(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题02平面解析几何之直线的一般式方程必考点专练(原卷版+解析)

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专题02 ：平面解析几何之直线的一般式方程必考点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市松江二中高二期中）已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：①不论为何值时，与都互相垂直；②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；③不论为何值时，与都关于直线对称；④如果与交于点，则的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4.2．(2023·上海交大附中高二期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点3．(2023·上海黄浦·高二期末）已知，若不论为何值时，直线总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）A． B． C． D．4．设为不同的两点，直线，下列命题正确的有（ ）．①不论为何值，点都不在直线上；②若，则过点的直线与直线平行；③若，则直线经过的中点；④若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知两直线和的交点是，则过两点、的直线方程是A． B． C． D．6．点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　)A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，17．(2023·上海·华师大二附中高二期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（ ）A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交8．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行C．若，则直线经过线段M，N的中点；D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；二、填空题9．(2023·上海·复旦附中高二月考）点到直线的距离的最大值为________.10．(2023·上海中学高二期中）直线的倾斜角的取值范围是______.11．已知的顶点，高所在的直线方程分别为和，则所在直线的方程是_______．12．当实数变化时，两直线与都通过一个定点，则点所在曲线的方程为_________；13.(2023-2021年上海师大附中高二期中）已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________．14．若直线过定点，直线过定点，则两点间的距离是____________．15．(2023·上海·华师大二附中高二月考）已知等腰三角形的底边所在直线过点，两腰所在的直线为与，则底边所在的直线方程是_____________.16．(2023·上海交通大学附属中学嘉定分校高二月考）关于的二元一次方程组，无解，则_____ ；17．(2023·上海师大附中高二期中）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数，使得点N在直线l上；（2）若，则过M、N的直线与直线l平行；（3）若，则直线l经过的中点；（4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；18．(2023·上海市向明中学高二月考）已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．三、解答题19．(2023·上海市向明中学高二期中）已知，直线和直线相交于点P，和y轴交于点A，和x轴交于点B．（1）判断与的位置关系，并用t表示点P的坐标；（2）求的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置．20．(2023·上海·华师大二附中高二月考）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．21．(2023·上海市西南位育中学高二期中）如图，已知，，，直线.(1)求直线l经过的定点坐标；(2)若直线l等分的面积，求直线l的方程；(3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围.22．求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.23．如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.24．在平面直角坐标系中，过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.（1）若，求直线的一般式方程；（2）求当取得最小值时直线的方程.25．(2023·上海·闵行中学高二期中）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，O是坐标原点，分别求出满足下列条件的直线的一般式方程．(1)直线的斜率为；(2)直线过点26．如图，已知城市周边有两个小镇、，其中乡镇位于城市的正东方处，乡镇与城市相距，与夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路，使乡镇和分别位于的两侧，过和建设两条垂直的公路和，分别与公路交汇于、两点，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.（1）当两个交汇点、重合，试确定此时路段长度；（2）当，计算此时两个交汇点、到城市的距离之比；（3）若要求两个交汇点、的距离不超过，求正切值的取值范围.27．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；（2）分别求和时，所对应的直线条数；（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.28．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；（2）若，求的面积的最大值；（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.