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(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题05解析几何之点到直线的距离重难点专练(原卷版+解析)
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专题05 ：解析几何之点到直线的距离重难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市控江中学高二期中）点关于直线的对称点的坐标是（ ）A． B． C． D．2．曲线关于直线对称的曲线的方程为A． B．C． D．3．(2023·上海·华师大二附中高二开学考试）点P(-1，-1)到直线的距离为（ ）A．0 B．1 C． D．24．在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．，，为直角三角形的三边长，且为斜边，点在直线上，则的最小值是（ ）．A．1 B．2 C．4 D．86．若，到直线的距离分别为，，则，的大小关系是（ ）．A． B． C． D．7．(2023·上海交大附中高二开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）A． B．6 C． D．8．直线关于直线对称的直线方程是（ ）A． B． C． D．9．曲线关于直线的对称曲线的方程是（ ）A． B． C． D．10．(2023·上海·高三专题练习）若动点､分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）A． B． C． D．二、填空题11．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为______________.12．(2023·上海市奉贤中学高三期中）点到直线距离的最大值为___________.13．已知实数满足，则的最小值为________________14．已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.15．在平面直角坐标系中，已知点、、的坐标分别为、、.该平面上的动点满足.已知动点的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）.16．(2023·上海市大同中学高三月考）若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式，则实数t的所有可能的值为___________.17．(2023-2021年上海市控江中学高二期中）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最小值为______．18．设（，N（为不同的两点，直线l：，=,下列命题正确中正确命题的序号是_______（1）若，则直线l与线段MN相交；（2）若=-1，则直线l经过线段MN的中点；（3）存在，使点M在直线l上；（4）存在，使过M、N的直线与直线l重合.19．直线分别交轴于两点，点在直线上，则的最小值是________.20．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________三、解答题21．在中，已知、．（1）若点的坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面积之比为，求直线的方程；（2）若是一个动点，且的面积为，试求关于的函数关系式．22．已知直线及点．（1）求点关于直线对称的点的坐标；（2）求过点且与直线夹角为的直线的方程．23．在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使点A落在直线上，记为E点，则O，E关于折痕对称.设折痕所在直线的斜率为k.（1）若，试求折痕所在直线的方程；（2）当时（此时折痕与线段相交），求折痕的长度的最大值.24．已知三条直线：（），，，且与间的距离是，（1）求a的值；（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.25．已知矩形的四个项点，，和，光线从边（不含）上一点沿与的夹角的方向射到边上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．（1）若，，求直线与的距离；（2）设的坐标为，若，且，求的取值范围；（3）设光线第次反射时的入射点为．证明：若，则必按的顺序循环出现在矩形的边上，并求由直线，，，围成的四边形面积的取值范围．26．已知点，直线（1）求点M关于点对称点N的坐标（2）求点M关于直线的对称点Q的坐标.（3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由.27．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.28．（1）已知直线l过点，它的一个方向向量为．①求直线l的方程；②一组直线，，，，，都与直线l平行，它们到直线l的距离依次为d，，，，，（），且直线恰好经过原点，试用n表示d的关系式，并求出直线的方程（用n、i表示）；（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线，，，，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点；②，其中是直线的斜率，和分别为直线在x轴和y轴上的截距；③.29．如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.（1）若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；（2）若，点的坐标为，求向量与的夹角；（3）若，求过点的直线的方程，使得原点到直线的距离最大.30．已知点和点关于直线：对称．（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 专题05 ：解析几何之点到直线的距离重难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市控江中学高二期中）点关于直线的对称点的坐标是（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解．【详解详析】设对称点为，则，解得．即对称点为．故选：B．2．曲线关于直线对称的曲线的方程为A． B．C． D．【标准答案】C【思路指引】设曲线上的点及其对称点，根据两点关于直线对称可构造方程组，利用表示出，代入可求得结果.【详解详析】设曲线上的点关于对称的点为，解得： 即曲线的方程为故选【名师指路】本题考查关于直线对称的曲线方程的求解问题，关键是能够将问题转化为点关于直线对称点的求解问题，需明确两点关于直线对称有以下关系成立：（1）两点连线中点在对称轴上；（2）两点连线与对称轴垂直；（3）两点到对称轴的距离相等.3．(2023·上海·华师大二附中高二开学考试）点P(-1，-1)到直线的距离为（ ）A．0 B．1 C． D．2【标准答案】B【思路指引】由点到直线距离公式求解.【详解详析】由点到直线的距离公式可得，，故选：B4．在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【标准答案】B【详解详析】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，所以，，解之得k＝0或，所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B.5．