2025届新高考数学考点全复习讲义2.1函数的概念及其表示

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1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，
理解函数图象的作用.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
基础知识

1.函数的概念及其表示
（1）函数的概念
（2）函数的表示法：表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和列表法；
（3）同一个函数：如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
提醒 若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2.
2.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的 不同 取值区间，有着不同的 对应关系 ，这样的函数叫做分段函数.
提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
3.复合函数
已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝f（g（x））为函数f（u）与g（x）的复合函数，其中u称为中间变量.
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数.（ × ）
（2）对于函数f：A→B，其值域是集合B.（ × ）
（3）函数f（x）＝x－1，x≥0，x2，x<0的定义域为R.（ √ ）
（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数.（ × ）
2.已知函数f（x）＝x2－x，x≤1，11－x，x>1，则f（f（－1））＝（ ）
A.－1 B.15
C.－15 D.1
解析：A 因为－1≤1，所以f（－1）＝（－1）2－（－1）＝2，因为f（－1）＝2＞1，所以f（f（－1））＝f（2）＝11－2＝－1.
3.下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A.y＝x－1与y＝（x－1）2
B.y＝x－1与y＝x－1x－1
C.y＝4lg x与y＝2lg x2
D.y＝（3x）3与y＝x
解析：D A中，y＝x－1与y＝（x－1）2＝｜x－1｜的对应关系不同，两函数不是同一个函数；B中，y＝x－1的定义域为[1，＋∞），y＝x－1x－1的定义域为（1，＋∞），定义域不同，两函数不是同一个函数；C中，y＝4lg x与y＝2lg x2＝4lg｜x｜的对应关系不同，两函数不是同一个函数；D中，y＝（3x）3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域和对应关系都相同，两函数是同一个函数.故选D.
4.函数f（1x）＝11+x，则函数f（x）的解析式为 f（x）＝xx+1（x≠0，－1） .
解析：令t＝1x，t≠0，－1.则有x＝1t，所以f（t）＝11+1t＝tt+1，t≠0，－1，所以f（x）＝xx+1，x≠0，－1.
5.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为 {－1，1，3，5，7} .
解析：由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，f（2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.
常用结论
1.直线x＝a（a是常数）与函数y＝f（x）的图象有0个或1个交点.
2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
结论运用
1.（多选）下列所给图象是函数图象的是（ ）
解析：CD 由结论1知，题图A、B均不是函数图象，C、D是函数图象.
2.定义在R上的函数f（x）＝1，x∈Q，0，x∉Q的值域为 {0，1} .
解析：根据结论2知f（x）的值域为{0，1}.
聚焦考点 课堂演练
考点1 函数的定义域
【例1】 （1）函数f（x）＝1ln（x+1）＋4－x2的定义域为（ ）
A.[－2，0）∪（0，2]
B.（－1，0）∪（0，2]
C.[－2，2]
D.（－1，2]
（2）已知函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，则函数g（x）＝f（2x+1）x+2的定义域是（ ）
A.（－∞，－2）∪（－2，3]
B.（－∞，－2）∪（－2，1]
C.－92,−2∪（－2，0]
D.－92,−2
答案：（1）B （2）C
解析：（1）要使函数有意义，则需x+1>0，x+1≠1，4－x2≥0，解得－1＜x≤2且x≠0，所以x∈（－1，0）∪（0，2].
（2）∵f（x）的定义域为[－8，1]，∴－8≤2x+1≤1，x+2≠0，解得－92≤x≤0，且x≠－2.∴g（x）的定义域为－92,−2∪（－2，0].
方法技巧
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
跟踪训练
1.函数f（x）＝2x+13x－2＋（x－1）0的定义域为（ ）
A.（23，＋∞） B.（23，1）∪（1，＋∞）
C.23，1∪（1，＋∞） D.－23，＋∞
解析：B 由已知得3x－2>0，x－1≠0，解得x＞23且x≠1，所以函数f（x）＝2x+13x－2＋（x－1）0的定义域为（23，1）∪（1，＋∞）.故选B.
