(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题03等比数列及其通项公式重难点专练(原卷版+解析)

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专题03 等比数列及其通项公式重难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市控江中学高二期末）设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．(2023·上海·高三月考）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）．A． B． C． D．3．(2023·上海·高三月考）若等比数列的公比为，则关于、的二元一次方程组的解，下列说法中正确的是（ ）A．对任意，方程组都有无穷多组解B．对任意，方程组都无解C．当且仅当时，方程组无解D．当且仅当时，方程组有无穷多组解4．(2023·上海·复旦附中模拟预测）若等比数列的公比为，则关于的二元一次方程组的解的情况的下列说法中正确的是（ ）A．对任意，方程组有唯一解 B．对任意，方程组无解C．当且仅当时，方程组有无穷多解 D．当且仅当时，方程组无解5．(2023·上海·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是　　A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．(2023·上海·高一期中）中，是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，是以为第三项、4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（ ）A．钝角三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．不能确定7．(2023·上海市第三女子中学高三期中）已知数列的前项和为，且对任意正整数都有，则下列关于的论断中正确的是（ ）A．一定是等差数列 B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列8．(2023·上海市复兴高级中学高三期中）已知等比数列的公比为，是的前项和.则“数列单调递减”是“，”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线10．(2023·上海崇明·二模）若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题11．(2023·上海·高三月考）在平面直角坐标系中，直线经过坐标原点，是的一个法向量，已知数列满足：对任意的正整数，点均在上，若，则的值为____12．(2023·上海师大附中高一期末）已知等差数列的各项不为零，且、、成等比数列，则公比是________13．(2023·上海·闵行中学高三期中）已知等比数列满足，且，则的最小值为__________．14．(2023·上海·高三月考）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.15．(2023·上海·高三月考）在中，是的中点，点列在直线上，且满足，若，则数列的通项公式______________．16．(2023·上海·高三月考）已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如，，记，则数列的前15项的和为______.17．(2023·上海·高三月考）已知数列为等差数列，若，则．类比等差数列的上述结论，对等比数列，若，则当时可以得到_________．18．(2023·上海市控江中学高二期末）已知数列满足，则其通项公式_______．19．(2023·上海·高三月考）若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是___________.20．(2023·上海·高三月考）已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则 __________.三、解答题21．(2023·上海市控江中学高一期末）已知数列满足，.(1)若是等差数列，求数列的通项公式；(2)若是等比数列，且数列满足，求证：是等比数列.22．(2023·上海·高三月考）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明23．(2023·上海宝山·一模）已知函数，无穷数列满足，.(1)若，写出数列的通项公式（不必证明）；(2)若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；(3)证明：，，，，成等差数列的充要条件是.24．(2023·上海·曹杨二中高二期末）已知数列满足，，，n为正整数.(1)证明：数列是等比数列，并求通项公式；(2)证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；(3)若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；25．(2023·上海·高三月考）已知，有穷数列满足，将所有项之和为的可能的不同数列的个数记为.（1）求，；（2）已知，，若时，总有，求出一组实数对；（3）求关于的表达式.专题03 等比数列及其通项公式重难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市控江中学高二期末）设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】C【思路指引】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.【详解详析】若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，，即，或，即，当时，有，即，是严格递增数列，当时，有，即，是严格递增数列，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件故选：C2．(2023·上海·高三月考）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）．A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】不妨设直角三角形中，，互余，为最小角，可得即，求解即可【详解详析】设，则互余，不妨设为最小角又由已知得即 解得或（舍去）故故选：B【名师指路】本题考查了解三角形和数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题3．(2023·上海·高三月考）若等比数列的公比为，则关于、的二元一次方程组的解，下列说法中正确的是（ ）A．对任意，方程组都有无穷多组解B．对任意，方程组都无解C．当且仅当时，方程组无解D．当且仅当时，方程组有无穷多组解【标准答案】D首先解方程组消去得：，根据等比数列的性质得到，从而得到答案.【详解详析】解方程组，消去得：，因为为等比数列，所以，即.所以当时，即时，方程组有无穷多解.故选：D【名师指路】本题主要考查等比数列的性质，属于中档题.4．(2023·上海·复旦附中模拟预测）若等比数列的公比为，则关于的二元一次方程组的解的情况的下列说法中正确的是（ ）A．对任意，方程组有唯一解 B．对任意，方程组无解C．