(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题04椭圆的性质综合难点专练(原卷版+解析)

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专题04 椭圆的性质综合难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市实验学校高二期末）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（ ）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，112．若曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．3．椭圆与直线的交点情况是（ ）A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．由的取值而确定4．设、是椭圆上相异的两点.设、.命题甲：若，则与关于轴对称；命题乙：若，则与关于轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）A．甲和乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲和乙都是假命题5．在圆锥曲线中，我们将焦距与长轴长的比值称为离心率，已知椭圆与x轴正半轴交于点A，若该椭圆上总存在点P（异于A），使（O为坐标原点），则椭圆离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．6．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ）A． B． C． D．7．(2023·上海奉贤·高二期末）直线与椭圆相交于两点、，点使得的面积为，则这样的点在椭圆上的个数有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个8．已知椭圆过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（　　）A． B． C． D．9．已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．10．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（ ）①的取值范围是；②曲线是中心对称图形；③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部；④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于；A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④二、填空题11．(2023·上海黄浦·三模）已知椭圆的右顶点为右焦点为以为圆心，为半径的圆与椭圆相交于两点，若直线过点则的值为_____．12．(2023·上海嘉定·三模）设椭圆，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是的中点，则的长轴长等于________.13．(2023·上海长宁·二模）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为_____．14．(2023·上海市控江中学高三月考）设椭圆的左顶点，过点的直线与相交于另一个点，与轴相交于点，若，，则___________.15．(2023·上海·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C：（a> 0，b> 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若△PF1F2的面积为9，则b=_________.16．(2023·上海徐汇·高二期末）设直线与椭圆的交点为、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数是________________．17．(2023·上海市建平中学高二月考）椭圆的焦点坐标为________．18．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，，椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点.已知线段，，，的长分别为2，4，6，12，则的面积为___________.20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_______三、解答题21．(2023·上海市七宝中学高三期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；(2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．22．(2023·上海市复兴高级中学高三期中）已知椭圆的左､右焦点分别为､，点在椭圆上，且，点， 是椭圆上关于坐标原点O对称的两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于Q点），试求的值；(3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.23．(2023·上海市建平中学高三月考）已知椭圆：上任意一点到焦点距离的最大值与最小值之比为，长轴长为，左右顶点分别为、.(1)求椭圆的方程；(2)设直线：与轴交于点，点是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值；(3)如图，原点到：的距离为1，直线与椭圆交于、两点，直线：与平行且与椭圆相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，若，求实数的取值范围.24．