江苏省高一下学期期末真题必刷（基础60题，26考点）（原卷+解析）

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一、向量的概念（共2题）
1．（多选）（21-22高一下·江苏南京·期末）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解.
【详解】解：因为是两个单位向量，
所以，但两向量的方向不能确定，
，
故AB错误；CD正确.
故选：CD.
2.（16-17高一下·江苏盐城·期末）已知向量是与向量同向的单位向量，则向量的坐标是 ．
【答案】
【分析】利用即可得出向量的坐标.
【详解】由，
则.
故答案为：.
二、向量的线性运算（共2题）
3．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知点D为边BC上的中点，点E满足，若，则（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算，结合图形即可得解.
【详解】依题意，作出图形如下，
因为点D为BC上的中点，，
所以，
则，故，则.
故选：D.
4.（多选）（19-20高一上·江苏南通·期末）在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】结合已知梯形的性质及向量加法及减法的三角形法则及向量共线定理对各选项进行判断即可．
【详解】
由题意可得，，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD．
三、向量的数量积（共2题）
5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等边三角形边长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意，结合向量的数量积的定义域运算，即可求解.
【详解】
由向量的数量积的运算，可得.
故选：A.
6.（多选）（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，已知正六边形的边长为1，记，则（ ）

A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】连接交于，利用向量加法判断A；利用数量积定义及运算律计算判断B；利用数量积定义计算判断C；求出投影向量判断D作答.
【详解】正六边形的边长为1，
对于A，连接交于，则为正三角形，且为的中点，，