，，为直角三角形的三边长，且为斜边，点在直线上，则的最小值是（ ）．A．1 B．2 C．4 D．8【标准答案】C【思路指引】首先可根据题意得出，然后根据两点间距离公式可知表示原点到点的距离，从而得出当原点到点的线段与直线垂直时最小，最后根据点到直线距离公式即可得出结果.【详解详析】因为、、为直角三角形的三边长，且为斜边，所以，因为点在直线上，表示原点到点的距离，所以当原点到点的线段与直线垂直时，最小，因为原点到直线的距离为，所以最小值为，此时，故选：C.【名师指路】本题考查点到直线距离公式的应用，能否明确表示原点到点的距离是解决本题的关键，考查学生对两点间距离公式的理解，考查推理能力，是中档题.6．若，到直线的距离分别为，，则，的大小关系是（ ）．A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】直接利用点到直线的距离公式结合三角函数有界性计算得到答案.【详解详析】，，，故.故选：A.【名师指路】本题考查了点到直线的距离公式，同角三角函数关系，三角函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．(2023·上海交大附中高二开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）A． B．6 C． D．【标准答案】C【思路指引】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.【详解详析】直线AB的方程为：，如图所示，点关于x轴的对称点，设点关于直线AB的对称点，如图， 则，且中点在直线上，即联立解得，即，所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：．故选：C.【名师指路】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．8．直线关于直线对称的直线方程是（ ）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】所求直线的斜率与直线的斜率互为相反数，且在处有公共点，求解即可．【详解详析】直线与直线的交点为，则所求直线过点,因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为A.【名师指路】本题考查了直线的斜率，直线的方程，直线关于直线的对称问题，属于基础题．9．曲线关于直线的对称曲线的方程是（ ）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】设所求曲线上任意一点A(x,y),求A关于直线的对称点,将代入已知曲线即可得出所求曲线.【详解详析】设所求曲线上任意一点A(x,y), 关于直线的对称点为，因为在已知曲线上，即，所以有故选D【名师指路】本题主要考查了已知曲线关于直线对称的曲线的求解，点关于直线的对称点的求法，属于中档题.10．(2023·上海·高三专题练习）若动点､分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】点的轨迹是两直线与之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得．【详解详析】∵在直线上，在直线上，是中点，∴点在到两直线与距离相等的平行线上，直线和，因此点所在直线为，则的最小值为．故选：C．【名师指路】本题考查点到直线的距离公式，解题关键是确定点的轨迹．二、填空题11．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为______________.【标准答案】【思路指引】线段的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出．【详解详析】解：原点到直线的距离，故的最小值为，故答案为：．【名师指路】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题．12．(2023·上海市奉贤中学高三期中）点到直线距离的最大值为___________.【标准答案】【思路指引】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.【详解详析】解：直线恒过点，则点到直线的距离的最大值为点到点的距离，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.13．已知实数满足，则的最小值为________________【标准答案】或【思路指引】化简方程为，即或，结合原点到直线的距离，即可求解.【详解详析】由，可得，即或，则原点O到直线的距离的平方为；原点O到直线的距离的平方为，所以的最小值为原点O到直线的距离的平方为．故答案为：或．14．已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.【标准答案】【思路指引】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接交与点，连接分别交为点，则之间即为点的变动范围．再求出直线的斜率即可．【详解详析】∵，∴直线方程为，直线方程为,如图， 作关于的对称点，则，再作关于的对称点，则, 连接交与点，则直线方程为,∴，连接分别交为点， 则直线方程为，直线方程为， ∴，连接， 则之间即为点 的变动范围． ∵直线方程为，直线的斜率为 ∴斜率的范围为 故答案为：.【名师指路】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.15．在平面直角坐标系中，已知点、、的坐标分别为、、.该平面上的动点满足.已知动点的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）.【标准答案】【思路指引】推导出，则是等腰三角形，的中点坐标为，的对称轴方程为，由此可得出该图形的一条对称轴方程.【详解详析】点、、的坐标分别为、、，，，则，是等腰三角形，线段的中点坐标为，的对称轴方程为.所在平面上的动点满足，且动点的轨迹为轴对称图形，设点关于直线的对称点为点，则，，，所以，，则动点在点的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为.故答案为：.【名师指路】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题.16．(2023·上海市大同中学高三月考）若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式，则实数t的所有可能的值为___________.【标准答案】【思路指引】整理得到，看成恰有三条直线满足：到直线（不过原点）的距离相等，再对讨论，可得所求值.【详解详析】由己知可得，整理可得，看成恰有三条直线满足到直线（不过原点）的距离相等，，（1）当，直线l为的垂直平分线，符合题意.与直线平行的两条直线为和；（2）当，有4条直线l会使A，B到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线经过原点，会作为增根舍去.设A到直线l的距离为d，若，若直线l过的中点，A到直线l的距离为，其一方程为，故舍去.若过原点且以为方向向量，到直线的距离为，其一方程为，故舍去.