2025届新高考数学考点全复习讲义2.2函数的单调性与最值

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2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.
基础知识
1.函数的单调性
（1）单调性的定义
（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性， 叫做y＝f（x）的单调区间.
提醒 （1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
2.函数的最值
提醒 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝1x在定义域内单调递减.（ ）
（2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（ ）
（3）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（ ）
2.(多选）下列函数中是增函数的为（ ）
A.f（x）＝x B.f（x）＝23x
C.f（x）＝x2 D.f（x）＝3x
3.(多选）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（ ）
A.[－1，2] B.[－1，2]
C.[4，5] D.[－3，－1]和[2，4]
4.函数y＝1x－1在[2，3]上的最小值为（ ）
A.2 B.12
C.13 D.－12
5.函数f（x）＝1x2－2x－3的单调递增区间为 .
常用结论
1.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
（1）当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）；
（2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反；
（3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝1f（x）的单调性相反.
2.函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则：
（1）f（x1)−f（x2）x1－x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在I上单调递增；
（2）f（x1)−f（x2）x1－x2＜0（或（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在I上单调递减.
结论运用
1.（多选）若函数f（x），g（x）在给定的区间D上具有单调性，下列说法正确的是（ ）
A.函数f（x）与f（x）－c（c为常数）具有相同的单调性
B.函数f（x）与c·f（x）具有相同的单调性
C.若f（x）≠0，则函数f（x）与－1f（x）具有相反的单调性
D.若函数f（x），g（x）在给定的区间上单调递减，则f（x）＋g（x）单调递减
2.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，b∈[0，＋∞），总有f（a)−f（b）a－b＞0，则满足f（2x－3）＜f（1）的实数x的取值范围是 .
聚焦考点 课堂演练

考点1 判断函数的单调性（区间）
考向1 判断或证明函数的单调性
【例1】 已知a＞0，函数f（x）＝x＋ax（x＞0），利用定义法证明：函数f（x）在（0，a]上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增.
变式
本例变为：用定义证明函数f（x）＝ex＋1ex在（0，＋∞）上单调递增.
方法技巧
定义法证明或判断函数单调性的步骤
提醒 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.
考向2 求函数的单调区间
【例2】 函数f（x）＝｜x－2｜x的单调递增区间为 .
方法技巧
确定函数的单调区间的方法
跟踪训练
1.（多选）下列函数在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A.f（x）＝ln x B.f（x）＝e－x
C.f（x）＝x D.f（x）＝－1x
2.函数f（x）＝x－x的单调递增区间为（ ）
A.（0，14） B.（0，1）
C.（14，＋∞） D.（1，＋∞）
考点2 函数单调性的应用
考向1 利用单调性比较函数值的大小
【例3】 若f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，有f（x2)−f（x1）x2－x1＜0，则（ ）
A.f（3）＜f（1）＜f（－2）B.f（3）＜f（－2）＜f（1）
C.f（－2）＜f（1）＜f（3）D.f（1）＜f（－2）＜f（3）
方法技巧
利用单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小.
考向2 利用单调性解不等式
【例4】 已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围是 .
方法技巧
考向3 利用函数的单调性求参数的值（范围）
【例5】 已知函数f（x）＝x2－2ax，x≥1，ax－1，x<1是R上的增函数，则实数a的取值范围是 .
方法技巧
利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法
（1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解；
（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
跟踪训练
1.若函数f（x）＝｜2x＋a｜的单调递增区间是[3，＋∞），则a＝（ ）
A.－2 B.2
C.－6 D.6
2.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3，1）是其图象上的两点，则｜f（x＋1）｜＜1的解集为 .
考点3 函数的值域（最值）
【例6】 求下列函数的最值：
（1）f（x）＝2xx+3，x∈[1，4]；
（2）f（x）＝2x2－x2+1.
方法技巧
求函数最值（值域）的五种常用方法
（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；
（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
提醒 （1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域；
（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值.
跟踪训练
1.函数y＝x2+21+x2的值域是 .
2.函数f（x）＝1x，x≥1，－x2+2，x<1的最大值为 .
第二节 函数的单调性与最值
课后分层跟踪巩固

基础达标 A
1.（多选）函数f（x）＝x1－x在（ ）
A.（－∞，1）上单调递增
B.（－∞，1）上单调递减
C.（1，＋∞）上单调递增
D.（1，＋∞）上单调递减
2.（2024·黄冈中学一模）已知定义域为R的函数f（x），∀x1，x2∈R，x1＜x2，都有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0，则（ ）
A.f（3）＜f（π）＜f（2） B.f（π）＜f（3）＜f（2）
C.f（2）＜f（π）＜f（3） D.f（π）＜f（2）＜f（3）
3.若函数f（x）＝2x2+31+x2，则f（x）的值域为（ ）
A.（－∞，3] B.（2，3）
C.（2，3] D.[3，＋∞）
4.（2024·广东模拟）已知函数f（x）＝2x，x≥0，－（12）x，x<0，若f（a）＜f（6－a），则实数a的取值范围是（ ）
A.（－3，＋∞） B.（－∞，－3）
C.（3，＋∞） D.（－∞，3）
5.设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论正确的是（ ）
A.y＝1｜f（x)|在R上为减函数
B.y＝｜f（x）｜在R上为增函数
C.y＝－1f（x）在R上为增函数
D.y＝－f（x）在R上为减函数
6.（多选）已知函数f（x）满足f（1x）＝2x+1x+1，则关于函数f（x）的说法中正确的是（ ）
A.f（x）的定义域为{x｜x≠－1}
B.f（x）的值域为{y｜y≠1，且y≠2}
C.f（x）在（0，＋∞）上单调递减
D.不等式f（x）＞2的解集为（－1，0）
7.已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为 .
8.（2024·重庆一模）函数f（x）＝x2－6｜x｜＋8的单调递减区间是 .
9.已知函数f（x）＝x＋2x－3，x≥1，lg（x2+1),x<1，则f[f（－3）]＝ ，f（x）的最小值是 .
10.已知函数f（x）＝x｜x－4｜.
（1）把f（x）写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f（x）的大致图象；
（2）写出函数f（x）的单调递减区间.
综合应用 B
巩固
11.设函数f（x）＝－x2+4x，x≤4，lg2x，x>4.若函数f（x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是 .
12.能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为 .
13.已知f（x）＝xx－a（x≠a）.
（1）若a＝－2，试证明f（x）在（－∞，－2）上单调递增；
（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围.
14.已知函数y＝f（x）的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有f（x1)−f（x2）x1－x2＞－1，则下列说法正确的是（ ）
A.y＝f（x）＋x是增函数
B.y＝f（x）＋x是减函数
C.y＝f（x）是增函数
D.y＝f（x）是减函数
15.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）是增函数，f（1）＝0，f（3）＝1.
（1）解不等式0＜f（x2－1）＜1；
（2）若f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈（0，3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
定义
要求x1，x2
一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时
要求f（x1）与f（x2）
都有
都有
结论
函数f（x）在区间I上 ；若函数 f（x）在定义域D上单调递增，则f（x）为增函数
函数f（x）在区间I上 ；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则f（x）为减函数
图象描述
自左向右看图象是
自左向右看图象是
前提
设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
①∀x∈D，都有 ；
②∃x0∈D，使得
①∀x∈D，都有 ；
②∃x0∈D，使得
结论
M是函数y＝f（x）的 值
M是函数y＝f（x）的 值