(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题02等差数列的前n项和难点专练(原卷版+解析)

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专题02 等差数列的前n项和难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·高三月考）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）A．9 B．10 C．11 D．122．(2023·上海青浦·一模）已知公差为的等差数列的前项和为，则“，对，恒成立”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2023·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）A． B． C． D．4．(2023·上海虹口·一模）设等差数列的前项和为，如果，则（ ）A．且 B．且C．且 D．且5．(2023·上海普陀·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是（ ）A．， B．，C．， D．，6．(2023·上海松江·高一期末）欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）A．①②均正确 B．①②均错误C．①对②错 D．①错②对7．(2023·上海·高三月考）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）A． B．C． D．8．(2023·上海市金山中学高三期中）已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对9．(2023·上海市控江中学高三月考）在等差数列，则在Sn中最大的负数为A．S17 B．S18 C．S19 D．S2010．(2023·上海·高三月考）若数列满足：对任意，只有有限个正整数，使得成立，记这样的的个数为，则得到一悠闲的数列，例如，若数列是1，2，3，…，，…，则得数列是0，1，2，…，，…，已知对任意的，，则（ ）A． B．2014 C． D．2015二、填空题11．(2023·上海·华师大二附中高三月考）设数列满足，，，数列前n项和为，且（且），若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则_____________．12．(2023·上海市七宝中学高三期中）数列中，表示与最接近的整数，则满足的正整数n的最小取值为___________.13．(2023·上海市复兴高级中学高二期中）若集合，则中元素的个数为___________14．(2023·上海市行知中学高二期中）已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为 ___．15．(2023·上海市大同中学高三月考）已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________.16．(2023·上海静安·一模）设函数，数列中，，一般地，，（其中）．则数列的前n项和_________．17．(2023·上海·高三月考）对于自然数，设，如，对于自然数n，m，当时，设，，则___________.18．(2023·上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________．19．(2023·上海市建平中学高二期中）已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________20．(2023·上海市复兴高级中学高二期末）已知，，…，（n为正整数）是直线上的n个不同的点，设，当且仅当时，恒有（i和j都是不大于n的正整数，且），.有下列命题：①数列是等差数列；②；③点P在直线l上；④若是等差数列，P点坐标为.其中正确的命题有___________.（填写所有正确命题的序号）.三、解答题21．(2023·上海浦东新·三模）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．(2023·上海·曹杨二中高三月考）设等差数列的前n项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若､30､成等差数列，､18､成等比数列，求正整数p､q的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.23．(2023·上海闵行·高一期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列．（1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和；（2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求，及数列的前2021项和；（3）若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合．24．(2023·上海市实验学校高三月考）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.25．(2023·上海普陀·二模）记实数、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①，②；（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．专题02 等差数列的前n项和难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·高三月考）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）A．9 B．10 C．11 D．12【标准答案】C【思路指引】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．【详解详析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以.对于，，取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11．故选：C．2．(2023·上海青浦·一模）已知公差为的等差数列的前项和为，则“，对，恒成立”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】C利用等差数列的求和公式代入中化简，并结合通项公式得到等价的不等式，然后根据不等式恒成立的意义得出充分必要条件.【详解详析】⇔⇔∴“，对，恒成立”等价于“”对于，恒成立，显然“”对于，恒成立，等价于“”,∴“，对，恒成立”是“”的充分必要条件故选：C.【名师指路】本题考查等差数列的求和公式和充分必要条件的判断，属小综合题，关键是根据题目中的条件，选用较为简便.3．(2023·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】设出的值，利用等差数列的通项公式求得，进而利用等差下标性质可知代入前15项的和的公式中求得，进而推断出为常数．【详解详析】解：设（常数），，即．．故选：．4．(2023·上海虹口·一模）设等差数列的前项和为，如果，则（ ）A．且 B．且C．且 D．且【标准答案】B【思路指引】由可得，，结合前项和公式，判断，的符合可得正确选项.