当且仅当时，方程组有无穷多解 D．当且仅当时，方程组无解【标准答案】C【思路指引】消去，得到，利用等比数列的性质可知，讨论，得到选项.【详解详析】解方程组，，消去，得到 数列的公比为的等比数列，，当，即时，方程组由无穷多解，当，即时，方程组无解.故选：C【名师指路】本题考查等比数列的性质和方程组解的情况，意在考查讨论的思想和变形能力，属于基础题型.5．(2023·上海·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是　　A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【标准答案】D【思路指引】若，得，由于，推出，所以要确定，正负，取决于的正负，可得，错误；若，可得，，的正负，取决于正负，故错误；若，则，可确定正确．【详解详析】解：若则，所以，即，，所以，，所以当时，，当时，，故，错误，若，则，所以，所以当时，，即，当时，，即，故错误，若，则，即，所以，所以，即，故选：．【名师指路】本题主要考查了等比数列的性质，考查了推理运算能力，特殊化思想，属于中档题.6．(2023·上海·高一期中）中，是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，是以为第三项、4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（ ）A．钝角三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．不能确定【标准答案】B【思路指引】利用等差及等比数列的性质求出与的值，再利用两角和的正切公式求出的值，得出，及的范围，即可确定出三角形的形状．【详解详析】是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，，是以为第三项、4为第六项的等比数列的公比， ，在中，有，，，根据正切函数性质，和都大于零，，为锐角三角形．故选：B．【名师指路】本题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：诱导公式，两角和的正切公式，以及等差数列、等比数列的性质，熟练掌握公式是解本题的关键．7．(2023·上海市第三女子中学高三期中）已知数列的前项和为，且对任意正整数都有，则下列关于的论断中正确的是（ ）A．一定是等差数列 B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列【标准答案】C【思路指引】根据得，分类讨论当和两种情况分析得数列可能为等差数列，但不会为等比数列.【详解详析】，，，若，则数列为等差数列；若，则数列为首项为，公比为4的等比数列，，此时（），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列可能为等差数列，但不会为等比数列.故选：C【名师指路】关键点点睛：数列中含有和的式子一般需要转化，转化后可利用等差数列和等比数列的定义，此类问题注意验证时是否满足递推式，属于中档题．8．(2023·上海市复兴高级中学高三期中）已知等比数列的公比为，是的前项和.则“数列单调递减”是“，”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】B【思路指引】根据单调递减，可得或，由，可得，根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解详析】因为是等比数列且公比为，可得 若数列单调递减，则或，若可得，所以，或，由可得，即，所以或，所以由，可得，若，可得为单调递减函数，若是递减数列，则，或，所以充分性不成立必要性成立，所以“数列单调递减”是“，”的必要而不充分条件故选：B.9．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【标准答案】C【思路指引】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解详析】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.【名师指路】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.10．(2023·上海崇明·二模）若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】A,不妨设，则可证充分性；为等比数列且时得不到，可知必要性不成立【详解详析】不妨设，则 为等比数列；故充分性成立反之若为等比数列，不妨设公比为，， 当时，所以必要性不成立故选：A．【名师指路】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．二、填空题11．(2023·上海·高三月考）在平面直角坐标系中，直线经过坐标原点，是的一个法向量，已知数列满足：对任意的正整数，点均在上，若，则的值为____【标准答案】-32【思路指引】由直线的法向量可得直线的斜率和直线的方程，求得，则数列表示公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可求解.【详解详析】由题意，直线经过坐标原点，且是直线的一个法向量，可得直线的斜率为，所以直线的方程为，又由点在直线上，所以，即，所以数列表示公比为的等比数列，可得，所以.故答案为：.【名师指路】本题主要考查了等比数列的定义和通项公式的运用，以及直线直线的法向量的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．(2023·上海师大附中高一期末）已知等差数列的各项不为零，且、、成等比数列，则公比是________【标准答案】1或【思路指引】由、、成等比数列，列方程找出，从而可求出公比【详解详析】解：设等差数列的公差为，因为、、成等比数列，所以，即，化简得， 或当时，等差数列的每一项都相等，所以、、成等比数列时的公比为1当时，，所以，所以等比数列的公比为1或5故答案为：1或【名师指路】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题13．(2023·上海·闵行中学高三期中）已知等比数列满足，且，则的最小值为__________．【标准答案】8【思路指引】由已知可得，代入，令，可得，即可求出最小值.【详解详析】设数列的公比为，则且，，，即，所以，，令()，则，则当时，取得最小值为8.故答案为：8.14．(2023·上海·高三月考）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.【标准答案】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解.【详解详析】设等比数列的公比为，则（常数），所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，因为，同理可得，因此，.故答案为：.【名师指路】结论点睛：已知等差数列、的前项和分别为、，则.15．(2023·上海·高三月考）在中，是的中点，点列在直线上，且满足，若，则数列的通项公式______________．【标准答案】【详解详析】如图所示，∵D是BC的中点，,又=+，，∴+=+an（），化为：=（1﹣an﹣an+1）+，∵点列Pn（n∈N*）在线段AC上，∴1﹣an﹣an+1+=1，化为：an+1=﹣，又a1=1，则数列{an}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴an=．故答案为．