2.如果函数f（x）＝ln（－2x＋a）的定义域为（－∞，1），那么实数a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：D 因为－2x＋a＞0，所以x＜a2，所以a2＝1，所以a＝2.
考点2 函数的解析式
【例2】 求下列函数的解析式：
（1）已知f（1－sin x）＝cs2x，求f（x）的解析式；
（2）已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f（x）的解析式；
（3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；
（4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.
解：（1）设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t，∵f（1－sin x）＝cs2x＝1－sin2x，
∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].
（2）∵fx＋1x＝x2＋1x2＝（x＋1x）2－2，∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）.
（3）∵f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b（a≠0），
∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17.
即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，
∴a=2，5a＋b=17，解得a=2，b=7.
∴f（x）＝2x＋7.
（4）∵2f（x）＋f（－x）＝3x， ①
∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x， ②
由①②解得f（x）＝3x.
方法技巧
求函数解析式的4种方法
跟踪训练
1.已知f（x＋1）＝x＋2x，则f（x）＝（ ）
A.x2－1（x≥0） B.x＋1（x≥1）
C.x2－1（x≥1） D.x－1（x≥0）
解析：C 法一（换元法） 令t＝x＋1，t≥1，则t2＝（x＋1）2＝x＋2x＋1，由f（x＋1）＝x＋2x得，f（t）＝t2－1，t≥1，即f（x）＝x2－1，x≥1.故选C.
法二（配凑法） f（x＋1）＝x＋2x＝（x）2＋2x＋1－1＝（x＋1）2－1，故f（x）＝x2－1，x≥1.
2.（2024·陕西模拟）若函数f（x）满足f（x）－2f1x＝x＋2，则f（2）＝ －3 .
解析：由f（x）－2f1x＝x＋2，可得f1x－2f（x）＝1x＋2，联立两式可得f（x）＝－13x＋2x－2，代入x＝2可得f（2）＝－3.
3.定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝ －12x（x＋1） .
解析：因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f（x）＝12f（x＋1）＝12（x＋1）[1－（x＋1）]＝－12x（x＋1）.故当－1≤x≤0时，f（x）＝－12x（x＋1）.
考点3 分段函数
考向1 分段函数求值
【例3】 （1）（2024·潍坊统考）已知函数f（x）＝sinx，x≥sinx，x，x＜sinx，则f（π6）＝ 12 ；
（2）若f（x）＝x－2，x>0，f（x+3),x≤0，则f（f（1））＝ 0 .
解析：（1）因为sinπ6＝12，所以π6＞sinπ6，所以f（π6）＝sinπ6＝12.
（2）因为f（x）＝x－2，x>0，f（x+3),x≤0，所以f（1）＝－1，f（－1）＝f（－1＋3）＝f（2）＝0，所以f（f（1））＝0.
方法技巧
分段函数求值的策略
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值.
考向2 分段函数与方程、不等式问题
【例4】 已知函数f（x）＝－x2－3x+2，x＜－1，2x－3，x≥－1，若f（a）＝4，则实数a＝ －2或5 ；若f（a）≥2，则实数a的取值范围是 [－3，－1）∪[4，＋∞） .
解析：若f（a）＝4，则a＜－1，－a2－3a+2=4或a≥－1，2a－3=4，解得a＝－2或a＝5.若f（a）≥2，则a＜－1，－a2－3a+2≥2或a≥－1，2a－3≥2，解得－3≤a＜－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1）∪[4，＋∞）.
方法技巧
分段函数与方程、不等式问题的求解思路
解分段函数的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解.
跟踪训练
1.已知函数f（x）＝2x，x>0，x+1，x≤0.若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝（ ）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
解析：A 因为f（1）＝21＝2，所以f（a）＋2＝0，所以f（a）＝－2，当a≤0时，f（a）＝a＋1＝－2，解得a＝－3；当a＞0时，f（a）＝2a＝－2，无解.综上，a＝－3.
2.已知函数f（x）＝2x，x≤0，f（x－5),x>0，则f（12）＝
解析：因为f（x）＝2x，x≤0，f（x－5),x>0，则f（12）＝f（12－5）＝f（7）＝f（2）＝f（－3）＝2－3＝18.
