(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题06数列求和之错位相减法求和专练(原卷版+解析)

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专题06 数列求和之错位相减法求和专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（ ）A． B．C． D．2．已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为（ ）A． B． C． D．3．数列满足﹐若，则的前项和为（ ）A． B． C． D．4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S7＝35，将a3，a7，a11，a15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前10项的和T10＝（　　）A．10212 B．9212 C．11212 D．122125．Sn＝＋＋＋…＋等于（ ）A． B． C． D．6．数列{n·2n}的前n项和等于（ ）A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋17．如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（ ）参考数据：1.122＝8.14A．814 B．900 C．914 D．10008．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（ ）A．4097 B．4107 C．5119 D．51299．已知数列的前项和为，直线与圆:交于两点，且.记，其前项和为，若存在，使得有解，则实数取值范围是（ ）A． B． C． D．10．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．二、填空题11．数列满足，，，，则数列的前n项和为______.12．已知数列满足，，若，则_______.13．对于正整数，设，如对于正整数和，当，时，设，，则__________．14．已知正项数列满足且，令，则数列的前项的和等于___________.15．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______．三、解答题16．已知数列的前项和为，2，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．17．已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设的前n项和为，且，求的前n项和．18．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．19．已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.20．已知数列满足，．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和．专题06 数列求和之错位相减法求和专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（ ）A． B．C． D．【标准答案】D由题可得数列依次有1个0，2个1，4个2，8个3，，个，则由可得，即可得，由错位相减法可求得.【详解详析】，，当时，，即（共1项）；当时，，即（共2项）；当时，，即（共4项）；…当时，，即（共项），由，得．即，所以．所以，则，两式相减得，．故选：D．【名师指路】关键点睛：本题考查数列的前n项和的求解，解题的关键是得出数列的特点，从而得出，再利用错位相减法求解.2．已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】先求出，用错位相减法求出把不等式恒成立，转化为，记，求出的最大值，即可求出t的最小值.【详解详析】解：对于，当n=1时，当n≥2时，经检验：对n=1也成立，∴ 所以∴ ，两式相减得，， ，所以 所以， 令 ， ，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，t的最小值为．故选：B．【名师指路】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；（2）数列求和常用方法：①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．3．数列满足﹐若，则的前项和为（ ）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】由，得，所以可得数列是等差数列，得数列的通项公式，再利用错位相减法求和.【详解详析】因为，所以，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，所以，设的前项和为，所以①，②，①-②得，，得.故选：C【名师指路】本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S7＝35，将a3，a7，a11，a15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前10项的和T10＝（　　）A．10212 B．9212 C．11212 D．12212【标准答案】A【思路指引】先设等差数列的公差，根据公式求和，判断是等比数列{bn}的前三项，再求得公比和，代入计算，最后利用错位相减法求即可.【详解详析】设等差数列{an}的公差为，则，解得.故，即，由题意知，是等比数列{bn}的前三项，即，公比，故.故，，，两式作差得，，所以.故选：A.5．Sn＝＋＋＋…＋等于（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】利用错位相减法求解即可.【详解详析】由Sn＝＋＋＋…＋，①得Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，所以Sn＝－，∴Sn＝.故选：B.6．数列{n·2n}的前n项和等于（ ）A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1【标准答案】B【思路指引】错位相减法求解即可.【详解详析】∵Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n×2n＋1－＝n×2n＋1－2n＋1＋2.故选:B.7．如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（ ）参考数据：1.122＝8.14A．814 B．900 C．914 D．1000【标准答案】C【思路指引】由题得，再利用错位相减法求解.