所以时，有2条直线符合条件.而当时，有4条；综上可得，满足题意的t为故答案为：.17．(2023-2021年上海市控江中学高二期中）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最小值为______．【标准答案】1【思路点拨】利用点到直线的距离公式可得：，通过分类讨论可知：点是如图所示的正方形的4条边．即可得到最小值．【精准解析】动点到两直线和的距离之和为，，即，分为以下4种情况：或或或．可知点是如图所示的正方形的4条边，而表示原点到点的距离，结合图像可知：当取点或时，取得最小值．的最小值为.故答案为：．【名师指导】本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式，解题的关键是通过分类讨论，可得到点是一个正方形的四个边长，再利用的几何意义求最值，考查了学生的分类讨论思想，及数形结合思想，属于中档题．18．设（，N（为不同的两点，直线l：，=,下列命题正确中正确命题的序号是_______（1）若，则直线l与线段MN相交；（2）若=-1，则直线l经过线段MN的中点；（3）存在，使点M在直线l上；（4）存在，使过M、N的直线与直线l重合.【标准答案】（2）（3）【思路指引】由点与直线的位置关系，设直线方程为： ，（），，当，则点在直线的上方，当，则点在直线上，当，则点在直线的下方，再结合点到直线的距离公式运算可以判断（2）（3）正确，（1）（4）错误.【详解详析】解：对于命题（1），因为，所以>0,由点与直线的位置关系可得，（，N（在直线同侧，即直线l与线段MN不相交，即命题（1）错误；对于命题（2），因为,所以（，N（在直线两侧，由点到直线的距离公式有（到直线l：的距离为，N（到直线l：的距离为，则，即直线l经过线段MN的中点，即命题（2）正确；对于命题（3），当时，，即点M在直线l上，即命题（3）正确；对于命题（4），，则点不在直线l上，即过M、N的直线与直线l不重合，即命题（4）错误；故答案为（2）（3）.【名师指路】本题考查了点到直线的距离公式及点与直线的位置关系，属基础题.19．直线分别交轴于两点，点在直线上，则的最小值是________.【标准答案】【思路指引】先计算得到，计算关于直线对称的点为，利用得到答案.【详解详析】直线分别交轴于两点，则 设关于直线对称的点为则 解得 ，当三点共线时等号成立故答案为：【名师指路】本题考查了利用对称求距离的最值问题，找出对称点是解题的关键.20．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________【标准答案】，，【思路指引】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解【详解详析】由已知得，明显地，，整理得，又由，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等；由，（1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和（2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点到的距离为，①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合；②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合；综上，满足题意的实数为，，；故答案为：，，【名师指路】关键点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键，本题难度属于困难三、解答题21．在中，已知、．（1）若点的坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面积之比为，求直线的方程；（2）若是一个动点，且的面积为，试求关于的函数关系式．【标准答案】（1）；（2）或.【思路指引】（1）作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；（2）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出的值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.【详解详析】（1），即，，且，，设点的坐标为，，，，解得，.直线的斜率为，，则直线的斜率为.因此，直线的方程为，即；（2）直线的方程为，即，，设点到直线的距离为，则的面积为，得，另一方面，由点到直线的距离公式得，，解得或.因此，关于的函数关系式为或.【名师指路】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.22．已知直线及点．（1）求点关于直线对称的点的坐标；（2）求过点且与直线夹角为的直线的方程．【标准答案】（1）；（2）和．【思路指引】(1)设,再根据直线与垂直,且的中点在直线上列式求解即可.(2)利用两直线夹角的斜率公式求解直线的斜率,再利用点斜式求解直线的方程即可.【详解详析】(1) 设,因为关于直线对称,故 ,即 ,解得,故.(2)设直线的倾斜角为,.则直线的倾斜角为或.当直线的倾斜角为时, 的斜率,故直线的方程为,化简得.当直线的倾斜角为时, 的斜率,故直线的方程为,化简得.所以直线的方程为和.【名师指路】本题主要考查了求点关于直线对称点的坐标,同时也考查了求与已知直线呈一定夹角的直线的方程.属于中档题.23．在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使点A落在直线上，记为E点，则O，E关于折痕对称.设折痕所在直线的斜率为k.（1）若，试求折痕所在直线的方程；（2）当时（此时折痕与线段相交），求折痕的长度的最大值.【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）设折痕所在直线的方程为，，根据、关于直线对称列式可求出结果；（2）设折痕所在直线的方程为，，当时，折痕的长度为；当时，根据、关于直线对称可求出折痕所在直线的方程为，求出折痕的两个端点的坐标，根据两点间的距离公式求出折痕的长度，再根据可求出最大值.【详解详析】（1）当时，折痕所在直线的方程为，依题意设，则、关于直线对称，所以，解得，所以折痕所在直线的方程为.（2）设折痕所在直线的方程为，，当时，折痕所在直线的方程为，此时折痕的长度为，当时，根据、关于直线对称可得，解得，则折痕所在直线的方程为，令，得，则折痕与线段的交点为，令，得 ，此时折痕的另一个端点在轴上，令，得，则折痕的另一个端点为，所以折痕的长度为，因为，所以，所以，所以，又，所以折痕的长度的最大值为.【名师指路】关键点点睛：（1）中，根据、关于直线对称列式求解是解题关键；（2）中，正确求出折痕的两个端点的坐标是解题关键.24．已知三条直线：（），，，且与间的距离是，（1）求a的值；（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.【标准答案】（1）3；（2）存在点.【思路指引】（1）由与间的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值；（2）设，由点到直线的距离公式，我们可得到一个关于，的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．【详解详析】（1），与间的距离为，，；（2）设点，由条件②知，点在直线上，且，或，或，由条件③知，，，即或，因为点在第一象限，，（舍），或，解得（舍）， ， 所以存在点同时满足①②③.25．