第一节 函数的概念及其表示
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.（2024·保定模拟）函数y＝ln（1－x）x+1＋1x的定义域是（ ）
A.[－1，0）∪（0，1） B.[－1，0）∪（0，1]
C.（－1，0）∪（0，1） D.（－1，0）∪（0，1]
解析：C 由题意得1－x>0，x+1>0，x≠0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.所以原函数的定义域是（－1，0）∪（0，1）.故选C.
2.下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A.y＝x与y＝x2x
B.y＝x2＋xx+1与y＝x（x≠－1）
C.y＝x（x≥0）与y＝x2
D.y＝｜x＋1｜＋｜x｜与y＝2x＋1
解析：B 对于A，y＝x的定义域为R，y＝x2x的定义域为{x｜x≠0}，定义域不同，不是同一个函数，故A不正确；对于B，y＝x2＋xx+1的定义域为{x｜x≠－1}，且y＝x2＋xx+1＝x，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故B正确；对于C，y＝x（x≥0），而y＝x2＝｜x｜的定义域为R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一个函数，故C不正确；对于D，y＝｜x＋1｜＋｜x｜与y＝2x＋1的对应关系不同，所以不是同一个函数，故D不正确，故选B.
3.已知函数f（x）＝2x+1，x≥0，3x2，x<0，且f（x0）＝3，则实数x0＝（ ）
A.－1 B.1
C.－1或1 D.－1或－13
解析：C 由条件可知，当x0≥0时，f（x0）＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0＜0时，f（x0）＝3x02＝3，所以x0＝－1，所以实数x0的值为－1或1.
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是（ ）
解析：A 由题图知，文物的结构底端与上端细、中间粗，所以在注水流速恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合.
5.（多选）已知函数f（x）＝lg3（x－2),x>2，3x－1，x≤2，则（ ）
A.f（5）＝1 B.f（f（5））＝1
C.f（3）＝9 D.f（f（3））＝lg37
解析：AB 根据题意，函数f（x）＝lg3（x－2),x>2，3x－1，x≤2.对于A，f（5）＝lg3（5－2）＝lg33＝1，A正确；对于B，f（f（5））＝f（1）＝30＝1，B正确；对于C，f（3）＝lg3（3－2）＝lg31＝0，C错误；对于D，f（f（3））＝f（0）＝3－1＝13，D错误.故选A、B.
6.（多选）下列函数中，满足f（18x）＝18f（x）的是（ ）
A.f（x）＝｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜
C.f（x）＝x＋2 D.f（x）＝－2x
解析：ABD 若f（x）＝｜x｜，则f（18x）＝｜18x｜＝18｜x｜＝18f（x）；若f（x）＝x－｜x｜，则f（18x）＝18x－｜18x｜＝18（x－｜x｜）＝18f（x）；若f（x）＝x＋2，则f（18x）＝18x＋2，而18f（x）＝18x＋18×2，故f（x）＝x＋2不满足f（18x）＝18f（x）；若f（x）＝－2x，则f（18x）＝－2×18x＝18×（－2x）＝18f（x）.故选A、B、D.
7.已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如表：
则方程g（f（x））＝x的解集为 {3} .
解析：当x＝1时，f（x）＝2，g（f（x））＝2，不符合题意；当x＝2时，f（x）＝3，g（f（x））＝1，不符合题意；当x＝3时，f（x）＝1，g（f（x））＝3，符合题意.综上，方程g（f（x））＝x的解集为{3}.
8.（2024·贵州模拟）若函数f（x）在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 f（x）＝ x+1,−1≤x<0，－12x，0≤x≤2 .
解析：由题图可知，当－1≤x＜0时，f（x）＝x＋1；当0≤x≤2时，f（x）＝－12x，所以f（x）＝x+1,−1≤x<0，－12x，0≤x≤2.
9.已知函数f（x）满足f（－x）＋2f（x）＝2x，则f（x）＝ 2x+1－2－x3 .
解析：由f（－x）＋2f（x）＝2x，①.得f（x）＋2f（－x）＝2－x，②.①×2－②，得3f（x）＝2x＋1－2－x，即f（x）＝2x+1－2－x3.
