专题01 向量基底、四心及其应用（原卷+解析）

这是一份专题01 向量基底、四心及其应用（原卷+解析），文件包含专题01向量基底四心及其应用原卷版docx、专题01向量基底四心及其应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc167365405" 一、基底基础概念 PAGEREF _Tc167365405 \h 1
\l "_Tc167365406" 二、双基底系互相转化 PAGEREF _Tc167365406 \h 3
\l "_Tc167365407" 三、三点共线型 PAGEREF _Tc167365407 \h 4
\l "_Tc167365408" 四、共线定理证明平行 PAGEREF _Tc167365408 \h 6
\l "_Tc167365409" 五、四心基底：探照灯模型 PAGEREF _Tc167365409 \h 7
\l "_Tc167365410" 六、四心基底：风帆型 PAGEREF _Tc167365410 \h 9
\l "_Tc167365411" 七、四心基底：起点不一致型 PAGEREF _Tc167365411 \h 11
\l "_Tc167365412" 八、四心基底：重心型 PAGEREF _Tc167365412 \h 12
\l "_Tc167365413" 九、四心基底：内心型 PAGEREF _Tc167365413 \h 15
\l "_Tc167365414" 十、四心基底：垂心型 PAGEREF _Tc167365414 \h 17
\l "_Tc167365415" 十一、四心基底：外心型 PAGEREF _Tc167365415 \h 20
\l "_Tc167365416" 十二、两线相交基底型求参 PAGEREF _Tc167365416 \h 23
\l "_Tc167365417" 十三、基底范围型 PAGEREF _Tc167365417 \h 25
\l "_Tc167365418" 十四、基底动点最值 PAGEREF _Tc167365418 \h 28
一、基底基础概念
1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】B
【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.
【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，
和不共线，故A能构成基底，
和共线，故B不能构成基底，
和不共线，故C能构成基底，
根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，
故选：B
2．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量不能作为一个基底的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】由基底的定义结合向量共线定理判断即可.
【详解】因为表示平面内所有向量的一个基底，即与不共线，
对于A：显然不存在实数使得，所以与不共线，故可以作为一组基底；
对于B：若，则，
显然方程无解，所以与不共线，
故可以作为一组基底；
对于C：因为，
所以与共线，故不能作为一组基底；
对于D：若，则，
显然方程无解，所以与不共线，故可以作为一组基底.
故选：C
3．设、是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可.
【详解】因为、是平面内两个不共线的向量，所以、可以作为平面内的一组基底，
对于A：显然不存在实数使得，故和不共线，
则和可以作为一组基底；
对于B：若，则，方程无解，
故与不共线，
即与可以作为一组基底；
对于C：若，则，方程无解，
故与不共线，
即与可以作为一组基底；
对于D：因为，所以与共线，
故不能作为一组基底，
故选：D
4．已知是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】ABC选项，根据两向量倍数关系得到共线，不能作为基底；D选项，设，无解，故两向量不共线，可以作为基底.
【详解】选项，因为，所以共线，不能作为基底，A错误；
选项，因为，所以共线，不能作为基底，B错误；
C选项，因为，所以共线，不能作为基底，C错误；
D选项，设，则，
则，无解，故不共线，
则可以作为基底，D正确.
故选：D.
5．设是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【分析】根据题意，结合共线向量的表示以及平面基底的定义与判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，设，可得，所以向量与共线，所以A不符合题意；
对于B中，设，可得，所以向量与共线，所以B不符合题意；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量与不共线，可以作为一个平面基底，所以C符合题意；
对于D中，设，可得，所以向量与共线，所以D不符合题意.
故选：C.
二、双基底系互相转化
1.若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为________
【答案】(0，2)
【解析】先求出的坐标，再设，即可建立方程组求出.
【详解】因为在基底下的坐标为(－2，2)，
即，
令，
所以，即，
所以在基底下的坐标为(0，2)
故答案为：(0，2).
2.已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为_____________.
【答案】
【分析】设，再根据得到方程组，解得.
【详解】解：设，.解得
故，则在基底下的坐标为.故答案为：
3.若向量，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则向量在另一组基底，下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量基本定理和平面向量的坐标运算即可求得.
【详解】由已知条件知,，即，
设，则，所以，
解得：，
向量在基底，下的坐标为：．
故选：D．
4.若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则向量在另一组基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量基底与坐标关系列式求解即可得答案.
【详解】由题意，得；设，
即,,,,，
则，解得，故选：．
三、三点共线型
1.设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，A错误；
对于B，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，B错误；
对于C，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，C错误；
对于D，，，
，三点共线，D正确.
故选：D.
2.已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论.
【详解】充分性：由得，
故，则，故三点共线，所以充分性成立，
必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，所以，所以，
所以必要性成立.
综上所述：”是“三点共线”的充要条件.
故选：C
3.已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.
【详解】对于A，因为，，
若A，B，C三点共线，则存在实数使得，
则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，∵，
∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，
故B正确；
对于C，因为，，所以，
若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，
所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，
又，，所以，无解，
所以B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：B.
4.已知，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.
【详解】对于A:不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于B: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于C: ,故 ，所以三点共线；
对于D: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
故选：C
5.设，是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线且互不重合，则（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】B
【分析】利用向量共线充要条件列出关于的方程组，解之即可求得的值.
【详解】，，则，
因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得．
所以，则，解得或，
又时，，点A，D重合，舍去，故．
故选：B
四、共线定理证明平行
1．已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量线性运算表示，然后利用共线向量基本定理求解即可.
【详解】因为向量，，所以．
又，所以与共线．
故选：B．
2．设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（ ）
A．与反向平行B．与同向平行
C．与反向平行D．与不共线
【答案】A
【分析】将、、用和表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
，
，
，
所以，
所以与反向平行，故A正确，B错误；
，
所以与同向平行，故CD错误.
故选：A
3．已知向量，，其中不共线，则与的关系是（ ）
A．不共线B．共线C．相等D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平面向量的加法和减法的运算法则，结合共线向量的性质进行判断即可.
【详解】因为，，所以，
因此与的关系是共线，
故选：B
4．四边形中，，，，若、不共线，则四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．梯形D．菱形
【答案】C
【分析】由向量知识可知，可得答案.
【详解】由已知得，
，
故，由，
所以四边形ABCD是梯形.
故选：C.
5．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】B
【分析】利用平面向量的减法法则以及向量共线即可判断选项.
【详解】因为＋＋＝，
所以＋＋-，
即，
所以与共线.
故选：B.
五、四心基底：探照灯模型
1．设D为ABC所在平面内一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由向量等式判断点在线段的延长线上，结合图形，将用和线性表示即得.
【详解】
如图，由可知，点在线段的延长线上,由图可得，
=.
故选:A．
2．在中，为BC边上一点，且，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.
【详解】由为BC边上一点，且，得，则，
所以.
故选：A
3．在中，已知在线段上，且，设．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】借助平面向量线性运算计算即可得.
【详解】.
故选：C.
4．已知，用，表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得.
【详解】因为，
所以，整理得.
故选：C
5．在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.
【详解】由，得，整理得.
故选：D
六、四心基底：风帆型
1．在中，为边上的中线，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量基本定理，用基底表示所求向量，根据向量的线性运算求解即可.
【详解】因为在中，为边上的中线，故，
又，故，
故.
故选：D
2．在中，设，，，，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算法则求解.
【详解】由题意
.
故选：D.