专题02 ：平面解析几何之直线的一般式方程必考点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市松江二中高二期中）已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：①不论为何值时，与都互相垂直；②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；③不论为何值时，与都关于直线对称；④如果与交于点，则的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4.【标准答案】C【详解详析】对于①，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都互相垂直，故①正确；对于②，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故②正确；对于③，由①可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故③不正确；对于④，如果与交于点，由③可知:，则，所以的最大值是1，故④正确.所有正确结论的个数是3.故选C2．(2023·上海交大附中高二期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点【标准答案】A【思路指引】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.【详解详析】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，所以即，故既在直线上，也在直线上.因为与是两个不同的点，故、不重合，故无论，，如何，总有唯一交点.故选：A.3．(2023·上海黄浦·高二期末）已知，若不论为何值时，直线总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）A． B． C． D．【标准答案】C因为直线总经过一个定点，所以与值无关，参变量分离，解方程组即得.【详解详析】直线的方程可化为：.直线总经过一个定点，,解得.所以不论为何值，直线总经过一个定点.故选：.【名师指路】本题考查直线过定点问题，解题的关键是参变量分离.4．设为不同的两点，直线，下列命题正确的有（ ）．①不论为何值，点都不在直线上；②若，则过点的直线与直线平行；③若，则直线经过的中点；④若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】D【思路指引】由可得①正确，分和两种情况讨论可得直线与直线平行，可得②正确，当时，可得到，从而得到③正确，当时可得和，然后可得④正确.【详解详析】因为中，，所以点不在直线上，故①正确当时，根据得到，化简得，即直线的斜率为，又直线的斜率为，由①可知点不在直线上，得到直线与直线平行当时，可得直线与直线的斜率都不存在，也满足平行，故②正确当时，得到，化简得而线段的中点坐标为，所以直线经过的中点，故③正确当时，得到，所以，即，所以点在直线的同侧且，可得点与点到直线的距离不等，所以延长线与直线相交，故④正确综上：命题正确的有4个故选：D【名师指路】本题考查的是直线的方程、两直线平行的判定以及一元二次不等式表示的区域，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题.5．已知两直线和的交点是，则过两点、的直线方程是A． B． C． D．【标准答案】C将点的坐标代入两直线的方程，可得出，可得出点、的坐标满足直线方程，再利用两点确定一条直线可得出直线的方程.【详解详析】将点的坐标代入两直线的方程，得，所以，点、的坐标满足直线方程，由于两点确定一条直线，所以，直线的方程为.故选：C.【名师指路】本题考查直线方程的求解，推导出点、的坐标满足直线方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6．点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　)A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，1【标准答案】C【思路指引】将直线方程整理为，可得直线经过定点，由此可得当直线与垂直时的长，并且此时点到直线的距离达到最大值，从而可得结果.【详解详析】直线，即，直线是过直线和交点的直线系方程，由，得，可得直线经过定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，的最大值为，此时轴，可得直线斜率不存在，即.故选：C.【名师指路】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.7．(2023·上海·华师大二附中高二期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（ ）A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交【标准答案】C由题意有可得，，，，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【详解详析】解：由题意有可得，，，，则方程，，，即，，，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等，故，，表示过点且与平行的直线，故选：C ．【名师指路】根据平行直线系方程，即两直线方程与互相平行.8．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行C．若，则直线经过线段M，N的中点；D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；【标准答案】A【思路指引】根据题意对一一分析，逐一验证．【详解详析】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；故选A【名师指路】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题9．(2023·上海·复旦附中高二月考）点到直线的距离的最大值为________.【标准答案】【思路指引】先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.【详解详析】化简可得，由，所以过定点，点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为，故答案为.【名师指路】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.10．