而，则，，
所以，A不正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，，则有，因此，C正确；
对于D，，，，
向量在方向上的投影向量为，D正确.
故选：BCD
四、向量的模（共2题）
7．（多选）（22-23高一下·江苏无锡·期末）单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】令与的夹角为，则，利用向量的模的运算，即可得出相应的范围.
【详解】由题知，令与的夹角为，则，
，
所以，，
故选：BC
8．（15-16高二下·江苏南京·期末）平面向量与的夹角为60°，，，则等于 .
【答案】
【分析】先求向量，再根据向量模的运算求.
【详解】因为，所以，
又因为与的夹角为，，
所以
；
所以.
故答案为：.
五、向量的夹角（共3题）
9.（22-23高一下·江苏常州·期末）已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出，，，再根据夹角公式计算可得.
【详解】因为，，所以，，
，
设与的夹角为，则，又，所以.
故选：A
10.（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知非零向量与的夹角为，，，则（ ）.
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据夹角公式计算可得.
【详解】因为非零向量与的夹角为，，，
所以，
又，所以.
故选：C
11．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知向量，，，，若，则与的夹角为 .
【答案】
【分析】设与的夹角为，对两边同时平方化简可得出答案.
【详解】设与的夹角为，
由可得：，
所以，则，
所以，解得：.
因为，所以.
故答案为：
六、平面向量基本定理（共2题）
12．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用表示，结合平面向量基本定理确定其表达式.
【详解】设，，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：B.
13．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在中，点为边上的点，且，若，则的值是 .
【答案】/
【分析】根据题意，由平面向量基本定理代入计算，即可得出答案.
【详解】因为点为边上的点，且，
所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
七、向量的坐标运算（共2题）
14．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合向量的数量积的坐标运算，根据投影向量的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量，
故在上的投影向量为，
故选：B
15．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知向量，，.
(1)若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由.
(2)若，且，求与的夹角大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）利用向量共线的坐标运算及基底的概念即可判断；
（2）利用向量垂直的坐标运算求解x，然后再利用数量积的夹角坐标公式计算即可.
【详解】（1）当时，，，
因为，所以向量，不共线，所以，能构成平面的一组基底；
（2）因为，，所以，
又，且，所以，所以，
此时，，则，
又因为，所以，即向量与的夹角为.
八、向量的共线（共3题）
16.（21-22高一下·江苏南京·期末）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，
因为A，B，D三点共线，
所以有，即
因为，为平面内一个基底，
所以，不是共线向量，因此有，
故选：D
17.（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解.
【详解】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线，
所以，
所以,
故选：D
18．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点.
(1)用，表示；
(2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由.
【答案】(1)
(2)不共线，理由见解析
【分析】（1）根据几何性质用，表示出，然后根据向量的减法法则，即可得出答案；
（2）假设三点共线，则有共线，根据向量共线的条件得出方程组，得出方程组无解，假设不正确，即可得出答案.
【详解】（1）
因为分别是的中点，
所以，，.
又，，
所以，，
所以，.
（2）由（1）知，，.
假设A，M，N三点共线，则共线，
所以，使得，即，
整理可得，.
因为不共线，所以应有，无解，
所以，假设不成立，所以A，M，N三点不共线.
九、两角和与差的余弦（共1题）
19．（22-23高一下·江苏镇江·期末）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得的范围，可知，再由同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以
.
故选：A.
十、两角和与差的正弦（共1题）
20．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数可得，再由角的变换及两角差的正弦公式展开即可.
【详解】（为锐角），
∴为锐角，
，
，
故选：A．
十一、两角和与差的正切公式（共2题）
21．（20-21高一下·江苏扬州·期末）已知，，则（ ）
A．1B．C．7D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，先运用二倍角公式，可得，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．
【详解】解：因为，所以且，所以﹔
又，所以.
故选：A
十二、二倍角公式及其应用（共3题）
22．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，则（ ）
A．B．2C．D．7
【答案】D
【分析】根据正切的二倍角公式以及和差角公式即可求解.
【详解】由得,
所以，
故选：D
23．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件结合利用二倍角公式求，再利用诱导公式求.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：C.
24．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解；
（2）讲条件两边平方，解得，然后结合数量积坐标表示解得，最后将齐次式化简，代入求解；
【详解】（1）因为，所以，
即
所以；
（2）因为，所以，
即，
所以，
即，
所以，
所以
.
十三、三角恒等变换（共3题）
25．（22-23高二下·江苏南通·期末）若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式得，再利用同角三角函数的基本关系，结合题目条件得结论．
【详解】因为，
所以
，
故选：A
26．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）设，，，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用和差公式，二倍角公式，以及基本关系化简，然后利用正弦函数的单调性可得.
【详解】因为，
，
，且在上单调递增，
所以，即.
故选：B
27．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知函数的最大值为1.
(1)求常数m的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式化简可得，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案；
（2）根据已知可得出，，然后根据二倍角公式得出的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.
【详解】（1）
，
当，即时，，
所以.
（2）由（1）知，.
由得，，所以.
又，所以，
所以，
所以，
，
所以
.
十四、余弦定理的应用（共1题）
28．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得.
【详解】由余弦定理可得：，
即，
整理得：，
得或，所以为等腰或直角三角形.
故选：D
十五、正弦定理的应用（共1题）
29．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，求角B时，解的情况是（ ）.
A．无解B．一解C．两解D．无数解
【答案】C
【分析】由正弦定理结合大边对大角求解即可.
【详解】因为，，，
由正弦定理可得：，则，
所以，因为，所以，
所以角B有两解.
故选：C.
十六、正弦定理、余弦定理的综合应用（共3题）
30．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（ ）.

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理即可求出.
【详解】由题意得，在直角中，，所以，
在直角，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理得，
即，因为，所以解得.
即大运塔的高为.
故选：B
31．（多选）（22-23高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为等腰三角形
【答案】ABC
【分析】由，得到，结合正弦定理可判定A；由为锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性可判定B；根据余弦定理可判断C；由，结合两角和差的正弦公式求解可判定D.
【详解】对于A，因为，得，所以（为外接圆的半径），
所以，故A正确；
对于B，由为锐角三角形，可得，则，
因为，可得，
又函数在上单调递增，所以，故B正确；
对于C，若，则，而，
所以角为钝角，即为钝角三角形，故C正确；
对于D，由，得，
展开整理得，
因为，可得或，
所以是直角三角形或等腰三角形，故D错误.
故选：ABC.
32．（23-24高二上·江苏连云港·期末）在中，角的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理将角化边，利用余弦定理计算即可;
（2）结合（1）问，表示出的面积为，计算即可.
【详解】（1）由，
根据正弦定理，有，
所以，
又，得.
（2）由于面积为，且，，
所以，得.
十七、复数（共3题）
33．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知复数，（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数除法运算计算，再求的值.
【详解】，所以，
故选：D
34.（多选）（22-23高一下·江苏常州·期末）已知复数，则（ ）
A．的虚部为B．
C．在复平面内对应的点在第四象限D．是关于的方程的一个根
【答案】BD
【分析】化简复数，根据复数的概念判断A，求出，根据复数的几何意义判断C，根据复数代数形式的加法运算及复数的模判断B，求出方程的解，即可判断D.
【详解】因为，所以的虚部为，故A错误；
，则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误；
因为，，所以，故B正确；
由，即，所以，
所以，即，，故D正确；
故选：BD
35．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）已知，且为纯虚数，其中是虚数单位．
(1)若，求复数；
(2)若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，先根据题目条件找出的关系，然后根据列方程求解；
（2）先化简复数的形式，然后根据复数的几何意义求解.
【详解】（1）设，则，
由为纯虚数知，，则且，故．
由得，则，故复数或
（2），
由在复平面内对应的点在第三象限知，解得，又，
故复数的实部的取值范围为．
十八、基本立体图形（共2题）
36．（22-23高一下·江苏镇江·期末）某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理即可得到圆锥的高.
【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，
所以该扇形的弧长为，圆锥的母线长为3，
设圆锥的底面半径为，则，解得，
设圆锥的母线长为，则，
所以圆锥的高为.
故选：C.
37．（22-23高一下·江苏无锡·期末）如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是 .
【答案】
【分析】根据题意，由斜二测画法分析原图为平行四边形，求出其相邻边长，从而得解．
【详解】依题意，还原直观图如下，

