(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题04空间位置关系的向量证明常考点专练(原卷版+解析)

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专题04 空间位置关系的向量证明常考点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（ ）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且2．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（ ）A． B． C． D．3．已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱、的中点，点P为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点P的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．4．如图，在三棱锥中，平面，，，．以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（ ）．A．点P的坐标为 B．C．可能为 D．5．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）6．如图，在正四面体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，则（ ）A．直线与垂直，直线平面B．直线与垂直，直线与平面相交C．直线与异面且不垂直，直线平面D．直线与异面且不垂直，直线与平面相交7．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内8．如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）A．时，平面平面B．时，平面平面C．面积最大时，D．面积最小时，9．已知正方体是直线上一点，（ ）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线平面D．若，则直线平面10．在正三棱柱中，，点满足，其中，则（ ）A．当时，△的周长为定值B．当时，三棱锥的体积不是定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面二、填空题11．如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：①长度的最小值为；②当时，与相交；③始终与平面平行；④当时，为直二面角．正确的序号是__________．12．如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．13．下列命题中：①若分别是平面α，β的法向量且α⊥β⇔＝0；②若是平面α的法向量且向量与α共面，则；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确命题的序号是________．14．已知边长为1的正方体，M为BC中点，N为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最小值为___________.15．如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD，BF//CE，且AB=CE=3， BF=2，取AB的中点G，点H为线段CE上的一动点.①当CH=1时，HG//平面ADF；②直线CD与AE所成角的正切值为；③存在点H使GH⊥DF；④AF的中点到平面ABE的距离为.则以上说法正确的序号是___________.16．如图，在菱形中，，将沿折起，使点D翻折到位置，连，直线与平面所成的角为22.5°，如图所示，若E为中点，过C作平面的垂线l，在直线上取一点F，使平面，则的长为__________．17．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．18．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.19．若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为，α的法向量为，则实数t的值为______．20．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________．三、解答题21．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：(1)；(2)平面；(3)平面⊥平面.22．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，.点在上，且平面.(1)证明：；(2)求的值；(3)求点到平面的距离.23．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点.(1)求证：；(2)求线段的长.24．如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.(1)求证：，，，四点共面；(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.25．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．(1)求证：平面；(2)设直线与平面交于，求证：．专题04 空间位置关系的向量证明常考点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（ ）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且【标准答案】C【思路指引】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断.【详解详析】对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；对于C，，，且，则，故C正确；对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误.故选：C.2．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】建立空间直角坐标系，利用向量法表示点坐标满足的关系式，进而求得长度的取值范围.【详解详析】建立如图所示空间直角坐标系，依题意，设平面的法向量为，则，故可设，设，，,，由于平面，所以，则，，，.函数的开口向上，对称轴为，所以在上递减，在上递增.，，，所以长度的取值范围是.故选：B3．