3．在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用的图形关系并依据平面向量基本定理即可利用向量表示向量.
【详解】中，是的中点，是的中点，
则，
所以，所以.

故选：B
4．如图，在梯形中，，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量基本定理和线性运算计算即可.
【详解】因为，，
则，
故选：A.
5．如图所示，中，，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由图形，根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意知，
.
故选：C
七、四心基底：起点不一致型
1．在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过添设辅助线，借助于三角形和等腰梯形，利用平面向量的加减法将进行转化，最终用来表示即得.
【详解】
如图等腰梯形中，取中点，连接，则,,
于是，
.
故选:D.
2．在梯形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】，
又因为，所以，
所以
故选：A

3．在平行四边形中，对角线与交于点，为中点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形性质得到比例关系，结合平面向量基本定理得到，得到答案.
【详解】因为平行四边形中，为中点，
所以∽，，
又，设，则，
解得，则，
故.
故选：C
4．在中，，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形中向量对应线段的位置、数量关系，用，表示即可.
【详解】因为，所以，因此，
所以.
故选：A
5．在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由向量运算的三角形法则，用，表示即可.
【详解】
故选：C.
八、四心基底：重心型
1．已知的重心为O，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的重心性质，将表示为，对照系数即可求得.
【详解】

如图，设E是的中点，由于O是三角形的重心，
所以．
则.
故选:D．
2．已知点是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据重心的性质和向量的线性运算求解.
【详解】延长与交于点，根据重心的性质，为中点，且，
于是由，可得.
故选：C
3．已知点是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
4．在平行四边形中，为的重心，满足，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.
【详解】如图，设与相交于点，为的重心，