(2023·上海中学高二期中）直线的倾斜角的取值范围是______.【标准答案】【思路指引】先求出直线的斜率取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求出．【详解详析】可化为：，所以，由于，结合函数在上的图象，可知．故答案为：．【名师指路】本题主要考查斜率与倾斜角的关系的应用，以及直线的一般式化斜截式，属于基础题．11．已知的顶点，高所在的直线方程分别为和，则所在直线的方程是_______．【标准答案】【思路指引】联立方程解得高交点坐标得到，故，再计算点坐标得到直线方程.【详解详析】，解得，则高交点为，，故，设，则，解得，故，故所在直线的方程是，即.故答案为：.【名师指路】本题考查了求直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，计算是解题的关键.12．当实数变化时，两直线与都通过一个定点，则点所在曲线的方程为_________；【标准答案】将变形为，令 且，求得定点坐标，再代入直线的方程求解.【详解详析】因为，对任意的实数都成立，所以，解得 ，所以直线过定点，因为 也通过定点，将代入，得.故答案为：【名师指路】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.13.(2023-2021年上海师大附中高二期中）已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________．【标准答案】或【思路点拨】分析可得已知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为或，分类讨论并利用点斜式方程求解即可.【精准解析】由已知可得直线的斜率，所以倾斜角为，因为直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或，当倾斜角为时,直线为，即为；当倾斜角为时,直线为，故答案为：或.【名师指导】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线的倾斜角得到l的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.14．若直线过定点，直线过定点，则两点间的距离是____________．【标准答案】【思路指引】把直线方程整理成关于的恒等式，然后应用恒等知识求得两点坐标，由两点间距离公式得距离．【详解详析】由得，所以，直线方程变形为：，由解得，即，所以．故答案为：．【名师指路】本题考查两点间距离公式，考查直线过定点问题．直线过定点问题，一般把直线方程整理成关于参数的恒等式，然后由恒等式知识求得定点坐标．15．(2023·上海·华师大二附中高二月考）已知等腰三角形的底边所在直线过点，两腰所在的直线为与，则底边所在的直线方程是_____________.【标准答案】或在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程.【详解详析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，则点到直线与的距离相等，由题意可得，所以，.所以，或，所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为或.由于底边与顶角角平分线垂直.当底边与直线垂直时，且直线的斜率为，此时底边所在直线方程为，即；当底边与直线垂直时，且直线的斜率为，此时底边所在直线方程为，即.故答案为：或.【名师指路】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.16．(2023·上海交通大学附属中学嘉定分校高二月考）关于的二元一次方程组，无解，则_____ ；【标准答案】或根据二元一次方程组无解，可知两直线平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解详析】因为关于的二元一次方程组，无解，所以直线与直线平行,所以，所以，又，所以或.故答案为：或【名师指路】本题主要考查二元一次方程组的几何意义，关键是转化为两直线平行列出方程，属于中档题.17．(2023·上海师大附中高二期中）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数，使得点N在直线l上；（2）若，则过M、N的直线与直线l平行；（3）若，则直线l经过的中点；（4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；【标准答案】②③④①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断①不正确．②若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若，即可得到，即可判断③．④若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定④．【详解详析】解：若点在直线上则，不存在实数，使点在直线上，故①不正确；若，则，即， ，即过、两点的直线与直线平行，故②正确；若，则即，，直线经过线段的中点，即③正确；若，则，或，即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．故④正确．故答案为：②③④．【名师指路】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．18．(2023·上海市向明中学高二月考）已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．【标准答案】【思路指引】由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点（3，1）、（1，3），所以点P的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2。因为要求的最小值，可作垂直线段CD⊥AB，根据向量的运算可得，，根据条件求得CD的长度为1，所以点D的轨迹为。根据两圆方程可知点P的轨迹与点D的轨迹外离，故的最小值为两圆的圆心距减去两圆的半径。【详解详析】∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，作垂直线段CD⊥AB，CD==1，所以点D的轨迹为,则，因为圆P和圆D的圆心距为，所以两圆外离，所以|PD|最小值为，所以的最小值为4﹣2.故答案为：4﹣2.【名师指路】平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁。平面向量模的最值问题一般以选择题或填空题的形式出现。解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化，常用方法有（1）利用向量基本知识转化为函数最值问题；（2）利用坐标进行转化，结合图形求最值；（3）利用向量模的性质求解；（4）利用几何意义，数形结合求解。三、解答题19．(2023·上海市向明中学高二期中）已知，直线和直线相交于点P，和y轴交于点A，和x轴交于点B．（1）判断与的位置关系，并用t表示点P的坐标；（2）求的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置．【标准答案】（1）垂直，；（2），最小时或，最大时．（1）可得时，显然，时，由可得；联立直线方程可求得P的坐标；（2）可得，由即可求得取值范围.【详解详析】（1）当时，，，显然，当时，，则，则，综上，，联立直线方程，解得，；（2）由（1）知，，，则，则，即，则，当时，即时，取得最小值为1，此时或，当时，即时，取得最大值为，此时.【名师指路】关键点睛：本题考查直线位置关系的判断以及取值范围的求解，解题的关键是联立直线方程求出点P坐标，将化成关于的式子即可求解.20．(2023·上海·华师大二附中高二月考）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【标准答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．【思路指引】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.【详解详析】（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．21．(2023·上海市西南位育中学高二期中）如图，已知，，，直线.(1)求直线l经过的定点坐标；(2)若直线l等分的面积，求直线l的方程；(3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围.【标准答案】(1)(2)(3)【思路指引】（1）将直线变形为，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点；（2）根据条件确定直线l所过的定点在直线AB上，设出直线l与AC交点D，由确定D点位置，从而求出D点坐标，代入直线l的方程可求解方程；（3）由可得有，设，可确定，由向量共线可得出F点坐标，表示出,利用二次函数的图象与性质即可求得其取值范围.(1)解：直线可化为，联立，解得，故直线l经过的定点坐标为；(2)解：因为，，，所以有，由题可得直线AB方程为，故直线l经过的定点在直线AB上，所以，设直线l与AC交于点D，所以有，即，所以，设，所以，即，所以，，所以，将D点坐标代入直线l的方程，解得，所以直线l的方程为：；(3)解：由（2）可知为等边三角形，所以，，而，，，所以有，设，则，所以，因为F在AC上，设，所以，即，解得，，所以，所以，，故，因为，所以.22．求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.【标准答案】（1）；（2）【思路指引】（1）联立直线方程构成方程组得，依题意可设所求直线为：，由点在直线上，能求出所求直线方程；（2）依题意设所求直线为：，由点在直线上，能求出所求直线方程．【详解详析】（1）由，得，所以．依题意，可设所求直线为：．因为点在直线上，所以，解得：．所以所求直线方程为：．（2）依题意，设所求直线为：．因为点在直线上，所以，解得：，所以所求直线方程为：．【名师指路】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线平行、直线与直线垂直等关系的合理运用，属于中档题.23．如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.【标准答案】（1）以为原点，为轴，建立平面直角坐标系．；（2）.【思路指引】（1）以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，设点，，根据条件求得的坐标．（2）设出的方程，求得的横坐标和的纵坐标，求得的解析式，根据求得，即可求出直线方程．【详解详析】解：（1）如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系．因为，故直线的方程是．设点，．因为点到的距离为3，故．由到直线的距离为，得，解得或（舍去），所以点． （2）显然直线的斜率存在．设直线的方程为，．令得．由解得． 解得故直线的方程为：【名师指路】本题考查通过建立合适的平面直角坐标系，求直线方程，与三角形的面积问题，属于基础题．24．在平面直角坐标系中，过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.（1）若，求直线的一般式方程；（2）求当取得最小值时直线的方程.【标准答案】（1）；（2）【思路指引】设出，（1）由，可求得，从而得直线斜率，写出直线方程；（2）由共线得出满足的等量关系，求出，【详解详析】设出，（1）∵，∴，即，解得，∴直线方程为，即；（2）∵共线，∴，整理得，∴，当且仅当，即时等号成立。∴直线方程为，即。【名师指路】本题考查求直线方程，由于题中条件都与向量有关，因此引入直线与坐标轴的交点坐标，由平面向量的坐标运算求出参数，写出方程的截距式，再化为一般式。25．(2023·上海·闵行中学高二期中）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，O是坐标原点，分别求出满足下列条件的直线的一般式方程．(1)直线的斜率为；(2)直线过点【标准答案】(1)x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0(2)2x+3y﹣12＝0或8x+3y+24＝0【思路指引】（1）根据题意，设直线l在y轴上截距为b，则其在x轴上截距为﹣6b，由三角形面积公式可得S△MON＝×|6b|×|b|＝12，解可得b的值，代入直线l的方程，变形可得答案；（2）设直线l的方程为y＝k（x+6）+8，求出直线l与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式可得关于k的方程，解可得k的值，将k的值代入直线l的方程，变形可得答案．(1)解：根据题意，直线l的斜率为，设直线l在y轴上截距为b，则其在x轴上截距为﹣6b，若S△MON＝12，则S△MON＝×|6b|×|b|＝12，解可得b＝±2，则直线l的方程为y＝x±2，变形可得x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0，直线l的方程为x﹣6y+12＝0或x﹣6y﹣12＝0；(2)解：设直线l的方程为y＝k（x+6）+8，令x＝0，则y＝6k+8，令y＝0，则x＝﹣﹣6，则有×|6k+8|×|﹣﹣6|＝12，解可得k＝﹣或﹣，故直线l的方程为2x+3y﹣12＝0或8x+3y+24＝0．