已知矩形的四个项点，，和，光线从边（不含）上一点沿与的夹角的方向射到边上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．（1）若，，求直线与的距离；（2）设的坐标为，若，且，求的取值范围；（3）设光线第次反射时的入射点为．证明：若，则必按的顺序循环出现在矩形的边上，并求由直线，，，围成的四边形面积的取值范围．【标准答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，四边形面积的取值范围.【思路指引】（1）根据入射角等于反射角，求得直线和直线的方程，再根据两条平行线间的距离公式，求得两条直线的距离.（2）设，则，依次求得，由此求得的表达式，根据求得的取值范围，也即求得的取值范围，进而求得的取值范围.（3）先通过计算证明证得四边形为平行四边形，进而证得光线沿平行四边形从的顺序循环出现在矩形的边上.求得四边形面积的表达式，由此求得当四边形为菱形时，面积取得最大值，并求得这个最大值.【详解详析】（1）依题意可知的斜率为，经过，所以直线的方程为，由入射角等于反射角可知：，所以直线的斜率为.由于，所以，，所以.由入射角等于反射角可知：，所以，即,所以，所以直线的方程为，所以直线与的距离为.（2）设，由题意可知，所以.所以，又，所以.而，所以，又，所以，即.因为，所以，解得，所以，即.（3）若，则，.因为不与重合，，设，则，所以，，所以四边形为平行四边形，且与重合.当，光线沿平行四边形从的顺序循环出现在矩形的边上，由于，所以平行四边形的面积，当且仅当，即四边形是菱形时，等号成立，此时面积为.所以直线，，，围成的四边形面积的取值范围是.【名师指路】本小题主要考查直线方程的求解，考查两条平行线间的距离公式，考查反三角函数，考查四边形面积的取值范围的求法，考查分析与推理的能力，综合性很强，属于难题.26．已知点，直线（1）求点M关于点对称点N的坐标（2）求点M关于直线的对称点Q的坐标.（3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由.【标准答案】（1）（7，0）；（2）（3，4）；（3）不同，详见解析．【思路指引】（1）由是的中点可求得点坐标；（2）由与直线垂直且的中点在直线上可求得点坐标；（3）设出点坐标为，表示出和，然后求最小值即可得利结论．【详解详析】（1）设，则，则，∴．（2）设，则，解得，即．（3）两点坐标不相同．证明如下：由题意，设，则，显然当时，取得最小值，，此时由（2），当是与直线的交点时，等号成立，，直线的方程为，代入的方程解得，，即．两个点不相同．【名师指路】本题考查对称问题和与直线有关的最值问题．点M关于点对称点N，则是线段的中点，点M关于直线的对称点Q，则，的中点在直线上．在直线的同一侧，求直线上一点使最小，一般是求出点关于直线的对称点的坐标，而使最小的点就是与直线的交点．27．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.【标准答案】（1）；（2）或；（3）.【思路指引】（1）由可得直线的斜率，进而可得直线的方程； （2）设直线的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标； （3）设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变形后利用基本不等式求解．【详解详析】解：（1）由已知得，又，直线的方程； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或． 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得． 故所求为或； （3）设，其中， 故． 由于（等号成立的条件是）， 故．【名师指路】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高．28．（1）已知直线l过点，它的一个方向向量为．①求直线l的方程；②一组直线，，，，，都与直线l平行，它们到直线l的距离依次为d，，，，，（），且直线恰好经过原点，试用n表示d的关系式，并求出直线的方程（用n、i表示）；（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线，，，，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点；②，其中是直线的斜率，和分别为直线在x轴和y轴上的截距；③.【标准答案】（1）①；②，；（2）不存在.【思路指引】（1）根据直线的方向向量可得直线的斜率,结合点斜式即可求得直线方程;根据直线平行且过原点,可得直线的方程,由平行线间距离公式可得n与d的关系式,设出直线的方程,根据点到直线距离公式可求得直线方程.（2）假设存在这样的直线簇.先求得,的表达式,进而表示出.通过迭加法求得,即可证明当时,与不能成立.【详解详析】（1）①直线l方向向量为所以直线的斜率为 直线l过点,由点斜式方程可得即直线l的方程为：；②直线且经过原点,直线的方程为：由题意知直线到l的距离为,根据平行线间距离公式可得则设直线的方程为：由题意知：直线到直线l的距离为,所以直线的方程为：；（2）假设存在满足题意的直线簇．由①知的方程为：,,分别令,得,,由,即,,迭加得．由③知所有的同号,仅讨论的情形,由,所以显然,当时,与矛盾！故满足题意的直线簇不存在．【名师指路】本题考查了直线的方向向量与点斜式方程,点到直线距离公式的应用,直线方程的新定义应用,正确理解题目所给条件是关键,属于难题.29．如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.（1）若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；（2）若，点的坐标为，求向量与的夹角；（3）若，求过点的直线的方程，使得原点到直线的距离最大.【标准答案】（1）（2）（3）【思路指引】（1）设出P点的坐标，结合为单位向量，且与的夹角为，列式求解；（2）由题意求出，代入数量积求夹角公式得答案.（3）由题意得到A在直角坐标系和斜坐标系下坐标的关系，求出直角坐标系下使得原点O到直线l的距离最大的直线方程，转化为斜坐标系下的方程，即得解.【详解详析】（1）若，为单位向量，且与的夹角为，设，且代入，得（2）若，点的坐标为，则又设向量与的夹角为，则（3）若，点由，可得A在直角坐标系下得坐标为：因此过点且使得原点O到直线l的距离最大的直线方程为：代入：整理得：所以过点的直线的方程，使得原点到直线的距离最大的直线方程为：【名师指路】本题为坐标系新定义的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.30．已知点和点关于直线：对称．（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．【标准答案】（1）（2）或【思路指引】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程.【详解详析】解：设点则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即.（2）由条件可知：，的面积为2，则的高为，又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为.直线方程为，设，则有，即或 又，解得： 或 则直线为：或 【名师指路】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.