可得为的中点，，
所以
，
因为，
所以，则.
故选：A.
5．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】设与相交于点，根据为的重心，化简得到，结合，求得和的值，即可求解.
【详解】如图所示，设与相交于点，由为的重心，
可得为的中点，且，
则，
因为，所以，故.
故选：A.
九、四心基底：内心型
1．已知点O是的内心，，，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】
连接并延长交于点，连接，则由角平分线定理得到的长度关系，再由平面向量基本定理，利用三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.
【详解】连接并延长交于点，连接，
因为O是的内心，所以为的平分线，
所以根据角平分线定理可得，
所以,
因为三点共线，所以设，
则，
因为，
所以，
故选：D
2．已知点O是ABC的内心，若，则cs∠BAC = （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出的长，然后转化为等腰三角形处理即可
【详解】解：由，设，则四边形为平行四边形，
因为点O是ABC的内心，所以，
所以四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，
因为∥，，所以的内切圆半径，
所以，所以，解得，所以为等腰三角形，所以，故选：C
3．已知在中，，，设是的内心，若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用，和三点共线，以及角平分线定理得到得到和，再利用对应系数相等，得到和的值.
【详解】如图所示，设三角形的三条内角平分线、、相交于点．
∵，，三点共线，∴存在实数使得，
∵，是的内心，∴平分，∴．
∴，同理由，，三点共线和角平分线的性质可得
，，即
即，
∴，解得，∴与比较可得：，，则．
故选：B．
【点睛】结论点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，其中有几个结论，三点共线，如，，三点共线，∴存在实数使得，，，三点共线，∴存在实数使得，角平分线定理，平分，所以
4．已知的三内角，，所对边的长依次为，，，为该三角形所在平面内的一点，若，则是的（ ）
A．内心B．重心C．垂心D．外心
【答案】A
【分析】延长交于，根据向量加法得：，，代入已知得：，由两不共线的向量的和为零向量的结论：已知，不共线，若，则，再由内角平分线的判定定理的逆定理，得到为角平分线，同理可得，的延长线也是角平分线．即可判断为内心．
【详解】解：是三角形的内心．
理由如下：已知，延长交于，
根据向量加法得：
，，
代入已知得：，
因为与共线，所以可设，
上式可化为，
由于与共线，与、不共线，
所以只能有：，，
由可知：与的长度之比为，
所以由内角平分线定理的逆定理可得为的平分线，
同理可证，的延长线也是角平分线．故为内心．
故选：A．
十、四心基底：垂心型
1．设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】A
【分析】利用向量的加减法法则计算化简，再运用向量垂直的充要条件进行判断即得.
【详解】由题意可得，则，故点是的垂心.
故选：A.
2．若是的垂心，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接，利用中点向量公式结合给定等式推得，再利用垂心的性质，垂直关系的向量表示，二倍角的正切公式计算得解.
【详解】在中，取的中点，连接，则，如图，

由，得，于是，
，
由是的垂心，得，则
因此，即，
显然，，令直线交于，交于，
在中，，即，
则，
所以的值为.
故选：B
【点睛】关键点睛：涉及向量垂直关系，利用基底表示出相关向量，再利用向量数量积的运算律求解是关键.
3．若是的垂心，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以，
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故选：C.
4．已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】利用向量的等式关系，转化成，利用向量加减法运算化简得到，即证，再同理证得，即得是的垂心．
【详解】由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于将模的平方转化成向量的平方，进行向量的灵活运算，才能证得垂直关系，突破难点.
5．三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面的射影为的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】D
【分析】画出图象，做平面于，连接并延长交于，由题意可得：，所以平面，所以，又因为平面，所以，所以平面，同理，即可得解.
【详解】
如图：做平面于，连接并延长交于，
连接并延长交于，
由题意可得：，
所以平面，所以，
又因为平面，，
所以平面，又因为平面，
所以，
同理：，
故为的垂心.
故选：D.
【点睛】本题考查了空间线面关系，主要是垂直关系，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
十一、四心基底：外心型
1．在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】C
【分析】
根据向量的运算化简，可证明，则点轨迹为三角形边的中垂线，可得解.
【详解】
因为，
所以，
设的中点为，则，则，
即，所以，所以点在线段的中垂线上，
故点的轨迹过的外心.
故选：C．
2．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.
【详解】
因为，
则，所以，即B，O，C三点共线．
因为为的外心，即有，
所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角．
如图，过点作，垂足为．
因为在上的投影向量为，所以，
所以在上的投影向量为．
又因为，所以．
因为，所以，
故的取值范围为．
故选：A．
3．在中，，M是边的中点，O为的外心，则（ ）
A．8B．C．16D．17
【答案】B
【分析】根据题意可将向量数量积转化到向量上去，再代入数据即可计算得出结论.
【详解】由题意，取的中点为，连接，如下图所示：