因为正方形的边长为，
所以，，
则，
所以原图形的周长为.
故答案为：.
十九、基本立体图形的位置关系（共5题）
38．（22-23高一下·江苏常州·期末）若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
③若外一条直线与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，直线与平面平行的判定定理可依次判断得解.
【详解】对①，面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；
对②，根据平面与平面垂直的判定定理，一个平面经过另一个平面的垂线可得平面与平面垂直，②错误；
对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确.
故选：C.
39．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在长方体中，已知，，则和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，在长方体中，且，
所以四边形为平行四边形，，
所以和所成角等于与所成的角，
在中，，，
则，
同理，
，
在中，由余弦定理得，，
所以和所成角的余弦值为.
故选：B.
40.（多选）（22-23高一下·江苏常州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则下列结论正确的是（ ）
A．该四棱台的体积为B．该四棱台的侧棱长为
C．与所成角的余弦值为D．与平面所成的角大小为
【答案】AB
【分析】求出四棱台的体积和侧棱长判断AB；利用几何法求出异面直线夹角余弦、线面角的余弦判断CD作答.
【详解】在正四棱台中，，令上下底面中心分别为，连接，如图，

对于A，，A正确；
对于B，平面，在直角梯形中，，
取中点，连接，有，则，，B正确；
对于C，显然，则是与所成的角或其补角，
在等腰梯形中，，C错误；
对于D，由选项B知，平面，则是与平面所成的角，
因此，显然，D错误.
故选：AB
41．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，，和分别是和的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取中点为，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；
（2）根据菱形的性质、面面垂直和线面垂直的性质可得，，由线面垂直的判定和性质可证得结论.
【详解】（1）取中点为，连结，
分别为中点，，，
，，又为中点，，，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）连结，
四边形是菱形，，
平面平面，平面平面，平面，，平面，
又平面，，
，平面，平面，
平面，.

42.（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】(1)利用面面垂直的性质定理得到平面再利用线面垂直的定义即可证明.
(2)先利用平面角的定义得到二面角的平面角为，在中利用正弦定理可求得角度的大小.
【详解】（1）平面平面，
平面平面,
又平面,
由面面垂直的性质定理得平面
又平面
（2）由（1）知平面
平面平面
就是二面角的平面角.
，，，，
又，所以，，
,
二面角的大小为.
二十、立体图形的面积和体积（共3题）
43.（22-23高一下·江苏南京·期末）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正四棱锥的底边长与体积可得正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.
【详解】正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上，
如图，连接交于点，连接，

正四棱锥的底面边长为，设高为，
∴，解得，
设球的半径为，，
则，解得，
则球的体积为.
故选：B.
44．（22-23高二下·江苏·期末）已知圆锥的高为1，体积为，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】首先计算圆锥的底面半径和母线长，再根据轴截面的顶角大小，确定圆锥截面的面积的最大值.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，则，
得，，
如图，下图为圆锥的轴截面，等腰三角形，，则，
则等腰三角形的顶角为，