点睛：这个题目考查了向量中共线定理的应用，和数列通项的求法；对于向量的小题常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.16．(2023·上海·高三月考）已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如，，记，则数列的前15项的和为______.【标准答案】5【思路指引】通过和可计算出数列的通项公式，即，由二项式定理结合题意可得，进而可得结果.【详解详析】设等比数列的公比为，由得，则，由和，解得，，则.由，，则，故答案为：5.【名师指路】本题主要考查了等比数列中基本量的计算，二项式定理的应用，对新定义的理解是解题的关键，属于中档题.17．(2023·上海·高三月考）已知数列为等差数列，若，则．类比等差数列的上述结论，对等比数列，若，则当时可以得到_________．【标准答案】【思路指引】运算类比：差类比商，积类比乘方，商类比开方，由此有【详解详析】设，则，，所以，故答案为：．18．(2023·上海市控江中学高二期末）已知数列满足，则其通项公式_______．【标准答案】【思路指引】构造法可得，由等比数列的定义写出的通项公式，进而可得.【详解详析】令，则，又，∴，故，而，∴是公比为，首项为，则，∴.故答案为：.19．(2023·上海·高三月考）若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是___________.【标准答案】由已知条件可得，，由基本不等式可得，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可求得与的值，即可得解.【详解详析】由已知条件可得，，由基本不等式可得，所以，，由于、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则有，解得，所以，，，因此，.故答案为：.【名师指路】关键点点睛：本题的解题关键在于确定、的关系，结合已知条件得出关于、的方程组求解，进而可求得与的值.20．(2023·上海·高三月考）已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则 __________.【标准答案】【思路指引】先求出，再由特殊到一般，归纳出时，，从而可得，最后利用错位相减法可得结果.【详解详析】设的公比为，由得或（舍去）所以在区间上，，在区间上上，个1在区间上，，个2在区间上，，个3，…归纳得当时，所以令则两式相减，整理得所以故答案为：【名师指路】方法点睛：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.三、解答题21．(2023·上海市控江中学高一期末）已知数列满足，.(1)若是等差数列，求数列的通项公式；(2)若是等比数列，且数列满足，求证：是等比数列.【标准答案】(1)(2)证明见解析【思路指引】（1）根据等差数列的通项公式，求出公差，进而可得结果；（2）设出公比为，利用，结合等比数列定义可得结论.(1)设等差数列的公差为，，，；(2)设等比数列的公比为，因为，，，两式相减，即也适合，，是以为首项，以为公比的等比数列.22．(2023·上海·高三月考）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【标准答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【思路指引】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.【详解详析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.【名师指路】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.23．(2023·上海宝山·一模）已知函数，无穷数列满足，.(1)若，写出数列的通项公式（不必证明）；(2)若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；(3)证明：，，，，成等差数列的充要条件是.【标准答案】(1)；(2)，为等比数列；，不为等比数列，理由见解析；(3)证明见解析.【思路指引】（1）根据递推关系写出前几项，直接得到通项公式；（2）时，由，，成等比数列可求出判断数列即可，时同理可求出，由等比数列定义判断即可；（3）结合（2）先证明充分性，再分别讨论，，证明必要性即可.(1)因为，所以，所以；(2)因为 当时，由，所以，所以，即为等比数列；当时，由舍， 所以，因为，所以数列不是等比数列；综上，当时，是等比数列，当时，不是等比数列；(3)充分性:当时，由(2)知，此时为等差数列;必要性:当时, ，所以，所以，数列为递增数列,易知，存在，此时，与矛盾，舍去;当时，由，所以,所以，，即为等差数列;当时，由与不符，舍去;综上，，，，，成等差数列的充要条件是 .【名师指路】方法点睛：注意在涉及数列的证明求解过程中，分类讨论方法的应用，本题求解过程一定要分别考虑的范围对解题的影响，分为，，去考虑问题即可.24．(2023·上海·曹杨二中高二期末）已知数列满足，，，n为正整数.(1)证明：数列是等比数列，并求通项公式；(2)证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；(3)若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；【标准答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析(3)【思路指引】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；（2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证明原结论；（3）求出n=1,2,3,4时的情况，再结合时，，即可求得结果.(1)由已知可知，显然有 ，否则数列不可能是等比数列；因为，，故可得 ，由 得： ，即有 ，所以数列是等比数列，且 ；(2)假设存在，，成等差数列，则 ，即，整理得，即 ，而是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，故数列中的任意三项，，都不成等差数列；(3)关于正整数n的不等式，即，当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，，并且当 时，，因关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，故 .25．(2023·上海·高三月考）已知，有穷数列满足，将所有项之和为的可能的不同数列的个数记为.（1）求，；（2）已知，，若时，总有，求出一组实数对；（3）求关于的表达式.【标准答案】（1），；（2）；（3）.【思路指引】（1）结合有穷数列的定义，用列举法即可求得，的值；（2）根据题中条件求解得出所满足的通项公式，即可求出实数对的值；（3）利用（2）中的两组数据，求出关于的两个递推关系式，消去即可得出结论.【详解详析】（1）根据题意，符合条件的数列分别列举如下：符合的数列有：，，，所以；符合的数列有：，，，，，所以.（2）由分析可得：，，可化简为，，或，则由，组成的一组实数对为.（3）由（2）可知，，则数列是公比为的等比数列，又，首项为， ，①取，同理可得，②②-①得 ，所以.【名师指路】关键点点睛：本题属于新定义题，考查等比数列的性质，充分利用（2）小题构造关于两个关系式，用方程思想求出其通项公式..