已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱、的中点，点P为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点P的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，结合空间向量找出点P的轨迹，即可求解.【详解详析】根据题意，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设点，，，设平面的法向量为，由，取，可得，，由题意可知，平面，则，令，可得；令，可得.易知点P的轨迹交线段于点，交线段的中点，因此点P的轨迹长度为.故选：C.4．如图，在三棱锥中，平面，，，．以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（ ）．A．点P的坐标为 B．C．可能为 D．【标准答案】C【思路指引】根据空间直角坐标系，写出点坐标，，，，分别计算即可求值.【详解详析】建立空间直角坐标系如图：由题意可得，，，，所以，.设，则，取，可得.因为，，，所以平面，因为平面所以平面平面，所以，所以.综上所述，A，B，D错，C正确.故选：C5．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）【标准答案】B【思路指引】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．【详解详析】解：设正方体的棱长为2，则，，∴，设向量是平面的法向量，则取，得，则是平面的一个法向量，结合其他选项，只需和共线即可，检验可知，ACD选项均不与共线.所以能作为平面的法向量只有选项B故选：B．6．如图，在正四面体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，则（ ）A．直线与垂直，直线平面B．直线与垂直，直线与平面相交C．直线与异面且不垂直，直线平面D．直线与异面且不垂直，直线与平面相交【标准答案】C【思路指引】将正四面体补成正方体，设，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解详析】将正四面体补成正方体，设，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、.，，则，结合图形可知，直线与异面且不垂直，设平面的法向量为，，，由，取，可得，因为，故，则，平面，故平面，故选：C.7．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内【标准答案】C【思路指引】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案.【详解详析】解：对于A选项，，所以，故或，故A选项错误；对于B选项，，所以，故或，故B选项错误；对于C选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面与所有坐标轴相交，故正确；对于D选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点与平面关系，故错误.故选：C8．如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）A．时，平面平面B．时，平面平面C．面积最大时，D．面积最小时，【标准答案】D【思路指引】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，取线段的中点，求出平面的法向量，利用空间向量法可判断AB选项的正误；分析可知，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可判断CD选项的正误.【详解详析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、、、，，，所以，，，线段的中点为，，所以，，设平面的法向量为，则，取，则.对于A选项，设平面的法向量为，，，则，取，可得，若平面平面，则，则，解得，A对；对于B选项，设平面的法向量为，，，则，取，可得，若平面平面，则，即，解得，B对；对于CD选项，，则，故，因为.因为，当时，取最小值，则的面积最小，D错，当时，取最大值，则的面积最大，C对.故选：D.9．已知正方体是直线上一点，（ ）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线平面D．若，则直线平面【标准答案】A【思路指引】以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系后，求出相关直线所在的向量及平面的法向量，通过向量的数量积即可求解.【详解详析】以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，当时，，，设平面的一个法向量为，则，可取，则，从而可知直线平面，故选项A正确，B不正确.同理可取平面的一个法向量，若时，，所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；若时，，所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确.故选：A,10．在正三棱柱中，，点满足，其中，则（ ）A．当时，△的周长为定值B．当时，三棱锥的体积不是定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面【标准答案】D【思路指引】判断当时在线段上，分别计算点为两个特殊点时的周长，即可判断A；当时在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断B；当时，取线段，的中点分别为，，连结，则在线段上，分别取在，处，得到均满足，即可判断C；当时，取的中，的中点，则在线的上，证明当在点处时，平面，利用过定与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断D．【详解详析】A：当时，，即，所以，故在线段上，此时△的周长为，当为的中点时，△的周长为，当在点处时，△的周长为，故周长不为定值，故错误；B：当时，，即，所以，故在线段上，又，面，面，则面，∴直线上的点到平面的距离相等，又△的面积为定值，∴三棱锥的体积为定值，故错误；C：当时，取线段，的中点分别为，，连结，由，即，所以，则在线段上，当在处时，，，又，则平面，又平面，所以，即，同理，当在处，，故错误；D：当时，取的中点，的中点，由，即，所以，则在线的上，当在点处时，取的中点，连结，，由正三棱柱的性质知：面，又面，所以，在正方形中，，又，、面，故面，又面，所以，在正方体形中，又，、面，∴平面，过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点，使得平面，故正确．