专题05 ：解析几何之点到直线的距离重难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市控江中学高二期中）点关于直线的对称点的坐标是（ ）A． B． C． D．2．曲线关于直线对称的曲线的方程为A． B．C． D．3．(2023·上海·华师大二附中高二开学考试）点P(-1，-1)到直线的距离为（ ）A．0 B．1 C． D．24．在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．，，为直角三角形的三边长，且为斜边，点在直线上，则的最小值是（ ）．A．1 B．2 C．4 D．86．若，到直线的距离分别为，，则，的大小关系是（ ）．A． B． C． D．7．(2023·上海交大附中高二开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）A． B．6 C． D．8．直线关于直线对称的直线方程是（ ）A． B． C． D．9．曲线关于直线的对称曲线的方程是（ ）A． B． C． D．10．(2023·上海·高三专题练习）若动点､分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）A． B． C． D．二、填空题11．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为______________.12．(2023·上海市奉贤中学高三期中）点到直线距离的最大值为___________.13．已知实数满足，则的最小值为________________14．已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.15．在平面直角坐标系中，已知点、、的坐标分别为、、.该平面上的动点满足.已知动点的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）.16．(2023·上海市大同中学高三月考）若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式，则实数t的所有可能的值为___________.17．(2023-2021年上海市控江中学高二期中）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最小值为______．18．设（，N（为不同的两点，直线l：，=,下列命题正确中正确命题的序号是_______（1）若，则直线l与线段MN相交；（2）若=-1，则直线l经过线段MN的中点；（3）存在，使点M在直线l上；（4）存在，使过M、N的直线与直线l重合.19．直线分别交轴于两点，点在直线上，则的最小值是________.20．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________三、解答题21．在中，已知、．（1）若点的坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面积之比为，求直线的方程；（2）若是一个动点，且的面积为，试求关于的函数关系式．22．已知直线及点．（1）求点关于直线对称的点的坐标；（2）求过点且与直线夹角为的直线的方程．23．在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使点A落在直线上，记为E点，则O，E关于折痕对称.设折痕所在直线的斜率为k.（1）若，试求折痕所在直线的方程；（2）当时（此时折痕与线段相交），求折痕的长度的最大值.24．已知三条直线：（），，，且与间的距离是，（1）求a的值；（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.25．已知矩形的四个项点，，和，光线从边（不含）上一点沿与的夹角的方向射到边上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．（1）若，，求直线与的距离；（2）设的坐标为，若，且，求的取值范围；（3）设光线第次反射时的入射点为．证明：若，则必按的顺序循环出现在矩形的边上，并求由直线，，，围成的四边形面积的取值范围．26．已知点，直线（1）求点M关于点对称点N的坐标（2）求点M关于直线的对称点Q的坐标.（3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由.27．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.28．（1）已知直线l过点，它的一个方向向量为．①求直线l的方程；②一组直线，，，，，都与直线l平行，它们到直线l的距离依次为d，，，，，（），且直线恰好经过原点，试用n表示d的关系式，并求出直线的方程（用n、i表示）；（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线，，，，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点；②，其中是直线的斜率，和分别为直线在x轴和y轴上的截距；③.29．如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.（1）若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；（2）若，点的坐标为，求向量与的夹角；（3）若，求过点的直线的方程，使得原点到直线的距离最大.30．已知点和点关于直线：对称．（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 专题05 ：解析几何之点到直线的距离重难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市控江中学高二期中）点关于直线的对称点的坐标是（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解．【详解详析】设对称点为，则，解得．即对称点为．故选：B．2．曲线关于直线对称的曲线的方程为A． B．C． D．【标准答案】C【思路指引】设曲线上的点及其对称点，根据两点关于直线对称可构造方程组，利用表示出，代入可求得结果.【详解详析】设曲线上的点关于对称的点为，解得： 即曲线的方程为故选【名师指路】本题考查关于直线对称的曲线方程的求解问题，关键是能够将问题转化为点关于直线对称点的求解问题，需明确两点关于直线对称有以下关系成立：（1）两点连线中点在对称轴上；（2）两点连线与对称轴垂直；（3）两点到对称轴的距离相等.3．(2023·上海·华师大二附中高二开学考试）点P(-1，-1)到直线的距离为（ ）A．0 B．1 C． D．2【标准答案】B【思路指引】由点到直线距离公式求解.【详解详析】由点到直线的距离公式可得，，故选：B4．在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【标准答案】B【详解详析】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，所以，，解之得k＝0或，所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B.5．，，为直角三角形的三边长，且为斜边，点在直线上，则的最小值是（ ）．A．1 B．2 C．4 D．