10.求下列函数的解析式：
（1）已知f（f（x））＝4x＋9，且f（x）为一次函数，求f（x）；
（2）已知函数f（x2＋1）＝x4，求f（x）.
解：（1）∵f（x）为一次函数，∴设f（x）＝kx＋b（k≠0），
∴f（f（x））＝f（kx＋b）＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9，
∴k2=4，kb＋b=9，∴k=2，b=3或k＝－2，b＝－9，
∴f（x）＝2x＋3或f（x）＝－2x－9.
（2）f（x2＋1）＝x4＝（x2＋1）2－2（x2＋1）＋1，且x2＋1≥1，∴f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，x≥1.
综合应用 B
巩固
11.已知函数f（x）＝3x－1ax2＋ax－3的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A.（13，＋∞） B.（－12，0]
C.（－12，0） D.（－∞，13］
解析：B 因为函数f（x）＝3x－1ax2＋ax－3的定义域为R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a＜0，解得－12＜a＜0.综上所述，实数a的取值范围为－12＜a≤0.故选B.
12.已知定义域为R，函数f（x）满足f（a＋b）＝f（a）·f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若f（1）＝12，则f（－2）＝（ ）
A.2 B.4
C.12 D.14
解析：B 令a＝b＝0，则有f（0）＝[f（0）]2.又∵f（x）＞0，∴f（0）＝1.令a＝－1，b＝1，则有f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）·f（1），∴f（－1）＝f（0）f（1）＝112＝2.再令a＝b＝－1，则有f（－2）＝[f（－1）]2＝4.
13.（多选）设函数y＝f（x）的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）＝f（x),f（x）≤p，p，f（x）＞p，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”.若给定函数f（x）＝x2－2x－1，p＝2，则（ ）
A.f2[f（0）]＝f[f2（0）]
B.f2[f（1）]＝f[f2（1）]
C.f[f（2）]＝f2[f2（2）]
D.f[f（3）]＝f2[f2（3）]
解析：ACD 因为f（x）＝x2－2x－1，p＝2，所以f2（x）＝x2－2x－1,−1≤x≤3，2，x＜－1或x>3，f（0）＝－1，f（1）＝－2，f（－1）＝2，f（2）＝－1，f（－2）＝7，f（3）＝2，所以f2[f（0）]＝f2（－1）＝2，f[f2（0）]＝f（－1）＝2，故A正确；f2[f（1）]＝f2（－2）＝2，f[f2（1）]＝f（－2）＝7，故B不正确；f[f（2）]＝f（－1）＝2，f2[f2（2）]＝f2（－1）＝2，故C正确；f[f（3）]＝f（2）＝－1，f2[f2（3）]＝f2（2）＝－1，故D正确.故选A、C、D.
14.（1）已知函数f（x）＝x+2，x≤0，x＋1x，x>0，若f（f（a））＝2，求a的值；
（2）已知函数f（x）＝x2＋x，x≥0，－3x，x<0，若a[f（a）－f（－a）]＞0，求实数a的取值范围.
解：（1）令f（a）＝t，则f（t）＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f（a）＝0，显然a≤0，
因此a＋2＝0⇒a＝－2，
当t＝1时，即f（a）＝1，显然a≤0，
因此a＋2＝1⇒a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
（2）由题意知，a≠0，当a＞0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为a2＋a－3a＞0，解得a＞2.
当a＜0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为－a2－2a＜0，解得a＜－2.
综上所述，实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（2，＋∞）.
15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（m）与汽车的车速x（km/h）满足下列关系：y＝x2200＋mx＋n（m，n是常数）.如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（m）与汽车的车速x（km/h）的关系图.
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
解：（1）由题意，得402200+40m＋n=8.4，602200+60m＋n=18.6，
解得m＝1100，n=0，所以y＝x2200＋x100（x≥0）.
（2）令x2200＋x100≤25.2，得－72≤x≤70.
因为x≥0，所以0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/
x
1
2
3
f（x）
2
3
1
x
1
2
3
g（x）
3
2
1