(2023·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点.(1)若直线的倾斜角为时，求的值；(2)若点在第一象限，满足，求的值；(3)在轴上是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.25．(2023·上海杨浦·一模）如图，椭圆的左､右焦点分别为､，过右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于M､N两点，动点P､Q分别在直线MN与椭圆C上.已知，的周长为.(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形的面积；(3)是否存在以､为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由.26．(2023·上海金山·一模）已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.(1)当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；(2)当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；(3)设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.27．(2023·上海市建平中学高二月考）给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；②当时，求的面积28．(2023·上海崇明·一模）如图，已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上位于第一象限的点，M，N是轴上的两个动点(点位于轴上方)，满足且，线段PN交轴于点.(1)若，求点的坐标；(2)若四边形为矩形，求点的坐标；(3)求证:为定值.专题04 椭圆的性质综合难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市实验学校高二期末）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（ ）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11【标准答案】C【思路指引】两圆的圆心是椭圆的焦点，，的最大值与最小值是到圆心的距离加上半径、减去半径，结合椭圆定义可得．【详解详析】由题意椭圆的焦点分别是，恰好是已知两圆圆心，两圆半径都是1，，，，，，∴，．故选：C．2．若曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】分别在曲线为椭圆、双曲线和圆三种情况下，由数形结合的方式得到不等关系，从而求得结果.【详解详析】①当曲线为椭圆时，若两曲线恰有两个交点，则需如下图所示：则，解得：②当曲线为双曲线时，如下图所示：若为双曲线的渐近线，则两曲线恰有两个交点，解得：③当曲线为圆，即时，两曲线有个不同交点，不合题意综上所述：实数的取值范围为故选【名师指路】本题考查根据两曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过分类讨论的方式，根据曲线方程表示的不同曲线，利用数形结合的方式得到不等关系.3．椭圆与直线的交点情况是（ ）A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．由的取值而确定【标准答案】C先将转化为： ，令，解出直线过定点，再将代入，判断点与椭圆的位置关系.【详解详析】已知可转化为： ，令，解得，所以直线过定点 ，将代入可得，所以点在椭圆的内部，所以直线与椭圆必相交，所以必有两个交点.故选：C【名师指路】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.4．设、是椭圆上相异的两点.设、.命题甲：若，则与关于轴对称；命题乙：若，则与关于轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）A．甲和乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲和乙都是假命题【标准答案】A设点、，则或，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【详解详析】设点、，则，可得，.对于命题甲：，同理可得，，则，整理得，，，所以，，则，必有，所以，则与关于轴对称，命题甲正确；同理可知命题乙也正确.故选：A.【名师指路】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.5．在圆锥曲线中，我们将焦距与长轴长的比值称为离心率，已知椭圆与x轴正半轴交于点A，若该椭圆上总存在点P（异于A），使（O为坐标原点），则椭圆离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】设，利用可得关于的方程，再结合该点在椭圆上可得，利用可求离心率的范围.【详解详析】由椭圆方程可得，设，则，因为，故，故，又，故，整理得到：，因为当时，，故方程有一个解为.所以此方程的另一个解为，故的横坐标为，所以，即即，所以，故选：B.【名师指路】方法点睛：椭圆离心率的范围计算，一般利用题设条件构建关于的不等式关系，构建时常依据坐标的范围、几何量的范围等.6．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ）A． B． C． D．【标准答案】A设，，，，，，利用，在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：，同理可得：，，再利用已知条件即可得出结果.【详解详析】设，，，，，，因为，在椭圆上，所以，，两式相减得：，即，同理可得，，所以因为直线､､的斜率之和为1，所以，故选：A.【名师指路】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.7．