所以过圆锥顶点作圆锥截面，设顶角为，面积，
当顶角为时，面积最大，最大值为.
故选：B
45．（22-23高一下·江苏南京·期末）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为
【答案】
【分析】设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解．
【详解】用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，
设圆台的母线长为，
该圆台的侧面积为，
由圆台侧面积公式可得，
解得，
设截去的圆锥的母线为，
由三角形相似可得，
则，解得，
原圆锥的母线长为．
故答案为：．

二十一、抽样（共2题）
46．（22-23高一下·江苏南京·期末）甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n的值是（ ）
A．200B．240C．260D．280
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【详解】甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，
利用分层抽样方法抽取一个样本量为的样本，
因为样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，
则，解得．
故选：B．
47．（22-23高一下·江苏常州·期末）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第2行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是 .
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
【答案】007
【分析】直接由随机数表依次读取数据即可.
【详解】从表中第2行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去），
736（舍去），253（舍去），007，
故得到的第4个样本编号是007.
故答案为：007
二十二、统计图表及其应用（共3题）
48．（22-23高一下·江苏连云港·期末）某高校为传承中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．A组打分的众数为50
B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致
D．B组打分的均值小于A组打分的均值
【答案】C
【分析】由折线图中的数据，结合众数、中位数、平均数的定义对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】对于A，由折线图可知，小组打分的分值为：42，47，45，46，50，47，50，47，
则小组打分的分值的众数为47，故选项A错误；
对于B，小组打分的分值为：55，36，70，66，75，68，68，62，58，
按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
中间数为66，故中位数为66，故选项B错误 ；
对于C；小组的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
对于D，小组的打分分值的均值，而小组的打分分值的均值，
所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项D错误．
故选：C．
49．（多选）（21-22高一下·江苏南京·期末）某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占．如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为90B．样本中三居室住户共抽取了35户
C．据样本可估计对四居室满意的住户有110户D．样本中对二居室满意的有3户
【答案】BC
【分析】推导出二居室有150户，三居室有450户，由此利用图1和图2能求出结果．
【详解】解：如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占，
，二居室有户，三居室有450户，
由图1和图2得：
在A中，样本容量为：，故A正确；
在B中，样本中三居室住户共抽取了户，故B错误；
在C中，根据样本可估计对四居室满意的住户有户，故C错误；
在D中，样本中对二居室满意的有户，故D正确．
故选：BC．
50．（22-23高一下·江苏南京·期末）某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．

(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的中位数结果保留整数；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20百分位数．
【答案】(1)100
(2)32
(3)91
【分析】（1）根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出．
（2）利用中位数的计算方法求解即可．
（3）利用百分位数的计算公式求解即可；
【详解】（1）第一组频率为，
所以；
（2）设中位数为，
则由图可得，解得，
所以抽取的人的年龄的中位数为32；
（3）按照成绩从小到大的顺序排列为：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
，故分位数为，
二十三、用样本估计总体（共1题）
51．（多选）（22-23高一下·江苏宿迁·期末）某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．根据图形估计本次竞赛成绩得到以下数据中正确的是（ ）

A．B．众数为80
C．71百分位数是82D．平均分是
【答案】ACD
【分析】根据频率分布直方图的性质先确定图中的值，再计算众数、百分位数、平均数，逐项判断即可.
【详解】由频率分布直方图可得，，解得，故A正确；
众数的估计值为，故B错误；
前三组数据的频率之和为，前四组数据的频率之和为
则设71百分位数是，所以，解得，所以71百分位数是82，故C正确；
由频率分布直方图估计平均数为，故D正确.
故选：ACD.
二十四、随机事件和样本空间（共2题）
52．（21-22高一上·江苏淮安·期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
【答案】C
【分析】根据第一轮、第二轮检测的次数求得总检测的次数.
【详解】根据题意，采用“10合1检测法”对2000人进行检测，
需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，
结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40次，
则一共需要检测200+40=240次.
故选：C
53．（20-21高一下·江苏泰州·期末）某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是 .
【答案】40
【分析】每个考生被抽到的概率等于样本容量与总体数目的比值.
【详解】由题知，样本容量.
故答案为：40.
二十五、随机事件的概率（共3题）
54．（22-23高一下·江苏苏州·期末）抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用列举法，列举出所有不同结果以及符合条件的情况，结合古典概型概率公式即可求解.
【详解】抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况：
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），
（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），
共有8种不同的结果，
既有正面向上，也有反面向上情况：
（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），
（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），
有6种不同的结果，
所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为.
故选：D.
55．（22-23高一下·江苏淮安·期末）为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.