8【标准答案】C【思路指引】首先可根据题意得出，然后根据两点间距离公式可知表示原点到点的距离，从而得出当原点到点的线段与直线垂直时最小，最后根据点到直线距离公式即可得出结果.【详解详析】因为、、为直角三角形的三边长，且为斜边，所以，因为点在直线上，表示原点到点的距离，所以当原点到点的线段与直线垂直时，最小，因为原点到直线的距离为，所以最小值为，此时，故选：C.【名师指路】本题考查点到直线距离公式的应用，能否明确表示原点到点的距离是解决本题的关键，考查学生对两点间距离公式的理解，考查推理能力，是中档题.6．若，到直线的距离分别为，，则，的大小关系是（ ）．A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】直接利用点到直线的距离公式结合三角函数有界性计算得到答案.【详解详析】，，，故.故选：A.【名师指路】本题考查了点到直线的距离公式，同角三角函数关系，三角函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．(2023·上海交大附中高二开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）A． B．6 C． D．【标准答案】C【思路指引】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.【详解详析】直线AB的方程为：，如图所示，点关于x轴的对称点，设点关于直线AB的对称点，如图， 则，且中点在直线上，即联立解得，即，所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：．故选：C.【名师指路】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．8．直线关于直线对称的直线方程是（ ）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】所求直线的斜率与直线的斜率互为相反数，且在处有公共点，求解即可．【详解详析】直线与直线的交点为，则所求直线过点,因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为A.【名师指路】本题考查了直线的斜率，直线的方程，直线关于直线的对称问题，属于基础题．9．曲线关于直线的对称曲线的方程是（ ）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】设所求曲线上任意一点A(x,y),求A关于直线的对称点,将代入已知曲线即可得出所求曲线.【详解详析】设所求曲线上任意一点A(x,y), 关于直线的对称点为，因为在已知曲线上，即，所以有故选D【名师指路】本题主要考查了已知曲线关于直线对称的曲线的求解，点关于直线的对称点的求法，属于中档题.10．(2023·上海·高三专题练习）若动点､分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】点的轨迹是两直线与之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得．【详解详析】∵在直线上，在直线上，是中点，∴点在到两直线与距离相等的平行线上，直线和，因此点所在直线为，则的最小值为．故选：C．【名师指路】本题考查点到直线的距离公式，解题关键是确定点的轨迹．二、填空题11．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为______________.【标准答案】【思路指引】线段的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出．【详解详析】解：原点到直线的距离，故的最小值为，故答案为：．【名师指路】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题．12．(2023·上海市奉贤中学高三期中）点到直线距离的最大值为___________.【标准答案】【思路指引】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.【详解详析】解：直线恒过点，则点到直线的距离的最大值为点到点的距离，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.13．已知实数满足，则的最小值为________________【标准答案】或【思路指引】化简方程为，即或，结合原点到直线的距离，即可求解.【详解详析】由，可得，即或，则原点O到直线的距离的平方为；原点O到直线的距离的平方为，所以的最小值为原点O到直线的距离的平方为．故答案为：或．14．已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.【标准答案】【思路指引】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接交与点，连接分别交为点，则之间即为点的变动范围．再求出直线的斜率即可．【详解详析】∵，∴直线方程为，直线方程为,如图， 作关于的对称点，则，再作关于的对称点，则, 连接交与点，则直线方程为,∴，连接分别交为点， 则直线方程为，直线方程为， ∴，连接， 则之间即为点 的变动范围． ∵直线方程为，直线的斜率为 ∴斜率的范围为 故答案为：.【名师指路】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.15．在平面直角坐标系中，已知点、、的坐标分别为、、.该平面上的动点满足.已知动点的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）.【标准答案】【思路指引】推导出，则是等腰三角形，的中点坐标为，的对称轴方程为，由此可得出该图形的一条对称轴方程.【详解详析】点、、的坐标分别为、、，，，则，是等腰三角形，线段的中点坐标为，的对称轴方程为.所在平面上的动点满足，且动点的轨迹为轴对称图形，设点关于直线的对称点为点，则，，，所以，，则动点在点的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为.故答案为：.【名师指路】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题.16．(2023·上海市大同中学高三月考）若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式，则实数t的所有可能的值为___________.【标准答案】【思路指引】整理得到，看成恰有三条直线满足：到直线（不过原点）的距离相等，再对讨论，可得所求值.【详解详析】由己知可得，整理可得，看成恰有三条直线满足到直线（不过原点）的距离相等，，（1）当，直线l为的垂直平分线，符合题意.与直线平行的两条直线为和；（2）当，有4条直线l会使A，B到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线经过原点，会作为增根舍去.设A到直线l的距离为d，若，若直线l过的中点，A到直线l的距离为，其一方程为，故舍去.若过原点且以为方向向量，到直线的距离为，其一方程为，故舍去.所以时，有2条直线符合条件.而当时，有4条；综上可得，满足题意的t为故答案为：.17．(2023-2021年上海市控江中学高二期中）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最小值为______．