(2023·上海奉贤·高二期末）直线与椭圆相交于两点、，点使得的面积为，则这样的点在椭圆上的个数有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个【标准答案】C【思路指引】设点，其中，利用点到直线的距离公式以及三角形的面积公式可得出或，观察直线、与函数的图象的公共点个数，由此可得出结论.【详解详析】设点、，因为点在椭圆上，设点，其中，设点到直线的距离为，则，因为，，所以，，所以，或，可得或，因为，则，如下图所示：直线与函数的图象只有个公共点，直线与函数的图象有个公共点，因此，满足条件的点共有个.故选：C.8．已知椭圆过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（　　）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】设出直线的参数方程，代入椭圆方程，化简后写出韦达定理.利用直线参数的几何意义表示出，由此求得两者的比值.【详解详析】依题意可知，椭圆的右焦点为.设直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角，）.代入椭圆，化简得，所以.设的中点为，则中点对应的参数，所以.而.所以.故选：B.【名师指路】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.9．已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【标准答案】D【思路指引】椭圆焦点在轴上，由在圆，则，有，设，求出，令，，分离常数，求解得出结论.【详解详析】椭圆C：的左右顶点分别为，右焦点，点圆上且不同于，，设， 令，，且不等于0.故选:D.【名师指路】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.10．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（ ）①的取值范围是；②曲线是中心对称图形；③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部；④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于；A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④【标准答案】C由曲线方程性质可知①正确；关于原点对称的两个点点，是否都在曲线上，可判断②；令代入验证即可判断③；通过轨迹法求得垂线段中点的轨迹方程，判断轨迹中的点与的关系即可判断④.【详解详析】，可知，即，，，，①正确；将方程中的换成，换成方程不变，故②正确；，令，则，当时，，点在椭圆的外部，故③错误；过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹为，即，在上任取一点，，，，即在外，围成图形的面积大于，故④错误.故选：C【名师指路】方法点睛：关于对称点的问题可以利用以下知识解决：①点关于轴对称的点为；②点关于轴对称的点为；③点关于原点对称的点为；④点关于轴对称的点为.二、填空题11．(2023·上海黄浦·三模）已知椭圆的右顶点为右焦点为以为圆心，为半径的圆与椭圆相交于两点，若直线过点则的值为_____．【标准答案】【思路指引】由对称性得弦是椭圆的通径，由通径长可得关系式，从而求得．【详解详析】由已知，，因为过焦点，所以由对称性知轴，所以，，所以．故答案为：．12．(2023·上海嘉定·三模）设椭圆，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是的中点，则的长轴长等于________.【标准答案】【思路指引】由题意可得，代入椭圆方程求解即可.【详解详析】设，由题意可得：，因为Q是的中点，所以∴，∴，代入椭圆方程可得：，解得，∴椭圆的长轴长等于故答案为：.13．(2023·上海长宁·二模）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为_____．【标准答案】1【思路指引】由已知向量条件结合椭圆的对称性推出四边形一定为平行四边形，可得，即.【详解详析】因为，所以，所以，又，且不是椭圆的顶点．根据椭圆的对称性可知，四边形一定为平行四边形，如图：所以，所以，即，故答案为：．【名师指路】关键点点睛：根据椭圆的对称性求解是解题关键.14．(2023·上海市控江中学高三月考）设椭圆的左顶点，过点的直线与相交于另一个点，与轴相交于点，若，，则___________.【标准答案】【思路指引】由椭圆方程及已知条件知：、，进而求出的坐标，由在椭圆上求参数a即可.【详解详析】由题设，知：，若直线与轴相交于x轴上方，由知：，∵，即是的中点，∴，又在椭圆上，∴，解得.故答案为：15．(2023·上海·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C：（a> 0，b> 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若△PF1F2的面积为9，则b=_________.【标准答案】3【思路指引】结合已知三角形面积根据椭圆的定义可得．【详解详析】设，，因为，所以，所以，又，所以，，．故答案为：3．16．(2023·上海徐汇·高二期末）设直线与椭圆的交点为、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数是________________．【标准答案】2【思路指引】先求交点A，B得，再求与直线平行且与椭圆相切的直线方程，最后根据两直线距离判定点的个数.【详解详析】由题意知，直线恰好经过椭圆的两个顶点，，故，若的面积为，则（为边上的高），所以．联立与椭圆方程，得．令，得，即当直线平移到直线或时，与椭圆相切，它们与直线的距离或，当，所以有个点符合要求；当，没有满足题意的点；所以一共有个点符合要求．故答案为：217．(2023·上海市建平中学高二月考）椭圆的焦点坐标为________．【标准答案】【思路指引】由椭圆的几何性质可直接求解.