COE=12× 3×3−60⋅π×22360=3 32−2π3．
【解析】本题考查了切线的判定，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键，有一定难度．
(1)连接OC，根据EC=BC，求得∠CAD=∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出AD/​/OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
(2)连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF=EF，由圆周角定理得到∠AEB=90°，根据矩形的性质得到EF=CD= 3，根据勾股定理得到AE= AB2−BE2= 42−(2 3)2=2，求得∠AOE=60°，连接CE，推出CE/​/AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
18.【答案】【小题1】
解：圆锥的底面周长为108π×80180=48πcm．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=48π，
解得r=24，
则圆锥底面圆的直径为2×24=48(cm)．
答：该圆形盖子的直径为48 cm；
【小题2】
解：S=S侧+S底=πrl+πr2=π×24×80+24×24π=2496π(cm2).
答：制作这个密封容器所需铁片的面积为2496π cm2．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
19.【答案】【小题1】
24π
【小题2】
216°

【解析】1. 略
2. 略
20.【答案】【小题1】
解：扇形AOB的弧长=120π×9180=6πcm
S扇形AOB=120π×92360=27πcm2；
【小题2】
解：∵扇形AOB的弧长为6π cm，
∴圆锥的底面周长为6π cm，
∴圆锥的底面半径为3 cm，
∴OH= 92−32=6 2cm．

【解析】1. 本题考查了扇形面积的计算、弧长的计算，根据扇形面积公式、弧长公式计算即可．
2. 本题考查了圆锥的计算，求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理求出高OH即可．
21.【答案】【小题1】
连接OB，OC.∵∠BOC=2∠A，∠A=45°，∴∠BOC=90°.∵⊙O的直径为2，∴OB=OC=1.∴BC⌢的长=90×π×1180=π2
【小题2】
S涂色部分=S扇形OBC−S▵OBC=90π×12360−12×1×1=π4−12

【解析】1. 见答案
2. 见答案
22.【答案】【小题1】
设在题图②中，∠BAC=α.根据题意，得EF⌢的长就是圆锥底面圆的周长，∴α180∘×π×AD=ED×π，又∵ED︰AD=1︰2，∴AD=2ED.∴α=90°，即∠BAC=90°
【小题2】
∵圆锥底面圆的直径ED为5 cm，∴AD=2ED=10 cm.∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．∵AD⊥BC，∴易得BC=2AD=20 cm.∴S涂色部分=S▵ABC−S扇形AEF=12BC⋅AD−90π×AD2360=(100−25π) cm2

【解析】1. 见答案
2. 见答案
23.【答案】【小题1】
设此圆锥的高为h cm，底面圆的半径为r cm，母线AC的长为l cm．
由题意，得180πl180=2πr，∴lr=2
【小题2】
∵lr=2，∴易得圆锥的高与母线的夹角为30°.∵AB=AC，AO⊥BC，∴∠BAC=2×30°=60°
【小题3】
由题意，可知l2=h2+r2.又∵lr=2，h=3 3，∴(2r)2=(3 3)2+r2，解得r=3(负值舍去).∴l=2r=6.∴圆锥的侧面积为180πl2360=18π(cm2)

【解析】1. 见答案
2. 见答案
3. 见答案
24.【答案】连接OD.根据折叠的性质，得S△BDC=S△BOC，CD=OC，BD=BO，∠DBC=∠OBC.∴OB=OD=BD.∴△OBD是等边三角形．∴∠DBO=60°.∴∠OBC=12∠DBO=30∘.∵∠AOB=90°，∴BC=2OC.由勾股定理，得OC2+OB2=BC2.∴OC2+62=4OC2.∴OC=2 3.∴S▵BDC=S▵BOC=12OB⋅OC=12×6×2 3=6 3，S扇形OAB=90π×62360=9π，AB⌢的长为90π×6180=3π.∴整个阴影部分的周长为AC+CD+BD+AB⌢=AC+OC+BO+AB⌢=OA+OB+AB⌢=6+6+3π=12+3π，整个阴影部分的面积为S扇形OAB−S▵BDC−S▵BOC=9π−6 3−6 3=9π−12 3
【解析】见答案
25.【答案】【小题1】
连接OD，则OD=OB.∴∠ODB=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B.∴∠ODB=∠C.∴OD // AC.∵DE⊥AC，∴∠ODE=∠CED=90°.∴DE⊥OD.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线
【小题2】
连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.∵AB=AC，CD=2 3，∴BD=CD=2 3.∵∠B=∠C=30°，∴易得AD=2.∵OD=OA，∠AOD=2∠B=60°，∴△AOD是等边三角形．∴OD=AD=2.∵∠BOD=180°−∠AOD=120°，∴BD⌢的长是120π×2180=4π3

【解析】1. 见答案
2. 见答案