【详解详析】由条件可得，∴，得，∵，∴．故选：C8．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（ ）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【标准答案】B【思路指引】根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和．【详解详析】由题意时，，，在上奇数共有个，，，，设，则，相减得：，所以，所以．故选：B．9．已知数列的前项和为，直线与圆:交于两点，且.记，其前项和为，若存在，使得有解，则实数取值范围是（ ）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】根据题意，先求出弦长，再表示出，得到，求出数列的通项公式，再表示出，用错位相减求和求出，再求解即可.【详解详析】根据题意，圆的半径，圆心到直线的距离，所以弦长，所以，当时，，所以，时，，所以，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，，所以，，，所以，由有解，，只需大于的最小值即可，因为，所以，所以.故选：D【名师指路】本题主要考查求圆的弦长、由和求数列通项、错位相减求数列的和和解不等式有解的情况，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于难题.10．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】本题首先可根据、得出，然后根据得出，再然后根据错位相减法求出，最后根据题意得出对任意不等式恒成立，根据即可得出结果.【详解详析】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，，，因为，所以，，则，，，对任意不等式恒成立，即对任意不等式恒成立，因为，所以，的取值范围为.故选：C.【名师指路】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题.二、填空题11．数列满足，，，，则数列的前n项和为______.【标准答案】【思路指引】数列满足，即数列满足，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出.再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出数列的前n项和为.【详解详析】解：数列满足，即数列满足，∴数列是等差数列，设公差为d.则，解得.∴，∴，则数列的前n项和为，，相减可得：，化为：.故答案为：【名师指路】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．12．已知数列满足，，若，则_______.【标准答案】【思路指引】根据条件得到，则数列是首项，公差为的等差数列，得到，则可得，写出，利用错位相减法可求解.【详解详析】解：因为，，所以，即，所以数列是首项，公差为的等差数列，所以，则，则，设①，则②，①-②可得，则.即.故答案为：.【名师指路】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.13．对于正整数，设，如对于正整数和，当，时，设，，则__________．【标准答案】82435【思路指引】首先利用分组求和与错位相减法求出，再计算即可；【详解详析】解：令则两式相减得即，所以所以故答案为：14．已知正项数列满足且，令，则数列的前项的和等于___________.【标准答案】【思路指引】首先由递推关系可得是等比数列，进而可得、的通项公式，再利用乘公比错位相减，分组求和即可求解.【详解详析】由可得，因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，则的前项的和等于，令，前项的和为，则，，两式相减可得：，所以，所以前项的和为，故答案为：.15．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______．【标准答案】##2.9375【思路指引】先根据题干条件得到，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和.【详解详析】①，当时，；当时，②，①-②得：，即．又满足，所以．由，得．令，则，两式相减得，则．所以新数列的前70项和为．故答案为：三、解答题16．已知数列的前项和为，2，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【标准答案】(1)(2)【思路指引】（1）根据等差数列的性质可得：，结合，可得，故数列为等比数列，利用等比数列的通项公式得出；（2）由（1）得，利用错位相减法即可得出结果.(1)∵2，，成等差数列，∴．当时，；当，且时，，，两式相减得，，即．∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，．(2)∵，∴，①∴，②①-②：，∴．17．已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设的前n项和为，且，求的前n项和．【标准答案】(1)；(2).【思路指引】（1）利用等差数列的通项公式结合条件即求；（2）利用条件可得，然后利用错位相减法即求.(1)设等差数列的公差为d，由得，即，化简得，又，，成等比数列，则，即，将代入上式得，化简得，解得或－2（舍去），则，所以．(2)∵，当时，，当时，，符合上式，则，所以，令，则，，∴，化简得．综上，的前n项和．18．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【标准答案】(1)(2)【思路指引】（1）由等比数列的前项和公式，等比数列的基本量运算列方程组解得和公比后可得通项公式；（2）用错位相减法求得和．(1)设数列的公比为q，由，，得，解之得所以；(2)，又，得，，两式作差，得，所以．19．已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【标准答案】(1)，;(2).【思路指引】（1）利用求出数列的通项，再求出等比数列的公比即得解；（2）求出，再利用错位相减法求解.(1)解：，.当时，，适合..设等比数列公比为，，，即，或（舍去），.(2)解：，，，上述两式相减，得，所以所以.20．已知数列满足，．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和．【标准答案】(1)证明见解析(2)【思路指引】(1)根据给定递推公式变形，结合等比数列定义即可得证.(2)由(1)求出数列通项，再利用分组求和方法求解即得.(1)证明：由，得，又，所以，故，故是以为首项，以为公比的等比数列．(2)由（1）得，得，所以，设的前n项和为，则，①，②由①-②，得，则，故．