【详解详析】将椭圆化成标准式得，故，焦点在轴上，所以，，故椭圆的焦点坐标为，故答案为：18．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.【标准答案】【思路指引】由几何关系可得为，结合相似三角形可得的比例关系，联立焦点三角形公式即可求解【详解详析】由题可知，，，故，因为过F1的直线和圆相切，所以，又PF2⊥x轴，故，即，设则，椭圆离心率故答案为：19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，，椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点.已知线段，，，的长分别为2，4，6，12，则的面积为___________.【标准答案】根据图形以及线段，，，的长求出，将代入，可得，然后利用三角形面积公式可得答案.【详解详析】因为椭圆的弦与分别垂直于轴与轴，且相交于点，线段，，，的长分别为2，4，6，12，由图可知，是第一象限的点，根据椭圆的对称性可得，，，即，将代入，可得，解得，，则的面积为，故答案为：【名师指路】关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质，解题的关键是利用对称性求出，然后代入椭圆方程确定的值.20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_______【标准答案】10由已知可得，，三点共线，先设与轴的夹角为，为在轴上的投影，从而有线段在轴上的投影长度为，结合椭圆方程及基本不等式可求．【详解详析】，，则，，三点共线，，设与轴的夹角为，为在轴上的投影，则线段在轴上的投影长度为，当且仅当即时取得最大值10．故答案为：10．【名师指路】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21．(2023·上海市七宝中学高三期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；(2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【标准答案】(1).(2)①存在②是定值【思路指引】（1）设所求椭圆方程为，由椭圆的性质求得，，可得椭圆的方程；（2）①存在, 设椭圆上的点,直接计算，即可探索出存在m；②由（1）得椭圆的方程为，设椭圆上的点，有，证明椭圆在点处的切线方程为， 再由右光学性质得直线，由此可求得定值.(1)设所求椭圆方程为，则，由椭圆的性质：，所以，，所以椭圆的方程为.(2)由椭圆的方程为，则.①存在直线，使得P到和P到直线的距离之比为定值.设椭圆上的点,则，P到直线的距离，所以，所以，当时，（定值）.即存在，使得P到和P到直线的距离之比为定值.②设椭圆上的点，则，又椭圆在点处的切线方程为，证明如下：对于椭圆，当，，则，所以椭圆在处的切线方程为，又由，可以整理切线方程为：，即切线方程为，即，也即.所以椭圆在点处的切线方程为，同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，综述：椭圆在点处的切线方程为，所以在点处的切线的斜率为，又由光学性质可知：直线，所以，则.所以，，那么.22．(2023·上海市复兴高级中学高三期中）已知椭圆的左､右焦点分别为､，点在椭圆上，且，点， 是椭圆上关于坐标原点O对称的两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于Q点），试求的值；(3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【标准答案】(1)(2)(3)为定值，理由见解析.【思路指引】（1）由已知可得，设，，根据求得的值，再由求得的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）设，，，计算，，可得，即可得；（3）直线的斜率不存在时，的方程为或，求出，，三点坐标，可得、的长，即可得的值，当直线的斜率存在时，设，可得，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得，，由弦长公式计算，由两点间距离公式计算，即可得，即可得结论.(1)设椭圆的半焦距为，由点在椭圆上，可得，，，，由，可得，所以，所以椭圆的标准方程为.(2)设，，，所以，，所以，可得，所以(3)当直线的斜率不存在时，由题意可得：直线的方程为或，当直线的方程为时，的方程为，可得，，，则，，所以，其他情况由对称性，同理可得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，可得，设，可得，由可得，所以，，所以，，，所以，综上所述：为定值.【名师指路】思路点睛：解决圆锥曲线定值、定点的方法：（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.23．(2023·上海市建平中学高三月考）已知椭圆：上任意一点到焦点距离的最大值与最小值之比为，长轴长为，左右顶点分别为、.(1)求椭圆的方程；(2)设直线：与轴交于点，点是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值；(3)如图，原点到：的距离为1，直线与椭圆交于、两点，直线：与平行且与椭圆相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，若，求实数的取值范围.【标准答案】(1)(2)证明见解析(3)【思路指引】（1）根据，解得答案.（2）设，计算直线方法解得交点，代入化简得到证明.（3）根据距离的相切得到，，得到，根据得到答案.(1)根据题意，，解得，，则.故椭圆方程为：.(2)设，，，，故：，取得到，即.同理可得，.(3)，即，，化简得到，，整理得到.，故，故，故，故.24．(2023·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点.(1)若直线的倾斜角为时，求的值；(2)若点在第一象限，满足，求的值；(3)在轴上是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【标准答案】(1)(2)(3)存在使得是一个确定的常数.