【标准答案】1【思路点拨】利用点到直线的距离公式可得：，通过分类讨论可知：点是如图所示的正方形的4条边．即可得到最小值．【精准解析】动点到两直线和的距离之和为，，即，分为以下4种情况：或或或．可知点是如图所示的正方形的4条边，而表示原点到点的距离，结合图像可知：当取点或时，取得最小值．的最小值为.故答案为：．【名师指导】本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式，解题的关键是通过分类讨论，可得到点是一个正方形的四个边长，再利用的几何意义求最值，考查了学生的分类讨论思想，及数形结合思想，属于中档题．18．设（，N（为不同的两点，直线l：，=,下列命题正确中正确命题的序号是_______（1）若，则直线l与线段MN相交；（2）若=-1，则直线l经过线段MN的中点；（3）存在，使点M在直线l上；（4）存在，使过M、N的直线与直线l重合.【标准答案】（2）（3）【思路指引】由点与直线的位置关系，设直线方程为： ，（），，当，则点在直线的上方，当，则点在直线上，当，则点在直线的下方，再结合点到直线的距离公式运算可以判断（2）（3）正确，（1）（4）错误.【详解详析】解：对于命题（1），因为，所以>0,由点与直线的位置关系可得，（，N（在直线同侧，即直线l与线段MN不相交，即命题（1）错误；对于命题（2），因为,所以（，N（在直线两侧，由点到直线的距离公式有（到直线l：的距离为，N（到直线l：的距离为，则，即直线l经过线段MN的中点，即命题（2）正确；对于命题（3），当时，，即点M在直线l上，即命题（3）正确；对于命题（4），，则点不在直线l上，即过M、N的直线与直线l不重合，即命题（4）错误；故答案为（2）（3）.【名师指路】本题考查了点到直线的距离公式及点与直线的位置关系，属基础题.19．直线分别交轴于两点，点在直线上，则的最小值是________.【标准答案】【思路指引】先计算得到，计算关于直线对称的点为，利用得到答案.【详解详析】直线分别交轴于两点，则 设关于直线对称的点为则 解得 ，当三点共线时等号成立故答案为：【名师指路】本题考查了利用对称求距离的最值问题，找出对称点是解题的关键.20．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________【标准答案】，，【思路指引】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解【详解详析】由已知得，明显地，，整理得，又由，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等；由，（1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和（2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点到的距离为，①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合；②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合；综上，满足题意的实数为，，；故答案为：，，【名师指路】关键点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键，本题难度属于困难三、解答题21．在中，已知、．（1）若点的坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面积之比为，求直线的方程；（2）若是一个动点，且的面积为，试求关于的函数关系式．【标准答案】（1）；（2）或.【思路指引】（1）作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；（2）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出的值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.【详解详析】（1），即，，且，，设点的坐标为，，，，解得，.直线的斜率为，，则直线的斜率为.因此，直线的方程为，即；（2）直线的方程为，即，，设点到直线的距离为，则的面积为，得，另一方面，由点到直线的距离公式得，，解得或.因此，关于的函数关系式为或.【名师指路】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.22．已知直线及点．（1）求点关于直线对称的点的坐标；（2）求过点且与直线夹角为的直线的方程．【标准答案】（1）；（2）和．【思路指引】(1)设,再根据直线与垂直,且的中点在直线上列式求解即可.(2)利用两直线夹角的斜率公式求解直线的斜率,再利用点斜式求解直线的方程即可.【详解详析】(1) 设,因为关于直线对称,故 ,即 ,解得,故.(2)设直线的倾斜角为,.则直线的倾斜角为或.当直线的倾斜角为时, 的斜率,故直线的方程为,化简得.当直线的倾斜角为时, 的斜率,故直线的方程为,化简得.所以直线的方程为和.【名师指路】本题主要考查了求点关于直线对称点的坐标,同时也考查了求与已知直线呈一定夹角的直线的方程.属于中档题.23．在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边、分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使点A落在直线上，记为E点，则O，E关于折痕对称.设折痕所在直线的斜率为k.（1）若，试求折痕所在直线的方程；（2）当时（此时折痕与线段相交），求折痕的长度的最大值.【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）设折痕所在直线的方程为，，根据、关于直线对称列式可求出结果；（2）设折痕所在直线的方程为，，当时，折痕的长度为；当时，根据、关于直线对称可求出折痕所在直线的方程为，求出折痕的两个端点的坐标，根据两点间的距离公式求出折痕的长度，再根据可求出最大值.【详解详析】（1）当时，折痕所在直线的方程为，依题意设，则、关于直线对称，所以，解得，所以折痕所在直线的方程为.（2）设折痕所在直线的方程为，，当时，折痕所在直线的方程为，此时折痕的长度为，当时，根据、关于直线对称可得，解得，则折痕所在直线的方程为，令，得，则折痕与线段的交点为，令，得 ，此时折痕的另一个端点在轴上，令，得，则折痕的另一个端点为，所以折痕的长度为，因为，所以，所以，所以，又，所以折痕的长度的最大值为.【名师指路】关键点点睛：（1）中，根据、关于直线对称列式求解是解题关键；（2）中，正确求出折痕的两个端点的坐标是解题关键.24．已知三条直线：（），，，且与间的距离是，（1）求a的值；（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.【标准答案】（1）3；（2）存在点.【思路指引】（1）由与间的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值；（2）设，由点到直线的距离公式，我们可得到一个关于，的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．【详解详析】（1），与间的距离为，，；（2）设点，由条件②知，点在直线上，且，或，或，由条件③知，，，即或，因为点在第一象限，，（舍），或，解得（舍）， ， 所以存在点同时满足①②③.25．已知矩形的四个项点，，和，光线从边（不含）上一点沿与的夹角的方向射到边上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．