易知，；
可得，
又，同理；
所以
故选：B
4．已知为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】根据条件可得为直角三角形且为斜边的中点，用向量的数量积计算可得，再根据二次函数的最值可求的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，即，所以三点共线，
又为的外心，所以为直角三角形，
且，为斜边的中点，，，
过作的垂线，垂足为，如图：
则向量在向量上的投影向量为，且，

，
，
所以，
因为，所以当时取得最小值为.
故选：B
5．在中，设是的外心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得，由此利用向量的线性运算，结合向量模以及数量积的运算律可推出，，从而，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意是的外心，
故，
又，
所以
，则，
所以，
同理可得，故，
所以，由于为内角，
故，
故选：B
十二、两线相交基底型求参
1．如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 .
【答案】/
【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可.
【详解】由得，
因为，
则，
因为三点共线，
所以，解得.
故答案为：.
2．四边形ABCD中，，且，若，则 ．
【答案】2
【分析】由题设可得且，利用相似三角形和向量的线性运算将用与的另式表达，根据平面向量基本定理列出方程求解即得.
【详解】如图，由可得且，
易得,则有
于是, 因，
故得由，解得：.
故答案为：2.
3．如图，在中，直线交于点.若＝，则实数 ．
【答案】/0.6
【分析】由A，M，Q三点共线可得存在实数μ，使得＝，再由A，N，C三点共线可解得，利用向量的线性运算化简可得，即.
【详解】由题可知，A，M，Q三点共线，
由共线定理可知，存在实数μ，使得＝.
又，
所以.
又A，N，C三点共线，
所以，解得，即可得，
所以，
所以，即，可得.
又，即可得.
故答案为：
4．如图，在中，为边上的中线，为的中点，若，则 ．

【答案】/
【分析】利用向量加法和减法的运算，求得的表达式.
【详解】．
故．
故答案为：.
5．在平行四边形中，、分别为边、的中点，连接、，交于点.若（），则 .
【答案】/
【分析】延长、相交于点，可得是的中点，由得，根据平面向量线性运算法则计算得到，可求得的值，即可得解.
【详解】延长、相交于点，因为，，
所以是的中点，所以，
因为，所以，所以，
所以
，
又，
所以，故
故答案为：.
十三、基底范围型
1．如图，点P是线段OB及AB的延长线、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则x的取值范围是 ．

【答案】
【分析】借助向量加法的平行四边形法则，对进行分类讨论即可得.
【详解】当时，由向量加法的平行四边形法则可知，
点会位于射线与射线或的反向延长线上所围成的区域内，
（含射线，不含直线），此时，不符和题意，故舍去；
当时，若，则点会位于线段上，符合要求；
当时，若时，点会位于射线的反向延长线与射线所围成的区域内，
（不包括点），此时一定存在符合要求的，使点在阴影区域内，符合要求.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
2．如图，在梯形中，．点在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由可得，则
受在上的投影影响，则，所以的取值范围为.
3．如图，点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD与BA平行.若，则当时，x的取值范围是

【答案】.
【分析】构造平行四边形数形结合确定x的范围即可.
【详解】当y=时，要使点P落在指定区域内，M为OA的中点，,点P应落在线段上，作交OB于点C，则，因此x的取值范围为.

故答案为：.
4．如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解.
【详解】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H，
则，且，
，，
所以.
故答案为：.
5．如图，菱形ABCD的边长为4，，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】用表示出，注意设，然后计算数量积即可得最大值．
【详解】由题意，设，
，
所以时，取得最大值．
故答案为：．
十四、基底动点最值
1．在边长为2的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】选定基底，设，用基底表示出，根据数量积的运算律可得的表达式，结合二次函数的最值，即可得答案.
【详解】由题意知，，
设，则，
，
故，
当时，取最小值，
即的最小值为，
故答案为：
2．已知三角形中，为中点，为上一点，若，那么 ．
【答案】
【分析】设，然后利用平面向量基本定理结合已知可得，再结合已知列方程组可求出，从而可求得结果.
【详解】设，
因为为中点，所以，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
故答案为：
3．中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为
【答案】2
【分析】
利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可.
【详解】设，由向量共线的充要条件不妨设，
则，
即，
又面积为面积的一半可得：，
所以.
，
易知
当时，即重合时取得最小值.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量积为关键.
4．平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据数量积的几何意义，找到最值时点M的位置，用基底、表示、，再结合数量积的定义及运算律即可求解.
【详解】如图所示，

根据数量积的几何意义知：当点M在C点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，
所以此时最大，
因为，，
所以
，
所以的最大值为.
故答案为：
5．在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上一动点，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，，
由于三点共线，所以.
所以
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：