专题09 外接球、内切球与动点最值（原卷+解析）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc168392811" 一、外接球模型：三线垂直型 PAGEREF _Tc168392811 \h 1
\l "_Tc168392812" 二、外接球模型：对棱相等型 PAGEREF _Tc168392812 \h 2
\l "_Tc168392813" 三、外接球模型： 线面垂直型 PAGEREF _Tc168392813 \h 2
\l "_Tc168392814" 四、外接球模型：面面垂直型 PAGEREF _Tc168392814 \h 3
\l "_Tc168392815" 五、两线交心法：特殊三角形模型 PAGEREF _Tc168392815 \h 4
\l "_Tc168392816" 六、两线交心法：二面角型 PAGEREF _Tc168392816 \h 4
\l "_Tc168392817" 七、动点与翻折型外接球 PAGEREF _Tc168392817 \h 5
\l "_Tc168392818" 八、内切球 PAGEREF _Tc168392818 \h 6
\l "_Tc168392819" 九、棱切球 PAGEREF _Tc168392819 \h 7
\l "_Tc168392820" 十、球最值与范围 PAGEREF _Tc168392820 \h 8
\l "_Tc168392821" 十一、动点：恒平行轨迹长度型 PAGEREF _Tc168392821 \h 8
\l "_Tc168392822" 十二、动点：恒垂直轨迹型 PAGEREF _Tc168392822 \h 9
\l "_Tc168392823" 十三、动点：角度定值轨迹型 PAGEREF _Tc168392823 \h 11
\l "_Tc168392824" 十四、动点：定长轨迹型 PAGEREF _Tc168392824 \h 12
一、外接球模型：三线垂直型
1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．

2．（2024·河北唐山·阶段练习）已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．

4．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（ ）
A．B．1C．D．

二、外接球模型：对棱相等型
1.（2023·全国·高一专题练习）已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为 .

2.（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ．

3.已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为______.

4.（河南省豫东名校2022-2023学年高一摸底联考数学试题）在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

三、外接球模型： 线面垂直型
1．（2024·宁夏固原·阶段练习）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

2．（23-24高一·云南·阶段练习）如图所示的三棱锥中，，，，，且，，则其外接球表面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．

3．（2024·四川凉山·阶段练习）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．

4．（2024·辽宁抚顺·阶段练习）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

5．（2024·陕西·阶段练习）在三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

四、外接球模型：面面垂直型
1．（2024·湖南邵阳·阶段练习）已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

3．（2024·四川·阶段练习）已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

4．（2024·山西朔州·阶段练习）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．

5．（2024·四川泸州·阶段练习）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

五、两线交心法：特殊三角形模型
1.（23-24高一·湖北襄阳·阶段练习）四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

2.（福建省龙岩市一级达标校2022-2023学年高一下学期期末教学质量检查数学试题）三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．

3.（湖南省娄底市第一中学2022-2023学年高一期期末数学试题）边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．

4.（江苏省盐城中学2022-2023学年高一第三次阶段性质量检测数学试题）已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______.

六、两线交心法：二面角型
1.（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，△ABC为等腰直角三角形，，△PAC为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为 ．

2.（2023·全国·高一专题练习）在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则
A．1B．2C．D．

3．（2023·湖南郴州·高一统考阶段练习）在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．

4.（2023·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考期末）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．

5.（2023·河南·高一校联考阶段练习）在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形､若二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积大小为（ ）
A．B．C．D．

七、动点与翻折型外接球
1.（2023·四川·四川省金堂中学校校联考）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．

2.（2023·安徽马鞍山·统考）如图，在矩形中，，点分别为边的中点．将沿折起，在翻折过程中，直线被三棱锥的外接球截得的线段长的取值范围为 ．

3.（2023下·江西赣州·高一统考期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点，，，将沿所在直线进行翻折，得到三棱锥，当时，此三棱锥的外接球表面积为 ．


4.（重庆市清华中学校2022-2023学年高一数学试题）已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.

八、内切球
1.（2024·河南洛阳·阶段练习）已知圆台的上、下底面中心分别为，且，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．

2.（2024·浙江宁波·阶段练习）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

3.（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．

4.（2024·辽宁·阶段练习）将一块棱长为1的正方体木料，打磨成两个球体艺术品，则两个球体的体积之和的最大值为（ ）
A．B．
C．D．

九、棱切球
1.（2024·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 .

2.（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ．

3.（多选）（23-24高一·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．球在正方体外部的体积大于
C．球内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则

4. （多选）（20-21高一·江苏扬州·阶段练习）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（ ）
A．正方体的棱切球的半径为
B．正四面体的棱切球的表面积为
C．等长正六棱柱的棱切球的体积为
D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为

十、球最值与范围
1.在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C．D．

2.（河南省郑州市第十一中学2022-2023学年高一学期期末数学试题）正方体的棱长为2，的中点分别是P，Q，直线与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．

3.三棱锥中，，，，则三棱锥外接球表面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．

4.（2023新高考高考最后一卷数学第六模拟）在正四棱锥中，，，点为四棱锥外接球球面上一点，且点，不在平面的同一侧，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．12B．C．D．36

十一、动点：恒平行轨迹长度型
1.（2023春·福建南平·高一武夷山一中校考期中）如图，已知长方体，，，E、F分别是棱、的中点，点为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．

2.（2023·全国·高一专题练习）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形D．点轨迹的长度为

3.（2023·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为3，点满足．若在正方形内有一动点满足平面，则动点的轨迹长为（ ）
A．3B．C．D．

4.（2022秋·湖北武汉·高一校联考阶段练习）已知正方体的棱长为，，分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．

十二、动点：恒垂直轨迹型
1.（河南省郸城县第一高级中学2022-2023学年高一第一次模拟考试数学试题）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点是侧棱的中点，点、分别是侧面、底面内的动点，且平面，平面，则点的轨迹的长度为__．

2.（2023·全国·阶段练习）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值

3.（2023·江西·高一校联考）在棱长为的正方体中，已知为的中点，点为底面上的动点，若，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．

4.（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考）已知四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱上的点，且.若点在侧面（包括其边界）上运动，且总保持，则动点的轨迹长度为（ ）

A．B．C．D．

十三、动点：角度定值轨迹型
1.（2022秋·四川泸州·高一四川省叙永第一中学校校考开学考试）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A．B．C．D．

2.（2022·广东佛山·高一校联考）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）

A．B．C．D．

3.（2023·海南海口·校联考）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．

4.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考）如图，二面角的大小为，已知A、B是l上的两个定点，且，，，AB与平面BCD所成的角为，若点A在平面BCD内的射影H在的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．

十四、动点：定长轨迹型
1.（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期末）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A．B．C．D．

2.（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）正方体的棱长为3，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是（ ）
A．B．
C．D．

3.（2022·上海静安·高一校考期末）已知平面平面，直线点，平面，间的距离为4，则在内到点的距离为5且到直线的距离是的点的轨迹是（ ）
A．一个圆B．两条平行直线C．四个点D．两个点

4.若三棱锥的侧面内一动点P到底面的距离与到棱的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是（ ）
A．B．
C．D．