(1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数；
(2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率.
【答案】(1)平均数23；中位数
(2)
【分析】（1）根据题意结合平均数、中位数的概念运算求解；
（2）先求每组的人数，再结合古典概型运算求解.
【详解】（1）根据频率直方图可得：每组的频率依次为，
估计平均数为：.
因为，
可知中位数位于内，设为，
则，解得，
所以可估计中位数为.
（2）由（1）可知：未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为；
未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为，；
从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在的情况有，，，，，，，，共8种情况，
所以恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率.
56．（20-21高一下·江苏连云港·期末）某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如下表：
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为．
（1）求，，，的值，并补全频率分布直方图（如图）；
（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在和的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？
【答案】（1），，；作图见解析；（2）．
【分析】（1）利用频数为100，以及网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为，
得到关于和的方程组，求出和的值，进而求出，，由此补全频率分布直方图．
（2）由分层抽样先求出在，内和，内应抽取的人数，将基本事件一一列出，利用古典概型的概率公式求解即可．
【详解】（1）由题意知，解之得，
得，
补全频率分布直方图：
（2）由分层抽样知，在内的12个人中，抽（人），
将这三人记为甲，乙，丙，在内的8个人中，抽（人），
将这两人记为丁，戊，记“两人来自不同群体”记为事件A，
则从这五个人中随机抽两人共有10个基本事件，即（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），
其中A包含的事件有6个，故，
所以2人来自不同群体的概率是．
二十六、互斥事件与独立事件（共4题）
57．（多选）（22-23高一下·江苏连云港·期末）下列说法错误的是（ ）
A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125
B．若事件为两个互斥事件，且则
C．、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，则
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
【答案】ABC
【分析】先求此题不能解出的概率，再利用对立事件可得此题能解出的概率可判断A；由题意知，，可判断B；因为可判断C；由古典概率公式可得出两位女生相邻的概率可判断D.
【详解】对于A，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为
，则此题能解出的概率为，故A错误；
对于B，因为事件为两个互斥事件，则，，故B错误；
对于C，事件为两个独立事件，且，则，故C错误；
对于D，一位男生和两位女生随机排成一列，两位女生相邻的概率是，故D正确.
故选：ABC.
58．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A．B．
C．若A与B互斥，则D．一定有
【答案】AB
【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，
又且，则，
所以，即，故B正确；
对于C，因为A与B互斥，所以，
则，故C错误；
对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足，，但不成立，故D错误；
故选：AB.
59．（22-23高一下·江苏无锡·期末）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示.
(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
(2)估计测评成绩的第分位数；
(3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论.
【答案】(1)
(2)
(3)不相互独立，证明见解析
【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，从而得解；
（2）先判断测评成绩的第分位数所在区间，再利用百分位数的计算方法求解即可；
（3）依题意分别求得这两事件与交事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：，
则分数小于60的频率为：，
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为；
（2）由频率分布直方图易得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为，
则测评成绩的第分位数落在区间上，
所以测评成绩的第分位数为；
（3）依题意，记事件 “抽到的学生分数小于30”，事件 “抽到的学生是男生”，
因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生；
所以“抽到的学生是男生”的概率为，
因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生，
所以“抽到的学生分数小于30” 的概率为，
因为事件表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生，
所以，
因为，
所以这两个事件不相互独立.
60．（22-23高一下·江苏连云港·期末）甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求：
(1)其中恰有一人破译出密码的概率；
(2)密码被破译的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出事件，根据互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式，以及独立事件概率的乘法公式即可得出答案；
（2）根据已知结合独立事件概率的乘法公式，求出密码不能破译的概率，进而根据对立事件概率公式，即可得出答案.
【详解】（1）记密码被甲、乙、丙3人独立地破译分别为事件A、、，则，，，，，，
记“恰有一人破译出密码”为事件，
由已知可得，
.
（2）记“密码被破译出”为事件，
因为，
所以.
网购金额（单位：千元）
人数
频率
8
0.08
12
0.12
8
0.08
7
0.07
总计
100
1.00