【详解详析】∵ ，∴ ，，∵数列为等差数列，∴ ，，∴ ，，故选：B.5．(2023·上海普陀·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是（ ）A．， B．，C．， D．，【标准答案】B令，利用奇偶性定义和导数可确定的奇偶性和单调性；将已知等式进行变形，令，，结合奇偶性和单调性可知且，利用等差数列求和公式可确定结果.【详解详析】设，则，为上的奇函数；又，为上的增函数.由得：，由得：，令，，则，，即，，为等差数列，；又为增函数且，，即，.故选：B.【名师指路】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，结合函数的单调性和奇偶性，根据函数值的大小关系确定自变量的大小关系，进而确定数列中的项之间的关系，从而推导得出结论.6．(2023·上海松江·高一期末）欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）A．①②均正确 B．①②均错误C．①对②错 D．①错②对【标准答案】A【思路指引】对①，通过欧拉公式，，算出即可；对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.【详解详析】对①，由题意，，正确；对②，原式===，正确.故选：A.7．(2023·上海·高三月考）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）A． B．C． D．【标准答案】C由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．【详解详析】解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，因为，所以实数k的取值范围是．故选：C．【名师指路】方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.8．(2023·上海市金山中学高三期中）已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对【标准答案】A【思路指引】①利用正弦函数为奇函数可得，再进行累加即可得到答案；②是等差数列，当时，对分为奇数和偶数进行讨论；【详解详析】解：在为奇函数且单调递增，①所以，且，①正确；②是等差数列，当时，若为偶数，，，同理，…，，所以若为奇数，，，，…，所以；同理，当时，也有.②正确.故选：A【名师指路】本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性，对抽象能力要求较高，属于难题.9．(2023·上海市控江中学高三月考）在等差数列，则在Sn中最大的负数为A．S17 B．S18 C．S19 D．S20【标准答案】C【思路指引】根据等差数列性质得再比较S17， S18，S19， S20大小与正负，即得结果.【详解详析】因为，所以，因为，所以在Sn中最大的负数为S19，选C.【名师指路】等差数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等差中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．10．(2023·上海·高三月考）若数列满足：对任意，只有有限个正整数，使得成立，记这样的的个数为，则得到一悠闲的数列，例如，若数列是1，2，3，…，，…，则得数列是0，1，2，…，，…，已知对任意的，，则（ ）A． B．2014 C． D．2015【标准答案】C当，关于的不等式的整数解的个数即为，根据的定义可得，再结合的定义可求的值，从而得正确的选项.【详解详析】因为，故满足的正整数的个数为不等式的整数解的个数.当，关于的不等式的整数解的个数即为，故，其中，故中项的大小为共有项.将列举如下： ①而即为中的个数.由①可得中的个数为.故选：C.【名师指路】关键点点睛：为了求出不等式的正整数解的个数，我们把所有的正整数按分类，为了求出中的个数，我们用了列举法找到了计算中的个数的方法，这体现了数形结合的数学思想.二、填空题11．(2023·上海·华师大二附中高三月考）设数列满足，，，数列前n项和为，且（且），若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则_____________．【标准答案】2021【思路指引】先求得，结合累加法求得，进而求得，结合的意义求得.【详解详析】（且）,即，整理得，所以从第二项起是等差数列，且公差为，，所以时，，也符合上式，所以.当时，，所以，也符合上式，所以.所以.所以当时，；当时，.所以，所以.故答案为：12．(2023·上海市七宝中学高三期中）数列中，表示与最接近的整数，则满足的正整数n的最小取值为___________.【标准答案】111【思路指引】由题意，数列中，表示与最接近的整数，即，即，的项有项，则，从而可得答案.【详解详析】解：由题意，因为数列中，表示与最接近的整数，即，即，所以的项有项，即，，，所以利用分组求和：，当，只需找到最大的整数k，使，则最小的n=k+1，所以的最小取值为.故答案为：111.13．(2023·上海市复兴高级中学高二期中）若集合，则中元素的个数为___________【标准答案】【思路指引】由已知条件可得，即，由分析可得与一奇一偶，分别由求出的值即可求解.【详解详析】由可得：，即，因为，而与奇偶性不同，一奇一偶，所以种，分别令可得中元素分别为，，，，， ， ， ，共组，故答案为：.14．(2023·上海市行知中学高二期中）已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为 ___．【标准答案】【思路指引】当时，，当时，可得的通项公式，再利用裂项求和即可求解.【详解详析】当时，，当时，，因为满足上式，所以，所以所以，故答案为：.15．(2023·上海市大同中学高三月考）已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________.【标准答案】300【思路指引】由数列的通项公式可求得，推出数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可.【详解详析】因为所以，由题意可得，其中，可得，则，当时，也适合上式，所以，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为故答案为：300.16．(2023·上海静安·一模）设函数，数列中，，一般地，，（其中）．则数列的前n项和_________．【标准答案】【思路指引】先证明，从而可求数列的通项公式，最后求和即可.【详解详析】因为，所以，所以当为偶数时，；当为奇数时，.所以，数列的前n项和.故答案为：17．(2023·上海·高三月考）对于自然数，设，如，对于自然数n，m，当时，设，，则___________.【标准答案】-144【思路指引】由题意可知，，，然后按照，，，，，进行求解即可．【详解详析】解：由题意，，，，，，，，，.故答案为：-14418．(2023·上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________．【标准答案】【思路指引】利用累加法即可求出数列的通项公式.【详解详析】因为，所以，所以，，，…，，把以上个式子相加，得，即，所以.故答案为：.19．(2023·上海市建平中学高二期中）已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________【标准答案】62【思路指引】设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，根据，得到即有，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解.