（1）若，，求直线与的距离；（2）设的坐标为，若，且，求的取值范围；（3）设光线第次反射时的入射点为．证明：若，则必按的顺序循环出现在矩形的边上，并求由直线，，，围成的四边形面积的取值范围．【标准答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，四边形面积的取值范围.【思路指引】（1）根据入射角等于反射角，求得直线和直线的方程，再根据两条平行线间的距离公式，求得两条直线的距离.（2）设，则，依次求得，由此求得的表达式，根据求得的取值范围，也即求得的取值范围，进而求得的取值范围.（3）先通过计算证明证得四边形为平行四边形，进而证得光线沿平行四边形从的顺序循环出现在矩形的边上.求得四边形面积的表达式，由此求得当四边形为菱形时，面积取得最大值，并求得这个最大值.【详解详析】（1）依题意可知的斜率为，经过，所以直线的方程为，由入射角等于反射角可知：，所以直线的斜率为.由于，所以，，所以.由入射角等于反射角可知：，所以，即,所以，所以直线的方程为，所以直线与的距离为.（2）设，由题意可知，所以.所以，又，所以.而，所以，又，所以，即.因为，所以，解得，所以，即.（3）若，则，.因为不与重合，，设，则，所以，，所以四边形为平行四边形，且与重合.当，光线沿平行四边形从的顺序循环出现在矩形的边上，由于，所以平行四边形的面积，当且仅当，即四边形是菱形时，等号成立，此时面积为.所以直线，，，围成的四边形面积的取值范围是.【名师指路】本小题主要考查直线方程的求解，考查两条平行线间的距离公式，考查反三角函数，考查四边形面积的取值范围的求法，考查分析与推理的能力，综合性很强，属于难题.26．已知点，直线（1）求点M关于点对称点N的坐标（2）求点M关于直线的对称点Q的坐标.（3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由.【标准答案】（1）（7，0）；（2）（3，4）；（3）不同，详见解析．【思路指引】（1）由是的中点可求得点坐标；（2）由与直线垂直且的中点在直线上可求得点坐标；（3）设出点坐标为，表示出和，然后求最小值即可得利结论．【详解详析】（1）设，则，则，∴．（2）设，则，解得，即．（3）两点坐标不相同．证明如下：由题意，设，则，显然当时，取得最小值，，此时由（2），当是与直线的交点时，等号成立，，直线的方程为，代入的方程解得，，即．两个点不相同．【名师指路】本题考查对称问题和与直线有关的最值问题．点M关于点对称点N，则是线段的中点，点M关于直线的对称点Q，则，的中点在直线上．在直线的同一侧，求直线上一点使最小，一般是求出点关于直线的对称点的坐标，而使最小的点就是与直线的交点．27．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.【标准答案】（1）；（2）或；（3）.【思路指引】（1）由可得直线的斜率，进而可得直线的方程； （2）设直线的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标； （3）设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变形后利用基本不等式求解．【详解详析】解：（1）由已知得，又，直线的方程； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或． 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得． 故所求为或； （3）设，其中， 故． 由于（等号成立的条件是）， 故．【名师指路】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高．28．（1）已知直线l过点，它的一个方向向量为．①求直线l的方程；②一组直线，，，，，都与直线l平行，它们到直线l的距离依次为d，，，，，（），且直线恰好经过原点，试用n表示d的关系式，并求出直线的方程（用n、i表示）；（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线，，，，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点；②，其中是直线的斜率，和分别为直线在x轴和y轴上的截距；③.【标准答案】（1）①；②，；（2）不存在.【思路指引】（1）根据直线的方向向量可得直线的斜率,结合点斜式即可求得直线方程;根据直线平行且过原点,可得直线的方程,由平行线间距离公式可得n与d的关系式,设出直线的方程,根据点到直线距离公式可求得直线方程.（2）假设存在这样的直线簇.先求得,的表达式,进而表示出.通过迭加法求得,即可证明当时,与不能成立.【详解详析】（1）①直线l方向向量为所以直线的斜率为 直线l过点,由点斜式方程可得即直线l的方程为：；②直线且经过原点,直线的方程为：由题意知直线到l的距离为,根据平行线间距离公式可得则设直线的方程为：由题意知：直线到直线l的距离为,所以直线的方程为：；（2）假设存在满足题意的直线簇．由①知的方程为：,,分别令,得,,由,即,,迭加得．由③知所有的同号,仅讨论的情形,由,所以显然,当时,与矛盾！故满足题意的直线簇不存在．【名师指路】本题考查了直线的方向向量与点斜式方程,点到直线距离公式的应用,直线方程的新定义应用,正确理解题目所给条件是关键,属于难题.29．如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.（1）若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；（2）若，点的坐标为，求向量与的夹角；（3）若，求过点的直线的方程，使得原点到直线的距离最大.【标准答案】（1）（2）（3）【思路指引】（1）设出P点的坐标，结合为单位向量，且与的夹角为，列式求解；（2）由题意求出，代入数量积求夹角公式得答案.（3）由题意得到A在直角坐标系和斜坐标系下坐标的关系，求出直角坐标系下使得原点O到直线l的距离最大的直线方程，转化为斜坐标系下的方程，即得解.【详解详析】（1）若，为单位向量，且与的夹角为，设，且代入，得（2）若，点的坐标为，则又设向量与的夹角为，则（3）若，点由，可得A在直角坐标系下得坐标为：因此过点且使得原点O到直线l的距离最大的直线方程为：代入：整理得：所以过点的直线的方程，使得原点到直线的距离最大的直线方程为：【名师指路】本题为坐标系新定义的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.30．已知点和点关于直线：对称．（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．【标准答案】（1）（2）或【思路指引】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程.【详解详析】解：设点则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即.（2）由条件可知：，的面积为2，则的高为，又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为.直线方程为，设，则有，即或 又，解得： 或 则直线为：或 【名师指路】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.
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