【思路指引】（1）根据题意求得，进而求得直线的方程，令，即可求解；（2）设，根据，得到，联立方程组，求得，进而求得的值；（3）按照直线斜率是否为0讨论，设直线的方程为，联立方程组求得，设，结合向量的数量积的公式，化简得到，从而得到，求得，即可得到答案.(1)解：由椭圆，可得，则，所以，又因为直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，即.(2)解：设，可得，因为，即，整理得，由且，解得，即，又由，所以直线的方程为，令，解得，即.(3)解：当直线l斜率不为0时，设直线的方程为，，，联立方程组，整理得，则，且，设，可得，则，令，可得，解得，此时点，；当直线斜率为0时，直线的方程为，，若点，则成立；所以存在定点，使得是一个确定的常数25．(2023·上海杨浦·一模）如图，椭圆的左､右焦点分别为､，过右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于M､N两点，动点P､Q分别在直线MN与椭圆C上.已知，的周长为.(1)求椭圆C的方程；(2)若线段PQ的中点在y轴上，求三角形的面积；(3)是否存在以､为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上？若存在，求出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，说明理由.【标准答案】(1)；(2)；(3)存在，且点坐标为,.【思路指引】（1）的周长是，求得，由焦距得，然后求得得椭圆方程；（2）线段PQ的中点在y轴上，得点横坐标，代入椭圆方程得点纵坐标，此时轴，易得其面积；（3）假设存在以､为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，设，，，由平行四边形对角线互相平分把点坐标用点坐标表示，然后把坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出的关系，结合起来可得或，再分别代入求得，得结论．(1)由已知，所以，，从而，椭圆方程为；(2)显然，线段PQ的中点在y轴上，则，轴，，，所以；(3)假设存在以､为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，设，，，，因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，，都在椭圆上，，变形得①，又，所以，即，②，②代入①得，或，时，，，此时与重合，点坐标为；时，（舍去），，点坐标为．所以存在满足题意的点，其坐标为,.【名师指路】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆中的存在性命题．解题方法是假设存在，设出点的坐标，由平行四边形求出点坐标，然后把的坐标全都代入椭圆方程，再由垂直得向量的数量积为0，得出的关系，从而达到求解的目的．本题考查学生的逻辑思维能力，运算求解能力，属于难题．26．(2023·上海金山·一模）已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.(1)当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；(2)当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；(3)设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【标准答案】(1)(2)或(3)1【思路指引】（1）先得到直线PQ的方程为：，由得到Q的坐标求解； （2）设直线PQ的方程为，由，结合韦达定理求得，再由求解.（3）设直线PQ的方程为，由，得到，，有，再根据，，得到求解.(1)解：因为直线PQ的倾斜角为，且，所以直线PQ的方程为：，由，得，所以直线OQ的斜率是；(2)易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，由，得，设，则，所以，所以，解得，即，所以直线PQ的方程为或，由，得；由，得；(3)易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，由，得，设，则，所以，因为，，所以，所以，.27．(2023·上海市建平中学高二月考）给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；②当时，求的面积【标准答案】(1)(2)①；②；【思路指引】（1）根据a、b、c即可求出椭圆方程.(2)根据弦长，即可求得与的关系式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，即可求解.(1)由椭圆的离心率，解得所以椭圆E的方程(2)①“伴随圆”的方程为，由，得圆心O到CD的距离为由，整理得②设，当时，，由椭圆的对称性得当时，所得的面积相等，不妨令,由，得，由韦达定理得，点O到直线l的距离为，；28．(2023·上海崇明·一模）如图，已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上位于第一象限的点，M，N是轴上的两个动点(点位于轴上方)，满足且，线段PN交轴于点.(1)若，求点的坐标；(2)若四边形为矩形，求点的坐标；(3)求证:为定值.【标准答案】(1)(2)(3)证明见解析【思路指引】（1）结合椭圆的定义求得点的坐标.（2）利用向量垂直列方程，化简求得点的坐标.（3）利用向量垂直列方程，化简求得为定值.(1)椭圆，，，，设，且在第一象限，，.则.(2)设，由于，所以.①，由于，所以②，由于四边形为矩形，，所以③，由于四边形为矩形，，所以④，③-④并化简得，，由于，所以，代入②得：，，代入③得：，由于，故解得，所以.(3)令（），由①②得，，，将代入得，，，，，由于，所以.所以为定值.【名师指路】本小题破题关键在于利用向量运算表示垂直，构建各个量之间的等量关系式，进而化简得出题目的所求.