专题06 空间角、距离的计算（考点清单，7题型解读）（原卷+解析）

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【考点题型一】异面直线所成的角
（1）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．若异面直线所成的角是直角，则称异面直线互相垂直，记作
②范围：.
【规律方法】
1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
2.提醒：求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
【例1】（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为

【变式1-1】（23-24高二下·青海海西·期末）在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】【多选题】（22-23高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（ ）
A．直线与直线相交；
B．直线与直线平行；
C．直线BM与直线是异面直线；
D．直线与直线成角.
【变式1-3】（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在正方体中，分别为和的中点，则下列说法正确的序号有 .
①，，，四点共面；②平面；③与所成角为.
【考点题型二】直线与平面所成的角
1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
2.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°].
【规律方法】
求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
【例2】（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与的所成角的余弦值．
【变式2-1】（2024届河南省名校联盟考前模拟大联考三模数学试题）在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（ ）

A．B．
C．D．
【变式2-2】（21-22高二上·陕西咸阳·期末）如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为 .
【变式2-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在正四面体中，平面，D为AB中点，在CD上.

(1)求与平面的夹角正弦值；
(2)求证：.
【考点题型三】二面角
（1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
（2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角.
（3）范围：[0，π]
（4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q
（5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
【规律方法】
1.求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法：
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
【例3】（2023·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且．
(1)证明：平面平面；
(2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
【变式3-1】（2024高一下·江苏·专题练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ．
【变式3-2】（23-24高一下·辽宁·期中）如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，.
(1)证明：.
(2)求二面角的正切值.
【变式3-3】（23-24高一下·吉林·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)若，求二面角的正切值．
【考点题型四】点到平面的距离
定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.
【规律方法】定义法、等积法求点到平面的距离.
【例4】（2024·四川·三模）正方体的棱长为2，分别是的中点.
(1)求证：面；
(2)求点到平面的距离.
【变式4-1】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【变式4-3】（2024·四川南充·三模）已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，.
(1)求证：；
(2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离.
【考点题型五】直线与平面间的距离
定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离.
【例5】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，．
(1)求BC到平面的距离；
(2)求平面与平面的夹角．
【变式5-1】（23-24高一下·安徽铜陵·期中）榫卯结构是中国古建筑的一种结构方式，榫卯连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧．图（1）所示的木根是榫卯结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图（2）所示．在几何体中，四边形为矩形，，，都与底面ABC垂直，，，，直线到平面的距离为，则几何体的体积为（ ）

A．8B．11C．14D．18
【变式5-2】（23-24高一下·天津南开·期中）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】【多选题】（2024·全国·模拟预测）在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（ ）
A．与平面平行B．与直线垂直
C．与直线所成角为D．与平面的距离为
【考点题型六】平行平面间的距离
与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离.
【例6】（2024高一下·全国·专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为 .
【变式6-1】（20-21高一·江苏·课后作业）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4B．C．D．
【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·开学考试）若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】【多选题】（2024·河北唐山·一模）在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）

A．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形
B．当时，水面的面积为
C．当时，水面与地面的距离为
D．当侧面与地面重合时，水面的面积为12
【考点题型七】异面直线间的距离
与两异面直线垂直且相交的的直线，叫做异面直线的公垂线，夹在异面直线之间的线段，就是这两条异面直线间的距离
【规律方法】
定义法、转化法求异面直线间的距离．
【例7】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，已知棱长为4的正方体为的中点，为的中点，，且面.
(1)求证：四点共面，并确定点位置；
(2)求异面直线与之间的距离；
(3)作出经过点的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.
【变式7-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 .
【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为 ；异面直线BD1与CD的距离为 ．
【变式7-3】（2024高三·全国·专题练习）正六棱柱中，底面边长和高均为，求和两异面直线间的距离．