【详解详析】解： 由题意知：等差数列满足，故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，由，则，即，即有，则，可得，解得，即有的最大值为，的最大值为.故答案为：.20．(2023·上海市复兴高级中学高二期末）已知，，…，（n为正整数）是直线上的n个不同的点，设，当且仅当时，恒有（i和j都是不大于n的正整数，且），.有下列命题：①数列是等差数列；②；③点P在直线l上；④若是等差数列，P点坐标为.其中正确的命题有___________.（填写所有正确命题的序号）.【标准答案】②③④【思路指引】①可以根据题意进行判断；②根据题干条件当时，恒有，进行推导；③设出点P坐标，结合题干条件进行推导；④再第三问基础上进行推导即可.【详解详析】只有在数列是等差数列时，数列是等差数列，根据题意，数列不一定是等差数列，故数列不一定是等差数列，①错误；因为，所以；②正确；因为，设，则，，因为，，…，（n为正整数）是直线上的n个不同的点，所以，，，，则，，，，相加得：，因为，所以，点P在直线l上，③正确；是等差数列，若为偶数，则，若为奇数，则，又当时，恒有（i和j都是不大于n的正整数，且），若为偶数，则，同理可得：；若为奇数，则，同理可得：；综上所述：若是等差数列，P点坐标为，④正确.故答案为：②③④三、解答题21．(2023·上海浦东新·三模）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.【标准答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.【思路指引】（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又，进而根据等差数列前项和公式求解即可；（2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.【详解详析】解：（1）记11月日新感染者人数为，则数列是等差数列，，公差为，又，则11月1日至11月10日新感染者总人数为：人；（2）记11月日新感染者人数为，11月日新感染者人数最多，当时，.当时，，因为这30天内的新感染者总人数为11940人，所以，得，即解得或(舍)，此时所以11月13日新感染者人数最多为630人.【名师指路】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当时，，进而求和解方程.22．(2023·上海·曹杨二中高三月考）设等差数列的前n项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若､30､成等差数列，､18､成等比数列，求正整数p､q的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.【标准答案】（1）；（2）；（3）存在，或14.【思路指引】（1）设等差数列的公差为，由题设可得关于的方程组，求出其解后可得列的通项公式.（2）由（1）可得关于的方程组，其解即为所求的正整数p､q的值；（3）根据题设条件可得关于的方程，利用该方程有正整数解可求的值.【详解详析】（1），所以，.（2）由（1）可得.因为成等差数列，成等比数列，故，故或所以或（因不是正整数，舍），故.（3）假设存在使得为数列中的项，故，其中，，故，而，所以（无正整数解，舍）或或故或，所以或.23．(2023·上海闵行·高一期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列．（1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和；（2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求，及数列的前2021项和；（3）若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合．【标准答案】（1）；（2），，；（3）.【思路指引】（1）当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可；（2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可（3）由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合【详解详析】（1）若数列为1级等差数列，即为对一切，都成立，则数列为等差数列，设公差为，由，，可得，则．（2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，可得对一切，都成立．，，，……，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，则所以，，．（3）∵是3级等差数列，∴，对一切，都成立．即，∴．∴，或．对恒成立时，．时，，∴，∴．24．(2023·上海市实验学校高三月考）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.【标准答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）利用等差中项得出Sn与an的关系式，即可求出an；（2）由题意可求出，然后利用等差数列前n项和公式可求；（3）由题写出的表达式，构造函数，然后判断单调性，可求函数的最大值，即可解出答案.【详解详析】（1）由题意知，即，又数列各项均为正数，∴当时，，当时，∴，即，∴数列为首项为1公差为1的等差数列，故；（2）∵，∴，所以当时，，当时，∴；（3）由题知，令，则，∴，故单调递减，于是∴要得不等式对一切都成立，则.25．(2023·上海普陀·二模）记实数、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①，②；（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．【标准答案】（1）①数列为“趋势递减数列”；②数列不是“趋势递减数列”；理由见解析；（2）；（3）证明见解析．【思路指引】（1）根据“趋势递减数列”的定义逐个分析可得结果；（2）由数列为“趋势递减数列”可得，①若，推出，经验证数列为“趋势递减数列”； ②若，推出，经验证数列为“趋势递减数列”，由此可得结果；（3）利用反证法证明必要性，根据“趋势递减数列”的定义证明充分性,即可得解.【详解详析】（1）①中，由，，得（为正整数），因为，所以①数列满足“趋势递减数列”的定义，故①中数列为“趋势递减数列”.②中，由，，所以（为正整数），因为，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”．（2）由数列为“趋势递减数列”，得．①若，则，即，也即，此时为递减数列，故．所以，故（），满足条件．②若，则，则，即，由得，则，则，即，解得，所以．此时为递减数列，所以，所以，所以当且时，，又，所以（），满足条件，由①②可得，．（3）先证明必要性：用反证法．假设存在正整数，使得，，令，因为，且，所以，故，则数列从项开始以后的各项为，则当时，，所以，所以，与是“趋势递减数列”矛盾．故假设不成立，故的项中没有.再证明充分性：由，得，因为中的项没有，所以对于任意正整数，．于是（为正整数），所以，①当时，，②当时，，所以均有，故为“趋势递减数列”的充要条件是数列的项中没有．【名师指路】关键点点睛：理解并运用“趋势递减数列”的定义求解是解题关键.