故选：D．【名师指路】关键点点睛：根据各选项给定的参数值，结合题设向量的线性关系判断的位置，再由三棱锥的体积公式、线面垂直的判定及性质判断各项的正误.二、填空题11．如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：①长度的最小值为；②当时，与相交；③始终与平面平行；④当时，为直二面角．正确的序号是__________．【标准答案】①③【思路指引】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式、二次函数的基本性质可判断①的正误，证明、、不共面可判断②的正误，利用空间向量法可判断③的正误，利用二面角的定义可判断④的正误.【详解详析】因为平面平面，平面平面，，平面，平面，因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、、、、.对于①，，当且仅当时，等号成立，①正确；对于②，当时，，，，，，设，即，该方程组无解，所以，②错误；对于③，、.，平面的一个法向量为，，则，平面，平面，③正确；对于④，当时，、.设平面的法向量为，，，由，得，取，可得，设平面的法向量为，，，由，得，取，可得，所以，，此时，二面角不是直二面角，④错误.故答案为：①③.【名师指路】结论点睛：利用空间向量法处理平行与垂直问题：设直线、的方向向量分别为，，平面、的法向量分别为，.（1），，；（2）；（3），；（4）；（5），，；（6）.12．如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．【标准答案】【思路指引】以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体边长为2,用向量法求解.【详解详析】如图所示,以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.设正方体边长为2,可得设，可得可得,可得.设平面的一个法向量，则有，即不妨令x=-2，则.因为平面，所以，解得：，即.故答案为：.13．下列命题中：①若分别是平面α，β的法向量且α⊥β⇔＝0；②若是平面α的法向量且向量与α共面，则；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确命题的序号是________．【标准答案】①②③【思路指引】根据平面法向量的定义即可判断各选项.【详解详析】若两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然，所以①③正确；是平面α的法向量，向量与α共面，，故②正确.故答案为：①②③14．已知边长为1的正方体，M为BC中点，N为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最小值为___________.【标准答案】【思路指引】以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用垂直关系明确动点坐标特点，代入体积公式可得最值.【详解详析】以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设 ∴，又，∴，即，∴，∴∴.故答案为：15．如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD，BF//CE，且AB=CE=3， BF=2，取AB的中点G，点H为线段CE上的一动点.①当CH=1时，HG//平面ADF；②直线CD与AE所成角的正切值为；③存在点H使GH⊥DF；④AF的中点到平面ABE的距离为.则以上说法正确的序号是___________.【标准答案】①③④【思路指引】对①，取的中点，进而证明平面平面，然后得到答案；对②，由AB∥CD，则∠EAB（或其补角）是所求角，进而解得答案；对③，建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的数量积得到答案；对④，根据题意，所求距离为到平面的距离的一半，进而用等体积法求得答案.【详解详析】对①，如图1，取的中点，连接由题意，，即四边形BCHT是平行四边形，所以TH∥BC，而BC∥AD，所以TH∥AD，又G,T分别为AB,FB的中点，所以GT∥AF，而，，所以平面平面，故平面，故①正确；对③，如图2，因为AB∥CD，所以直线与所成角即为直线与所成角，连接，则∠EAB（或其补角）是所求角，因为EC⊥平面ABCD，所以EC⊥AB，又AB⊥BC，且，所以AB⊥平面BCEF，则AB⊥BE，所以，故②错误；对于③，以C为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立如图3的空间直角坐标系，则,设，所以，，若，所以，解得，因为，符合题意，故③正确；对④，如图4，取的中点为，则到平面的距离即为到平面的距离的一半，设所求距离为d，由勾股定理易得：,则，,所以.即到平面的距离为，故④正确.故答案为：①③④.16．如图，在菱形中，，将沿折起，使点D翻折到位置，连，直线与平面所成的角为22.5°，如图所示，若E为中点，过C作平面的垂线l，在直线上取一点F，使平面，则的长为__________．【标准答案】##0.5【思路指引】令，根据给定条件证得平面平面ABC，作OzBO，分别以射线OA，OB，Oz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算作答.【详解详析】在菱形中，令，如图：因，平面，则平面，平面ABC，即有平面平面ABC，在平面内过O作OzBO，而平面平面ABC=BO，于是得Oz平面ABC，以点O为原点，分别以射线OA，OB，Oz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，过作交BO于M，则平面ABC，直线与平面ABC所成角为，即，而，则，因此，，，令平面的一个法向量，则，令，得，因直线l过C且垂直于平面，点F在直线l上，设，于是得，又平面，则，解得，所以的长为.故答案为：17．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．【标准答案】2【思路指引】证明平面得到，故与以为直径的圆相切，计算半径得到答案.【详解详析】PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故，PQ⊥QD，，故平面，平面，故，在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，即与以为直径的圆相切，，故间的距离为半径，即为1，故.故答案为：218．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.【标准答案】##【思路指引】构建空间直角坐标系，由已知确定相关点的坐标并设，进而得到、、的坐标，根据线面垂直有求参数t，即可知线段的长.