26．如图，已知城市周边有两个小镇、，其中乡镇位于城市的正东方处，乡镇与城市相距，与夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路，使乡镇和分别位于的两侧，过和建设两条垂直的公路和，分别与公路交汇于、两点，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.（1）当两个交汇点、重合，试确定此时路段长度；（2）当，计算此时两个交汇点、到城市的距离之比；（3）若要求两个交汇点、的距离不超过，求正切值的取值范围.【标准答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）先求出直线的斜率为1，点B的坐标为，再利用点到直线的距离为|BD|=；（2）设直线AB的斜率为，先求出再求出，即得；（3）先求出,再求出解不等式即得解.【详解详析】（1）当两个交汇点、重合时，则AC,BD公路共线，过点B作BE⊥AO,垂足为E, 则,所以AE=，所以|BE|=|AE|,所以直线AB的倾斜角为，所以直线AB的斜率为，所以直线的斜率为1，因为点B的坐标为，所以|BD|=.（2）由题得A(21,0)，设直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，因为|AC|=|BD|,所以.由题得,所以,所以.（3）由题得，所以，所以.因为,所以解之得.故正切值的取值范围为.【名师指路】本题主要考查直线的方程和点到直线的距离，考查直线的夹角的计算，考查一元二次不等式的解法，考查和角的正切，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.27．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；（2）分别求和时，所对应的直线条数；（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.【标准答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线； ②时，3条直线； ③时，4条直线.【思路指引】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点；（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；（3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数．【详解详析】（1）直线可化为，令，解得，∴不论为何实数，直线过定点.（2）由题意知，直线的斜率存在，且，设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为；∴的面积为；令，得，时，方程化为，解得，有两个正根，即有两条直线；时，方程化为，，方程无实数根，即无直线；综上知，时有两条直线；令，得，时，方程化为，解得，有两个正根，即有两条直线；时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线；综上知，时有四条直线；（3）由题意得，，时，方程化为，解得，有两个正根，即有两条直线；时，方程化为，， 时，，方程无实数根，此时无直线；时，，方程有一负根，此时有一条直线；时，，解得，方程有两负根，即有两条直线；综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线；所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个；时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个；时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个．【名师指路】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．28．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；（2）若，求的面积的最大值；（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.【标准答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定点坐标为.【思路指引】（1）当直线斜率不存在时，求出点坐标得三角形面积，当斜率存在时，设直线为，由题意可得，然后求出，，由得的取值范围，计算出面积，令，换元后利用函数的性质求得取最小值时的值；（2）设，则，用正弦定理表示出，把表示为的函数，由三角函数知识求得最大值；（3）写出坐标，，，斜率不存在进写出方程，斜率存在时，写出方程，可得斜率不存在时方程也适合此式，代入，化方程为的方程，由它关于恒成立可得定点坐标．【详解详析】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为，当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为，的面积为，当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得，令，解得，联立，可得，由得或，由得或，所以或．所以的面积令，则，则因为，所以当时，面积最小，此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为.（2）下面用弧度表示角，设，则，由正弦定理得，所以，因此当即时，的面积的最大，最大值为.（3）因为，所以，所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①），当直线斜率存在时，即时，直线方程为，整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立），同时除以得③，又因为，所以代入③整理得，对于任意都成立，所以，解得，所以直线过定点，定点坐标为.【名师指路】本题考查直线的斜率，直线过定点问题，三角形面积的最值问题，掌握直线方程是解题关键．与三角形面积有关的问题，一般先把面积表示出来，可表示为直线斜率的函数，也可引入点的坐标，线段的长度，或角度为参数，用参数表示出三角形面积，再根据函数的性质或基本不等式求得最值及取得最值时的参数值．定点问题，首先由参数写出直线方程，然后把直线方程转化为关于参数的恒等式，利用恒等式知识可得．