【详解详析】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由题意，，，，，，设，，∴，，，平面，∴，即，，解得线段的长为故答案为：19．若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为，α的法向量为，则实数t的值为______．【标准答案】【思路指引】根据直线l的方向向量与平面α的法向量平行，从而可求出t的值.【详解详析】因为直线l垂直于平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行，即，解得.故答案为：.20．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________．【标准答案】##【思路指引】连接EO，证明OB，OD，OE两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【详解详析】连接EO，因，则，而平面，且平面平面，平面平面，于是得平面，又平面，平面，即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形，以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，因，，则，则，设，，，设平面BMN的一个法向量，则，令，得，设平面ABE的一个法向量，则，令，得，因为平面平面ABE，则有，即，解得，所以线段AN的长为．故答案为：三、解答题21．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：(1)；(2)平面；(3)平面⊥平面.【标准答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【思路指引】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，把坐标写出，两向量作数量积为零，即可得到垂直；（2）取的中点，设为，连接，证出四边形为平行四边形，即得出，利用线面平行的判定定理得到平面.（3）利用，（线线垂直）推出面（线面垂直），由于面，再由面面垂直的判定定理推出平面⊥平面.(1)证明：　依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，，可得.由为棱的中点，得.(1)向量，故. 所以.(2)取的中点，设为，连接， 分别是的中点，且，由题意知，，且，即四边形为平行四边形，即，面面，平面. (3)底面，底面，，，，，面，，面，面， 平面⊥平面.22．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，.点在上，且平面.(1)证明：；(2)求的值；(3)求点到平面的距离.【标准答案】(1)证明见解析(2)(3)【思路指引】（1）根据平面，，平面，得到，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）取中点，连接，由（1）得四边形为菱形，进而得到，则两两互相垂直，建立空间直角坐标系，设，其中，由求解；（3）由（2）知，再求得平面的一个法向量为，由求解.(1)解：因为平面，平面ACM，所以.因为平面，平面ABCD，所以，又，所以平面. 又平面PBD，所以.(2)取中点，连接.由（1）得四边形为菱形，所以.因为，所以.因为两两互相垂直，以为原点， 的方向分别为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，.所以.设，，其中.所以.因为平面，所以，即.所以.解得，即.(3)由（2）.因为，.设平面的一个法向量，则，即令，则，于是.所以点到平面的距离为.23．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点.(1)求证：；(2)求线段的长.【标准答案】(1)证明见解析.(2).【思路指引】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示可得证；（2）由中点坐标公式求得点M的坐标，再计算对应向量的模可得答案.(1)解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1，0，1)，(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，所以(1，1，1)，(1，0，1).因为，所以.(2)解：因为点是的中点，由（1）可知(，1，)，所以(，1，)，从而.24．如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.(1)求证：，，，四点共面；(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.【标准答案】(1)证明见解析(2)存在，【思路指引】（1）连接，，取的中点为M，连接，ME，根据E为的中点， F为的中点，分别得到，，从而有，再由平面的基本性质证明； （2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，分别求得平面BEF的一个法向量和平面GEF的一个法向量，根据平面平面BEF，由求解.(1)证明：如图所示：连接，，取的中点为M，连接，ME，因为E为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以B，E，，F四点共面；(2)以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，由已知，，，则，，，设平面BEF的一个法向量为，则，即，取，则；设平面GEF的一个法向量为，则，即，取，则；因为平面平面BEF，所以，所以，所以.所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.25．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．(1)求证：平面；(2)设直线与平面交于，求证：．【标准答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【思路指引】（1）以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量可得答案；（2）连接相相交于点，可得的交点就是，由 ，可得答案．(1)以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，设平面的法向量为，所以即，令，则，则，所以，即平面.(2)连接相交于点，则点是中点，连接，因为平面，故且平面，而平面，故平面，故平面平面，所以的交点就是，连接，又是的中点，所以，，所以，所以，即.